河南省洛阳市高三第三次统一考试数学（理）试题

2022届河南省洛阳市高三第三次统一考试数学（理）试题一、单选题1．已知，其中是虚数单位，则（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】B【分析】根据复数代数的形式的除法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，因为，所以，即，所以；故选：B2．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合的运算法则计算．【详解】由题意，，．故选：A．3．若函数是偶函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】由已知，根据函数的解析式，写出的解析式，然后根据函数为偶函数，借助，列出等量关系，化简即可求解参数.【详解】由已知，，所以，函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.4．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由已知，可根据，求解出，，然后带入，中，判定从而确定充分性；然后再根据，列式求解出的值，与条件对比，不满足必要性，故可以完成解答.【详解】由已知，，所以，，此时，，所以；若，由，可得：，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的离心率，求得，进而求得双曲线的渐近线方程，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，因为双曲线的离心率，可得，可得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.6．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，所以概率为：.故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据题意可知该几何体是直三棱柱将三棱锥切除后余下部分，作出草图，结合题中所给数据即可求出结果.【详解】根据该几何体的三视图，可知该几何体是如图所示的直三棱柱将三棱锥切除后余下部分，即四棱锥；由三视图中的数值可知，直三棱柱中，所以该几何体的体积为.故选：B.8．首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（

）（参考数据：，）A．存款金额的首位数字是1的概率约为B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%【答案】D【分析】根据对数的运算性质及参考数据逐项计算后可得正确的选项.【详解】因此存款金额用十进制计算，故，对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.对于B，存款金额的首位数字是5的概率为，故不约为9.7%，故B错误.对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，存款金额的首位数字是7的概率为，因为，故，故C错误.对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，存款金额的首位数字是9的概率为，故存款金额的首位数字是8或9的概率为，故D正确.故选：D.9．若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】设，则，即在上有且仅有6个极值点，结合正弦函数的图像性质可得答案.【详解】设，则当时，由在上有且仅有6个极值点，则在上有且仅有6个极值点.如图由正弦函数的图像性质可得解得，所以正整数的值为3故选：B10．若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，与，借助导数研究函数的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.【详解】由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为，如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.11．已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，，为到的距离，又是的中位线，故，结合余弦定理，设，即可表示出，即可讨论最值【详解】由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2故选：B12．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.【详解】构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.二、填空题13．已知实数，满足，则的最大值为___________.【答案】【分析】作出可行域，目标式子，表示可行域内点与坐标原点的连线的斜率，数形结合计算可得；【详解】解：作出不等式对应的平面区域如下所示：其中表示可行域内点与坐标原点的连线的斜率，由，解得，即，由图可知，即；故答案为：14．在的展开式中，只有第七项的二项式系数最大，则展开式中常数项是___________.（用数字作答）【答案】495【分析】先根据只有第七项的二项式系数最大，求出，进而利用展开式的通项公式，求出常数项.【详解】由题意得：，故展开式的通项公式，令，解得：，所以故答案为：49515．在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.【答案】【分析】将正方形、铺平在同一平面上，当三点共线时，最小，然后可得答案.【详解】如图，将正方形、铺平在同一平面上，当三点共线时，最小，最小值为，故答案为：16．已知点为的重心，且，若，则___________.