河南省汝州市高三4月质量检测数学（理）试题

2022届河南省汝州市高三4月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求即可.【详解】因为，，故.故选：B.2．欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先利用欧拉公式得，然后利用的运算性质求解出复数，从而可求出复数z对应的点位于的象限【详解】由题意得，所以复数z对应的点位于第四象限，故选：D3．已知为正项等差数列的前n项和，若，则（

）A．22 B．20 C．16 D．11【答案】A【分析】根据可求得，利用等差数列的性质化简，可得答案.【详解】由题意设正项等差数列的首项为，公差为故由得：，即，故，故选：A4．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦的和差角公式，将分别写为整理化简，即可求得结果.【详解】因为，故.故选：C.5．已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为1），则该几何体的体积为（

）A． B．15 C． D．20【答案】C【分析】由三视图得到该几何体为棱台，利用棱台的体积公式即得.【详解】由题可得该几何体为底面分别为边长为2、4的正方形，高为2的正棱台，故该几何体的体积为.故选：C.6．已知圆C：和直线l：，则“点在圆C上”是“直线l与圆C相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆上，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相切；若直线与圆相切，则，即，此时点在圆上.故选：C7．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为（，k为正常数，表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（

）（结果四舍五入保留整数，参考数据）A．12h B．16h C．26h D．33h【答案】B【分析】利用函数关系式，结合条件可求出常数k的值，然后结合排放标准即可求出结论．【详解】由题意，实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%，∵，∴，∴，即，∴，当时，，即，∴,即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16h.故选：B.8．某同学为了，设计了一个程序框图（如图所示），则在该程序框图中，①②两处应分别填入（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】理解程序框图功能后补全内容【详解】程序框图功能为求的前100项和，递推公式为，故①为，当时继续循环，当时退出循环，故②为故选：C9．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.【详解】由题，设原点为，根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），所以，因为的最小值为，即，所以，此时为渐近线的垂线，因为双曲线的一条渐近线为,所以在中，，因为，所以，即，所以，则.故选：B10．第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（

）A．120种 B．96种 C．48种 D．24种【答案】C【分析】先将2名男老师安排在相邻两天，再将2名女老师安排在相邻两天，利用间接法求得结果.【详解】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有种安排方案，所以符合条件的安排方案共有.故选：C.11．辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中）．若，则下列结论正确的是（

）A． B．的图象关于直线对称C．在上单调递增 D．过点的直线与的图象一定有公共点【答案】D【分析】由可得，，计算出、可判断A；由三角函数对称性质可判断B；整体代换法和值可判断C；由得，可判断D.【详解】函数，因为，所以，，取，所以，即，解得，，，因为值不确定，无法比较大小，故A错误；，故B错误；当时，，故在单调递减，但是值不确定，所以的单调性不确定，故C错误；因为是，且的周期函数，所以，故过点的直线与的图象一定有公共点，故D正确.故选：D.12．已知函数有三个零点，且，则（

）A．8 B．1 C．－8 D．－27【答案】D【分析】根据题意可得：有三解，令，由的图像可得故最多只有两个解，所以有两解，，有一解为，有两解为，代入即可得解.【详解】由，即有三解，令，设，，当，为增函数，当，为减函数，图像如图所示：故最多只有两个解，若要有三解，则有两解，，，故有一解为，有两解为，，故选：D二、填空题13．已知两个单位向量的夹角为，若，且，则＝___．【答案】8【分析】根据向量，结合向量数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，两个单位向量的夹角为，且，又由得：，，则，所以.故答案为：8.14．已知曲线的焦距为8，则___________.【答案】25或【分析】由题意知半焦距，再分，讨论求解.【详解】解：由题意知半焦距，当时，则曲线C为椭圆，又，所以；当时，曲线C为双曲线，所以，所以.故a的值为25或.故答案为：25或15．如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___．【答案】【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可.【详解】因为，所以是边长为的等边三角形，所以边长为的等边三角形的高为：，所以，设到平面的距离为，，所以，所以，解得，则，所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为，所以交线总长度为：.故答案为：.三、双空题16．自华为事件以来，国内公司认识到自主创新的重要性，纷纷加大创新的技入．某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产．计划从2022年起，在今后若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的研发与生产，2021年新产品带来的收入为5百万元，并预测在今后相当长的时间内，新产品所带来的收入均在上年度收入的基础上增长，记2021年为第1年，表示第1年至第年的累计利润（含第年，累计利润＝累计收入一累计投入），则＝________千万元；根据预测该新产品从第________年开始盈利．（参考数据：）【答案】

