核心考点04乘法公式

核心考点04乘法公式目录考点一：完全平方公式考点二：完全平方公式的几何背景考点三：完全平方式考点四：平方差公式考点五：平方差公式的几何背景考点六：整式的混合运算—化简求值考点考点考向一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）三．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”四．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．五．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．六．整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．考点考点精讲一．完全平方公式（共7小题）1．（2022秋•临海市期末）下列计算正确的是（）A．am•an＝amnB．am﹣an＝am﹣nC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a2）3＝（a3）2【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可得．【解答】解：A、am•an＝am+n，则此项错误，不符合题意；B、am与an不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，则此项错误，不符合题意；D、（a2）3＝a6，（a3）2＝a6，则此项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．2．（2022春•慈溪市期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．请你根据上述解题思路解答下面问题：（1）已知a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，求a2+b2的值．（2）已知（2021﹣a）（2022﹣a）＝4043，求（2021﹣a）2+（2022﹣a）2的值．【分析】（1）由a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入计算即可；（2）设m＝2021﹣a，n＝2022﹣a，可得m﹣n＝﹣1，mn＝（2021﹣a）（2022﹣a）＝4043，利用m2+n2＝（m﹣n）2+2mn，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝25﹣4＝21；（2）设m＝2021﹣a，n＝2022﹣a，则m﹣n＝﹣1，mn＝（2021﹣a）（2022﹣a）＝4043，∴（2021﹣a）2+（2022﹣a）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝1+8086＝8087．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．3．（2021春•北仑区期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝41，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF，DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据题意设x﹣2018＝a，x﹣2021＝b，可得a2+b2＝41，a﹣b＝（x﹣2018）﹣（x﹣2021）＝3，根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入计算即可得出答案；（2）根据题意可得，长方形MFDE的面积等于ED•FD，则（x﹣1）（x﹣3）＝35，设x﹣1＝a，x﹣3＝b，即可得出ab、a﹣b，（a+b）2的值，因为a、b都为正数，所以a+b＞0，则阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形FDHG的面积，可得（x﹣1）2﹣（x﹣3）2，即a2﹣b2，根据平方差公式可得（a+b）（a﹣b），代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）设x﹣2018＝a，x﹣2021＝b，则a2+b2＝41，a﹣b＝（x﹣2018）﹣（x﹣2021）＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，∴（x﹣2018）（x﹣2021）＝ab＝+b2﹣（a﹣b）2]＝＝16；（2）根据题意可得，S长方形MFDE＝ED•FD＝（x﹣1）（x﹣3）＝35，设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝35，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×35＝144，∵a、b都为正数，∴a+b＝12，a+b＝﹣12（舍去），S阴＝S正方形MFRN﹣S正方形GFDH＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝12×2＝24．∴阴影部分的面积为24．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式及正确理解题目所给例题的解法进行求解是解决本题的关键．4．（2022春•西湖区校级期中）阅读：已知a﹣b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：解：因为a﹣b＝﹣4，ab＝3，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣4）2+2×3＝22．请你根据上述解题思路解答下面问题：（1）已知a﹣b＝﹣5．ab＝2，求a2+b2﹣ab的值．（2）已知（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，求（2023﹣x）2+（2022﹣x）2的值．【分析】（1）利用完全平方公式得到a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2+2（2023﹣x）（2022﹣x），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝2，∴a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝（﹣5）2+2＝27；（2）∵（2023﹣x）（2022﹣x）＝20，∴（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝[（2023﹣x）﹣（2022﹣x）]2+2（2023﹣x）（2022﹣x）＝12+2（2023﹣x）（2022﹣x）＝1+2×20＝41．【点评】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．5．（2022春•兰溪市期中）已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：（1）x2+4xy+y2（2）x4+y4【分析】（1）利用完全平方公式变形可得答案；（2）首先求出x2+y2＝30，再根据完全平方公式变形可得答案．【解答】解：（1）∵x+y＝6，xy＝3，∴x2+4xy+y2＝x2+2xy+y2+2xy＝（x+y）2+2xy＝36+6＝42；（2）∵x+y＝6，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣6＝30，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝900﹣2×9＝900﹣18＝882．【点评】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．6．（2022春•柯桥区期中）已知x+y＝3，且（x+3）（y+3）＝20．（1）求xy的值；（2）求x2+5xy+y2的值；（3）求x﹣y的值．【分析】（1）（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，将已知代入即可；（2）将式子化为x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy，代入计算即可；（3）因为（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，所以（x﹣y）2＝1，即可求解．