【答案】【分析】连接，延长交于，根据重心的性质和题意可知，由余弦定理，在三角形可得，在三角形中可得，再根据，可知，再根据三角形内角的关系和正弦定理可知，再结合余弦定理，即可求出结果.【详解】如图，连接，延长交于，因为点为的重心，故为中点，因为，所以，由重心的性质得，，即,由余弦定理得，又，所以所以，又，所以则，.故答案为：.三、解答题17．影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；年份201620172018201920202021职工平均工资城镇居民消费水平以表示职工平均工资，以表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：(1)请写出从散点图发现的与之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；(2)请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？附：线性回归方程，，，参考数据：，，【答案】(1)规律见解析，(2)【分析】（1）根据散点图的变化趋势分析即可，再求出，，，即可得到回归直线方程；（2）由（1）中的回归直线方程求出的取值范围，即可得解；【详解】(1)解：从散点图看到，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，职工平均工资与城镇居民消费水平之间成正相关，即职工平均工资越高，城镇居民消费水平越高；又，，，，所求线性回归方程为；(2)解：当时，即，解得，所以估计年的职工平均工资至少达到万元；18．已知正项数列的前项和为，，，数列满足且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据，可求出的通项公式，由此可得，在根据递推公式可得，在分为奇数和偶数两种情况，可求出数列的通项公式；（2）分为奇数和偶数两种情况，利用分组求和结合等比数列前和公式，即可求出结果.【详解】(1)解：因为，①当时，，即，又，所以或（舍去）当时，，②所以①-②，，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即，所以，当时，，又，所以，当时，，两式相除可得，所以当为奇数时，，当为偶数时，,，(2)解：当为偶数时，；当为奇数时，所以.19．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆周上一点，，四边形为矩形.(1)若点在上，且平面，请确定点的位置并说明理由；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)点为的中点，证明见解析.(2)【分析】(1)当点为的中点时,取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而从而可证明.(2)设,连接，可得，从而证明，由,所以，所以为二面角的平面角，然后由余弦定理求解即可.【详解】(1)当点的位置为的中点时，平面.证明：取的中点，连接由分别为的中点，则，且，即又四边形为矩形，则,且所以,且,故四边形为平行四边形.所以，又平面,平面所以平面(2)由为底面直径，为底面圆周上一点,则四边形为矩形，则根据题意为圆锥的高，则平面，所以平面由平面，则,且所以平面，平面所以设,连接由且为的中点，则为的中点，所以所以在圆锥中，,所以所以为二面角的平面角.,则,所以20．已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.(1)求的值；(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.【答案】(1)2；(2)证明见解析，.【分析】（1）设，则，然后利用二次函数的知识结合的最小值可得答案；（2）依次求出点的坐标、的方程，然后算出线段的中点坐标和长度，然后可证明和求出圆的方程.【详解】(1)设，则，令，则，对于二次函数，其对称轴为，当时，，在上单调递增，其最小值为9，即的最小值为3，不满足题意，当时，，所以当时取得最小值，即所以，解得或（舍）所以(2)由（1）可得，当时，，点，所以，直线的方程为，由可得，解得或，所以，所以的中点为，所以直线的方程为，即，设，由可得，所以所以线段的中点为，因为，所以A，D，E，F四点共圆，圆心为，半径为8，所以该圆的方程为.21．已知函数，（其中为自然对数的底数）.(1)判断函数的零点的个数，并说明理由；(2)当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对函数求导，易知当时，单调递增，在根据零点存在定理，即可得到结果；（2）根据题意可知当时，，令，对求导可得，再，利用导数可知的单调性，根据零点存在定理，可知存在，使得，由此可知函数在上单调递减，在上单调递增，故可求出，再由，可知，可得，再根据可知的范围，由此即可求出结果.【详解】(1)解：函数有且只有一个零点.理由如下:因为当时，，所以，在上递增.所以函数至多有一个零点，又时，；时，所以函数有且只有一个零点.(2)(2)当时，，即，令，所以，当时，，设，在(0，1]上单调递增，且，所以存在，使得，即，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.∴，又在上单调递减，又，所以，所以整数的最大值是.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线.(1)求曲线的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为，射线：与，分别交于A，B两点，求线段AB的长.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去参数得到直线、的普通方程，联立两方程消去，即可得到的轨迹；（2）首先将的方程化为极坐标方程，再将代入两极坐标方程即可求出，，即可得解；【详解】(1)解：因为直线的参数方程为（为参数），消去参数得直线的普通方程为①，直线的参数