江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（文）试题

2022届江西省南昌市高三第二次模拟测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A元素是自然数，集合B的元素是实数．【详解】∵，，∴．故选：．2．已知i为虚数单位，若，则（

）A．1+i B． C．2 D．【答案】B【分析】根据共轭复数的定义求出，然后利用复数的模长公式即可求解.【详解】解：因为，所以，所以，故选：B.3．已知直线与直线垂直，则m=（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.【详解】当时，，由知，斜率为2，所以直线与不垂直，不符合题意；当时，，因为直线与直线垂直，所以，解得.故选：C.4．已知公比不为1的正项等比数列的前n项和为，若，则公比q=（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】直接应用等比数列前n项和公式建立方程就可解出q.【详解】由题知公比不为1且为正，由得，化简得，所以q=3.故选：A.5．已知圆锥内部有一个半径为的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的边长为，利用等面积法可得出关于的等式，解出的值，可得出该圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的边长为，由等面积法可知圆锥的轴截面面积为，解得，则该圆锥的母线长为，因此，该圆锥的侧面积为.故选：C.6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对数函数、三角函数、指数函数的性质可比较出大小.【详解】因为，，，所以.故选：D7．若为奇函数，则（

）A．-8 B．-4 C．-2 D．0【答案】A【分析】利用分段函数的特点及奇函数的性质求解.【详解】因为为奇函数，所以，又，可得.故选：A.8．已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用图象解不等式，然后利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】对于不等式，作出曲线与的图象如下图所示：由图象可知，不等式的解集为，因为，因此，是的必要不充分条件，故选：B.9．如图1，正方体中，点P在矩形内（包含边界），若三棱锥的左视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别取点点为，和线段的中点，结合三视图的规则，即可求解.【详解】如图（1）所示，若点为的中点时，此时三棱锥的俯视图为选项C；如图（2）所示，若点为的中点时，此时三棱锥的俯视图为选项B；如图（3）所示，取和的中点和，连接，若点为的中点时，此时三棱锥的俯视图为选项A；所以此三棱锥的俯视图不可能是选项D.故选：D.10．已知函数在上有且仅有3个零点，则m的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简函数，得到的零点，根据题意可得m的取值范围，从而可得m的最大值.【详解】，令，即，所以，即，令，得，令，得，令，得，令，得，因为函数在上有且仅有3个零点，所以，所以m的最大值为，故选：C.11．已知函数，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导函数的零点与原函数极值点的关系即可判定图像.【详解】由题，导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点，且，只有B图符合.故选：B.12．已知函数，若，且，则实数a的最大值为（

）A．2 B． C．ln2 D．e【答案】C【分析】先用导数法判断函数的单调性，根据，，得到，利用复合函数的值域求解.【详解】解：，若，则不满足，所以，令，得，当时，，递增，当时，，递减，因为，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，故实数a的最大值为，故选：C二、填空题13．已知向量，，若，则___________.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】由已知.故答案为：.14．已知等差数列的前n项和为，且，，则___________.【答案】【分析】设等差数列的公差为，依题意根据等差数列的求和公式及通项公式得到方程组，求出、，即可得解；【详解】解：设等差数列的公差为，由，，所以，解得，所以；故答案为：15．从装有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则选到的两个球颜色相同的概率为___________.【答案】【分析】列举出任取两个球所有可能的选法，并确定颜色相同的选法数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】个红球记为，个篮球记为，则任取两个球有，，，，，，，，，，共种选法；其中颜色相同的有，，，，共种选法；选到的两个球颜色相同的概率.故答案为：.16．已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，求出，求出、的余弦值，由题意可知，可得出关于、的齐次等式，结合可解得的值.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，因为，则，则，因为，则，由余弦定理可得，因为，所以，，所以，，整理可得，即，因为，解得.故答案为：.三、解答题17．如图，锐角中，，延长到，使得，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在，直接利用正弦定理可求得的长；（2）设，则为锐角，可得出、的值，计算出的正弦值和余弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.【详解】(1)解：在中，由正弦定理知，所以，.(2)解：设，则为锐角，，所以，，所以，则，所以.18．如图，四边形、都是边长为的正方形，，四边形为矩形，平面平面，平面平面，点在线段上，且.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）过点在平面内作垂直于的延长线于点，推导出平面，计算出的长，然后利用锥体的体积公式可求得结果；（2）证明出，推导出、、、四点共面，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)解：因为，，，平面，因为平面，则平面平面，过点在平面内作垂直于的延长线于点，因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因为四边形、都是边长为的正方形，则，，利用等角定理结合图形可知，故，所以，，所以.(2)证明：因为，，，所以，所以，因为为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，，所以，、、、四点共面，因为平面，平面，因此，平面.19．国际上常用体重指数作为判断胖瘦指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值.高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高.某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：档次低体重正常超重肥胖体重指数（单位：）学生得分抽查了某校高三名学生的体重指数，得到数据如下表：(1)请你计算该校这次检查中学生平均得分，估算该校高三学生的肥胖率；(2)从这名学生中选取了名男同学，测量了他们的肺活量，得到如下数据表：序号体重指数（单位：）肺活量（单位：）求关于的线性回归方程.参考数据：，，，.参考公式：回归直线方程是，其中，.【答案】(1)平均得分为；肥胖率为(2)【分析】（1）由表格数据可确定低体重、正常、超重和肥胖的人数，由平均数的计算方法可求得平均得分；根据肥胖人数可得肥胖率；（2）根据参考数据，利用最小二乘法即可求得回归方程.【详解】(1)由表格数据知：低体重的有人，正常的有人，超重的有人，肥胖的有人；学生的平均得分为：；学生肥胖率为.(2)由参考数据知：，，，，关于的线性回归方程为：.20．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，证明：方程有且仅有一个正根.【答案】(1)增区间为，无减区间；(2)证明见解析【分析】（1）时，求导，分析导函数的符号即可得出单调区间；（2）先证明出一个点，当，，再证时函数递增，结合零点存在定理即可说明.【详解】(1)因为，所以，则，当时，所以函数在上单调递增，即函数的增区间为，无减区间；(2)因为，所以，设，，所以，当时，，则在为减函数；当时，，则在为增函数；因为，当时，，所以存在，使得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；因为，所以当时，，；且当时，，所以在区间有且仅有一个零点，即方程有且仅有一个正根.21．已知椭圆的左､右顶点分别为，，点H是直线上的动点，以点H为圆心且过原点的圆与直线l交于M，NH在椭圆E上时，圆H的半径为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AM，AN与椭圆E的另一个交点分别为P，Q，记直线PQ，OH的斜率分别为，，判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值为.【分析】（1）求出，即得解；（2）设，，根据，所以，再把直线方程和椭圆方程联立，得到P，Q的坐标，求出，即得解.【详解】(1)解：由题意知a=2，因为，所以，所以，所以，即椭圆方程为.(2)解：，，可得，，，因为，所以，由，整理可得：，所以，则，，同理可得：，，所以，因为，所以.22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求a.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线的参数方程化为普通方程，再根据化为极坐标方程，根据公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据圆心角的性质得到，即可得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，再检验即可；【详解】(1)解：因为曲线C的参数方程为（为参数）所以，所以曲线C的普通方程为，即，又，所以，所以曲线C的极坐标方程为.因为直线l的极坐标方程为，所以