【解答】解：（1）∵（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，x+y＝3，∴xy＝2；（2）x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝9+6＝15；（3）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝9﹣8＝1，∴x﹣y＝±1．【点评】本题主要考查了完全平方公式．理解题意，将已知式子进行合理的变形，再结合完全平方公式进行求解是解题的关键．7．（2022秋•沙洋县期末）已知：x+＝3，则x2+＝7．【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝x2+2+＝9，∴x2+＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）8．（2022春•温州期中）如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据“大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78”，即可得出关于x，y的方程组，解之即可求出xy的值，此题得解．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：，整理得：，由（①2﹣②）÷2得：xy＝，∴一张小长方形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，找准等量关系，正确列出关于x，y的方程组是解题的关键．9．（2022秋•临海市期末）【教材呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法：方法一方法二∵（a+b）2＝a2+2ab+b2∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝25﹣6＝19∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝13．（1）请将方法二补充完整；【方法运用】（2）解答以下问题：已知，求的值．【拓展提升】（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空；（2）根据，，找到两者的关系，即可求解；（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16，即可求解．【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：4ab；（2）∵，∴；（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，由题意可得：a2+b2＝36，，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16．∵a﹣b＞0，∴a﹣b＝4，即AG＝4．【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是能够找到和的完全平方公式和差的完全平方公式的联系．10．（2022春•海曙区校级期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是45．【分析】用代数式表示A卡片、B卡片的面积，由图1可得a2﹣b2＝3，由图2可得（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝21，将图3的阴影部分的面积表示为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2化简得a2﹣b2+4ab，再整体代入计算即可．【解答】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为a2，B卡片的面积为b2，图1中阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，由题意可知，a2﹣b2＝3，图2阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，由题意可知，2ab＝21，图3阴影部分的面积可以表示为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝3+42＝45，故答案为：45．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．11．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5．【分析】由长方形的周长16，面积为15.75，确定a+b＝8，ab＝15.75，通过观察图形分别用含有a和b的式子表示出阴影部分的面积S1、S2、S3，然后整理化简S1+S2+S3，通过完全平方公式计算出a2+b2，从而求出值．【解答】解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．∴（a+b）2＝64，a2+2ab+b2＝64，a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．【点评】本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出a+b和ab的形式是本题的关键，由a+b＝8和ab＝15.75，利用完全平方公式变形计算出a2+b2，从而求出面积．12．（2022春•长兴县期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【分析】（1）利用线段关系得出正方形的边长，从而求出周长，（2）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，（3）用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，故答案为：4a﹣4b；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）²，大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）²，因此（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab，故答案为：（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；（3）由（2）可知：（m+n）²＝（m﹣n）²+4mn，已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，所以（m+n）²＝16+4×（﹣3）＝4，所以m+n＝±2；故m+n的值为±2；（4）设AC＝a，BC＝b，因为AB＝8，S1+S2＝26，所以a+b＝8，a²+b²＝26，因为（a+b）²＝a²+b²+2ab，所以64＝26+2ab，解得ab＝19，由题意：∠ACF＝90°，所以S阴影＝ab＝．【点评】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．三．完全平方式（共5小题）13．（2022春•定海区期末）如图，三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类6块，C类9块，小明用这16块地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小明拼成的正方形边长是m+3n．【分析】由题意先求出正方形的面积，进而即可求出正方形的边长．【解答】解：∵这16块地砖拼成的正方形的面积为：m2+6mn+9n2＝（m+3n）2，∴正方形的边长为：m+3n，故答案为：m+3n．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特点是解决问题的关键．14．（2022春•绍兴期中）若关于x的多项式x2﹣（2k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为﹣2.5．【分析】利用完全平方公式计算即可求出k的值．【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣（2k﹣1）x+9是完全平方式，∴2k﹣1＝±6，解得：k﹣2.5．﹣2.5．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是10x或﹣10x或或﹣25x2或﹣1．【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答，当加上的项是﹣1或﹣25x2时，同样成立．【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的项是10x或﹣10x，②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，∴可添加的项是，③还可添加﹣25x2或﹣1综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或或﹣25x2或﹣1．