【分析】第一空根据条件，结合等比数列的性质，以及等比数列的求和公式，即可求解；第二空根据条件，结合单调性，以及特殊值，即可求解.【详解】由题意知，第1年至此后第年的累计投入为，设第年的收入为，前年的累计收入为，根据条件得，，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，所以，所以；因为，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，又，，，所以该新产品从第年开始并持续盈利.四、解答题17．家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都为4分（指的是英制尺寸）的甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年（4个季度）.现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表：品牌甲乙首次出现损坏时间x（季度）水龙头数量（件）20180816176每件的利润（元）246将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲､乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，求恰有一件首次出现损坏发生在保修期内的概率；(2)由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头.若从水龙头的利润的均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？【答案】(1)(2)选择生产乙品牌水龙头比较合理【分析】（1）先根据表中的数据分别求出甲、乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的频率，从而可得甲、乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率，然后根据独立事件的概率公式求解即可，（2）记生产1件甲品牌水龙头的利润为（元），生产1件乙品牌水龙头的利润为（元），求出，的分布列，从而可求出其期望，进行比较可得结论【详解】(1)设“甲品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件A，则；设“乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件B，则.设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C，则.(2)记生产1件甲品牌水龙头的利润为（元），生产1件乙品牌水龙头的利润为（元），则的分布列为P的分布列为246P.因为，所以选择生产乙品牌水龙头比较合理.18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC周长的最大值．【答案】(1);(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求得A，即可得答案;（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.【详解】(1)因为所以由正弦定理可得，即，由余弦定理知，，因为，所以.(2)由和（1）可知，则，得，即，所以（当且仅当时，取得等号），所以周长的最大值为.19．如图，在几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．(1)求证：A，B，D，E四点共面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，得到，结合空间向量基本定理即可得出结论；（2）结合二面角的夹角的空间向量的坐标公式求出夹角的余弦值，进而结合二面角的范围即可求出结果.【详解】(1)

取的中点，连接，取的中点，连接,因为平面平面，且平面平面，而为等边三角形，所以，因此平面，因为平面平面，且平面平面，又因为为等边三角形，所以，因此平面，又因为平面，因此，又因为为等边三角形，所以，因此两两垂直，从而以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为均为边长为2的等边三角形，所以,，,设，则,,,由于，所以，解得，因此，所以,,,所以，由空间向量基本定理可知：四点共面；(2)设平面的法向量为，而，由于，即，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，而，由于，即，取平面的一个法向量为，则，因为二面角的范围为，所以二面角的正弦值为非负数，,因此二面角的正弦值为.20．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点M（m，0）（m＞0）作两条互相垂直的直线，且与曲线交于A，B两点，与曲线交于C，D两点，点P，Q分别为AB，CD的中点，求△MPQ面积的最小值．【答案】(1)(2)16【分析】（1）设出圆心坐标，列出等量关系，整理得到轨迹方程；（2）设出直线方程，与第一问求出的抛物线联立，得到两根之和，两根之积，从而表达出点P，Q的坐标，表达出△MPQ面积，利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】(1)设圆心为，由题意得：，两边平方，整理得：，故曲线的方程为.(2)显然直线斜率均存在，不妨设，（）与联立得：，设，则，则，故，，所以，由于直线互相垂直，故，所以，当且仅当，即时等号成立，所以△MPQ面积的最小值为16.21．设函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若时，存在实数b，使得对任意恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当时，，此时在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的范围，确定函数的单调性；（2）将变为，构造函数，求出其导数，讨论以及，然后分离参数，将恒成立问题转化为函数的最值问题.【详解】(1)因为，当时，，此时在R上单调递增；当时，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增；(2)等价于，令，则，若，此时恒成立，故单调递增，且，故不恒成立，不合题意；若，则对恒成立，设，则，令，则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，故，所以，所以原命题转化为存在，使得，令，则，，令，显然在