故答案为：10x或﹣10x或或﹣25x2或﹣1．【点评】本题主要考查了完全平方、多项式，掌握满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，分情况讨论是解题关键．16．（2022春•拱墅区期末）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2．（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD．（2）若c＝2，且S1＝S2，求的值．（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．【分析】（1）通过KI＝HI﹣HK，GD＝AD﹣AG计算．（2）先找到a，b的关系，再计算．（3）根据完全平方公式的特征判断．【解答】解：（1）KI＝HI﹣HK＝b﹣c，GD＝AD﹣AG＝a+b﹣c﹣a＝b﹣c．（2）S1＝GD×GL＝（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，S2＝c2．∵S1＝S2．∵ab﹣bc﹣ac＝0，∴ab＝c（a+b），∴＝＝＝．（3）当a＝b时，S1﹣S2＝ab﹣ac﹣bc＝a2﹣2ac，S＝AD2＝（a+b﹣c）2＝（2a﹣c）2，∴S﹣3（S1﹣S2）＝（2a﹣c）2﹣3a2+6ac＝4a2﹣4ac+c2﹣3a2+6ac＝（a+c）2．∴S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是求解本题的关键．17．（2022春•嵊州市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，求x﹣2020的值．【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a＝x﹣2020，从而得到a+1＝x﹣2019，a﹣1＝x﹣2021，代入计算即可．【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：3；（3）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝11，∴25＝11+2ab，∴ab＝7，即ab的值为7；②令a＝x﹣2020，∴x﹣2019＝[x﹣（2020﹣1）]＝x﹣2020+1＝a+1，x﹣2021＝[x﹣（2020+1）]＝x﹣2020﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝20，解得a2＝9．∴（x﹣2020）2＝9，∴x﹣2020＝±3．【点评】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．四．平方差公式（共5小题）18．（2022春•鹿城区校级期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝79．【分析】利用平方差公式计算（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝4（a2+2ab+b2）﹣1，由已知得（a﹣b）2＝16，再由ab＝1得出a2+b2＝18，代入求值的代数式计算即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，∴（a﹣b）2＝16，∴a2﹣2ab+b2＝16，∵ab＝1，∴a2+b2＝16+2ab＝18，∴（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝4（a2+2ab+b2）﹣1＝4（18+2）﹣1＝79．【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．19．（2022春•萧山区期中）一个多项式与（x﹣1）（x+1）的积为x3﹣mx2+nx+2，则m+2n＝0．【分析】根据多项式中每一项的系数相同，可得到结果．【解答】解：∵积中x的三次项的系数为1，∴另一个多项式的一次项系数也是1，∵积中有常数项为2，∴另一个多项式为（x﹣2），∴（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＝x3﹣2x2﹣x+2＝x3﹣mx2+nx2+2，∴m＝2，n＝﹣1，∴m+2n＝0，故答室为：0．【点评】本题考查了整式的乘法，解题的关键是先找到对应项的系数，求出未知多项式，然后根据对应已知多项式的系数求出m，n．20．（2021春•拱墅区校级月考）如图，是一道例题及部分解答过程，其中A、B是两个关于x，y的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：（1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果；（2）求多项式A与B的平方差．【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A和B，然后合并同类项可得答案；（2）直接根据平方差公式计算即可．【解答】解：（1）A＝2x﹣3y，B＝2x+3y，原式＝4x﹣6y﹣6x﹣9y＝﹣2x﹣15y．（2）A2﹣B2＝（2x﹣3y）2﹣（2x+3y）2＝（2x﹣3y+2x+3y）（2x﹣3y﹣2x﹣3y）＝4x⋅（﹣6y）＝﹣24xy．【点评】此题考查的是平方差公式，掌握其公式结构是解决此题关键．21．（2022春•海曙区期中）计算：（1）；（2）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先变形，再根据平方差公式展开，最后根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•y+y2＝x2﹣xy+y2；（2）原式＝[3a+（b﹣2）][3a﹣（b﹣2）]＝（3a）2﹣（b﹣2）2＝9a2﹣b2+4b﹣4．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解此题的关键，难度适中．22．（2022春•鄞州区校级期中）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝1．【分析】直接利用平方差公式求出即可．【解答】解：∵m2﹣n2＝6，m+n＝3，∴（m﹣n）（m+n）＝6，则m﹣n的值是2，∴＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，熟练利用公式法求出答案是解题的关键．五．平方差公式的几何背景（共5小题）23．（2022春•临渭区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为3．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；【应用】（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．【解答】解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．【点评】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．（2022春•衢州期中）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．【分析】（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①（a+b）2由已知可得：＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81，再结合a、b的范围即可求解；②（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25a﹣b＝5再结合a、b的范围即可．【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）①∵a2+b2＝53，ab＝14，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+2×14＝81，∴a+b＝±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝53﹣2×14＝25∴a﹣b＝±5又∵a＞b＞0，∴a﹣b＝5∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×5＝45．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，由面积的关系结合平方差公式解题是关键．25．（2022春•嘉兴期中）小明把图1中L形的纸片进行如图2的剪拼，改造成了一个长方形，你是否可以结合上述图形验证平方差公式？请进行具体说理．【分析】根据拼图和各个图形面积的计算方法分别计算图2的面积即可．【解答】解：计算图2面积可列：，由图1可知L形的纸片面积＝a2﹣b2，由于图1与图2面积相等可得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用本题的方法求出图形的面积是正确解答的前提．26．（2021春•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是①②．（请填上正确的序号）【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．故答案为：①②．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．27．（2022春•东阳市校级月考）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）①利用平方差公式，将4a2﹣b2＝24，写成（2a+b）（2a﹣b）＝24，再整体代入计算即可；②根据平方差公式将原式化为，也就是××××××…××即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，理解平方差公式的结构特征是正确解答的关键．六．整式的混合运算—化简求值（共8小题）28．（2022春•柯桥区期末）已知x2﹣x＝2022，则代数式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝4043．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2﹣x＝2022代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝x2﹣1+x2﹣2x＝2x2﹣2x﹣1，当x2﹣x＝2022时，原式＝2（x2﹣x）﹣1＝2×2022﹣1＝4044﹣1＝4043，故答案为：4043．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．29．（2022春•衢州期中）先化简，再求值：（a+2）2﹣a（3a+4），其中a＝﹣1．【分析】由整式的乘法进行化简，然后把a＝﹣1代入计算，即可求出答案．【解答】解：（a+2）2﹣a（3a+4）＝a2+4a+4﹣3a2﹣4a，＝﹣2a2+4；当a＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）2+4＝﹣2×1+4＝2．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式，以及整式混合运算的法则进行计算．30．（2022春•余杭区月考）（1）化简求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（﹣x﹣3y）2，其中．（2）已知2x﹣y＝1，xy＝2，求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可；（2）先对所求式子变形，然后将2x﹣y＝1，xy＝2代入计算即可．【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣（﹣x﹣3y）2＝x2﹣4y2﹣x2﹣6xy﹣9y2＝﹣13y2﹣6xy，当时，原式＝﹣13×12﹣6××1＝﹣15；（2）4x3y﹣4x2y2+xy3＝xy（4x2﹣4xy+y2）＝xy（2x﹣y）2，当2x﹣y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．31．（2022•鄞州区校级开学）先化简再求值：（1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．（2）已知m，n满足（m+n）2＝169，（m﹣n）2＝9，求m2+n2﹣mn的值．【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）﹣4y2＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣2xy﹣4y2＝﹣6xy，当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣6×（﹣4）×＝12；（2）∵（m+n）2＝169，（m﹣n）2＝9，∴m2+2mn+n2＝169①，m2﹣2mn+n2＝9②，①+②得：2m2+2n2＝178，∴m2+n2＝89，①﹣②得：4mn＝160，∴mn＝40，∴m2+n2﹣mn＝89﹣40＝49，∴m2+n2﹣mn的值为49．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．32．（2021春•拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值2．【分析】先根据单项式乘单项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，继而根据代数式的值与b的取值无关知对应项的系数为0，据此求解即可．【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣（3ka2b﹣4ka3﹣3ab2+4a2b）＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+4ka3+3ab2﹣4a2b＝2ka2b﹣4a2b+4ka3＝（2k﹣4）a2b+4ka3，根据题意知2k﹣4＝0，∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式及合并同类项法则．33．（2022春•南湖区校级期中）先化简再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+2b）2+5b2，其中a＝1，b＝﹣1．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，然后代入a，b的值计算即可．【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+2b）2+5b2＝4a2﹣b2﹣（a2+4ab+4b2）+5b2＝4a2﹣b2﹣a2﹣4ab﹣4b2+5b2＝3a2﹣4ab，当a＝1，b＝﹣1时，原式＝3×12﹣4×1×（﹣1）＝7．【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则等知识是解题的关键．34．（2021春•南浔区期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝5，则h（4）＝h（2+2）＝5×5＝25，若h（3）＝k（k≠0），则h（3b）•h（27）（其中b为正整数）的结果是kb+9．【分析】根据h（3）＝k（k≠0），将所求式子化为含有h（3）的形式，将k代入计算可求解．【解答】解：∵h（3）＝k（k≠0），∴h（3b）•h（27）＝h（）•h（3+3+3+3+3+3+3+3+3）＝kb•k9＝kb+9．故答案为kb+9．【点评】本题主要考查整式的化简求值，化简所求式子是解题的关键．35．（2021•兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值为1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：x[x（x+2）+1]﹣1，当x＝8时，这个多项式的值为647．【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：x3+2x2+x﹣1＝x[x（x+2）+1]﹣1，当x＝8时，原式＝647，故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；647【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键．巩固巩固提升一、单选题1．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形长是，宽是，根据两者面积相等，即可验证平方差公式．【详解】解：由题意得：，故选：C．【点睛】本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式，解决本题的关键是比较两个图形分别表示出面积．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（）A． B．1 C．11 D．4027【答案】B【分析】根据题意可以写成，利用平方差公式简便计算出结果．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，准确计算．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可令，则，进行相减即可得．【详解】解：根据题意，可令，则，∴，即，故选：C．【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解题意，正确计算．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据多项式乘多项式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则分别计算即可判断．【详解】解：A、，故错误，不符合题意；B、，故正确，符合题意；C、，故错误，不符合题意；D、，故错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则．5．（2023春·七年级单元测试）若是完全平方式，则n的值为（）A．6 B．或6 C．1 D．【答案】B【分析】由完全平方式的特点可得或再解方程即可．【详解】解：是完全平方式，∴或解得：或，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键．6．（2023春·七年级单元测试）已知，则的值为（）A．10 B．17 C．26 D．33【答案】B【分析】根据完全平方公式变形计算即可．【详解】∵，，∴．故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2023春·七年级单元测试）若，则（）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：∵，∴，则，解得：或（舍），故选：B．【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．8．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（）A．23 B．25 C．27 D．29【答案】C【分析】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9．（2023春·七年级单元测试）如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（）．A．6 B．16 C．26 D．46【答案】B【分析】根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．【详解】解：∵正方形面积为，∴正方形边长为，设正方形边长为x，则，∴，，∵阴影部分面积为，∴，整理得：，∴，解得：，∴正方形面积为．故选：B．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．．10．（2023春·浙江·七年级专题练习）若实数x，y，z满足，求（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可．【详解】解：令，则∵，∴，整理得：，∵，∴，∵，，，∴，∵，即∴，∴，∵，，∵∵，∴，解得：，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简．二、填空题11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知多项式是完全平方式，则_________．【答案】4【分析】根据完全平方式的特征列出关系式计算即可．【详解】解：，设，则多项式为：，多项式是完全平方式，，解得：，．故答案为．【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的特征是解题关键．12．（2023春·七年级单元测试）已知，，则___________．【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：∵，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．13．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知：，则__________．【答案】【分析】将变形为，然后将，代入求解即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，则__________．【答案】17【分析】根据完全平方公式得出结论即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴故答案为：17【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15．（2022春·浙江温州·七年级校联考期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为_____．【答案】5【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可．【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为12可得，，，即①，②，由①得，③，③②得，所以，即长方形的面积为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的关键．16．（2023春·浙江·七年级专题练习）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．【答案】4或16【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴或，∵与的乘积中不含x的一次项，，∴，∴，当，时，；当，时，，则或16，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．三、解答题17．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，10．【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可．【详解】解：．将代入得：．【点睛】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键．18．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先利用乘法的平方差公式、多项式除以单项式法则化简整式，再代入求值．【详解】解：．当，时，原式．【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．19．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】根据多项式乘以多项式，乘法公式，再利用整式的除法法则化简即可．【详解】解：原式，当，时，原式．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，乘法公式等相关知识点，熟记对应法则是解题的关键．20．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．(1)【探究】①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．【答案】(1)①；；②；(2)3999999．【分析】（1）①、图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子；（2）将转化为，根据平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：①、在图①中：大正方形的面积为，小正方形的面积为，阴影部分的面积为：；在图②中：阴影部分为长方形，且长为，宽为，阴影部分的面积为：；②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，可得到乘法公式：；（2）原式．【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，用代数式表示阴影部分的面积是得出平方差公式的关键．21．（2023春·七年级单元测试）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．(1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．(2)图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．(3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示．【答案】(1)(2)(3)【分析