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文档简介
2022-2023学年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体招生全国统一考试广东数学试题调研卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的右焦点为,过的直线交双曲线的渐近线于两点,且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.16003.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题4.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.的内角的对边分别为,若,则内角()A. B. C. D.6.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图,根据表和统计图,以下描述正确的是().金牌(块)银牌(块)铜牌(块)奖牌总数2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不具有实际意义C.第30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.57.已知双曲线的右焦点为,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,延长交右支于点,若,则双曲线的离心率是()A. B. C. D.8.给出以下四个命题:①依次首尾相接的四条线段必共面;②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.39.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.10.函数的图象的大致形状是()A. B. C. D.11.若不等式对于一切恒成立,则的最小值是()A.0 B. C. D.12.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设是定义在上的函数,且,对任意,若经过点的一次函数与轴的交点为,且互不相等,则称为关于函数的平均数,记为.当_________时,为的几何平均数.(只需写出一个符合要求的函数即可)14.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2个球,丙、丁盒子均最多可放入1个球,且不同颜色的球不能放入同一个盒子里,共有________种不同的放法.15.函数在区间上的值域为______.16.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例:勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数,则这3个数能构成勾股数的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四边形是边长为3的菱形,平面.(1)求证:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的正弦值.18.(12分)数列满足,是与的等差中项.(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.20.(12分)如图,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.21.(12分)已知.(1)已知关于的不等式有实数解,求的取值范围;(2)求不等式的解集.22.(10分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先求出直线l的方程为y(x﹣c),与y=±x联立,可得A,B的纵坐标,利用,求出a,b的关系,即可求出该双曲线的离心率.【详解】双曲线1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x,∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍,∴kl,∴直线l的方程为y(x﹣c),与y=±x联立,可得y或y,∵,∴2•,∴ab,∴c=2b,∴e.故选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查向量知识,考查学生的计算能力,属于中档题.2、B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.3、D【解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.4、B【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.5、C【解析】
由正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换可得.【详解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查正弦定理,考查两角和的正弦公式和诱导公式,掌握正弦定理的边角互化是解题关键.6、B【解析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势,29届最多,错误;B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不表示某种意思,正确;C.30届与第29届北京奥运会相比,奥运金牌数、铜牌数有所下降,银牌数有所上升,错误;D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确;故选:B【点睛】此题考查统计图,关键点读懂折线图,属于简单题目.7、D【解析】
设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,和中,利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,,根据对称性知四边形为矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8、B【解析】
用空间四边形对①进行判断;根据公理2对②进行判断;根据空间角的定义对③进行判断;根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中,空间四边形的四条线段不共面,故①错误.②中,由公理2知道,过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,故②正确.③中,由空间角的定义知道,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故③错误.④中,空间中,垂直于同一直线的两条直线可相交,可平行,可异面,故④错误.故选:B【点睛】本小题考查空间点,线,面的位置关系及其相关公理,定理及其推论的理解和认识;考查空间想象能力,推理论证能力,考查数形结合思想,化归与转化思想.9、A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.10、B【解析】
根据函数奇偶性,可排除D;求得及,由导函数符号可判断在上单调递增,即可排除AC选项.【详解】函数易知为奇函数,故排除D.又,易知当时,;又当时,,故在上单调递增,所以,综上,时,,即单调递增.又为奇函数,所以在上单调递增,故排除A,C.故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,导函数性质与函数图象关系,属于中档题.11、C【解析】
试题分析:将参数a与变量x分离,将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,即可得到结论.解:不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,等价于a≥-x-对于一切成立,∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C.考点:不等式的应用点评:本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题12、B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由定义可知三点共线,即,通过整理可得,继而可求出正确答案.【详解】解:根据题意,由定义可知:三点共线.故可得:,即,整理得:,故可以选择等.故答案为:.【点睛】本题考查了两点的斜率公式,考查了推理能力,考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.14、【解析】
讨论装球盒子的个数,计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时:种;当三个盒子有球时:种;当两个盒子有球时:种.故共有种,故答案为:.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用,意在考查学生的理解能力和应用能力.15、【解析】
由二倍角公式降幂,再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可求得值域.【详解】,,则,.故答案为:.【点睛】本题考查三角恒等变换(二倍角公式、两角和的正弦公式),考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数的性质得出结论.16、【解析】
由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法,其中能构成勾股数的有共三种,所以,所求概率为.故答案为【点睛】本题考查古典概型与数学文化,考查组合问题,数据处理能力和应用意识.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由已知线面垂直得,结合菱形对角线垂直,可证得线面垂直;(2)由已知知两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,由已知线面垂直知与平面所成角为,这样可计算出的长,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角可得二面角.【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为四边形是菱形,所以.又因为,平面,平面,所以平面.解:(2)据题设知,两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以又,所以,所以所以设平面的一个法向量,则令,则.因为平面,所以为平面的一个法向量,且所以,.所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角,这样可减少思维量,把问题转化为计算.18、(1)见解析,(2)【解析】
(1)根据等差中项的定义得,然后构造新等比数列,写出的通项即可求(2)根据(1)的结果,分组求和即可【详解】解:(1)由已知可得,即,可化为,故数列是以为首项,2为公比的等比数列.即有,所以.(2)由(1)知,数列的通项为:,故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法;中档题.19、(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】
(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.(3)由(2)当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.【详解】解:.是各项不为零的常数列,则,则由,及得,当时,,两式作差,可得.当时,满足上式,则;证明:,当时,,两式相减得:即.即.又,,即.当时,,两式相减得:.数列从第二项起是公差为的等差数列.又当时,由得,当时,由,得.故数列是公差为的等差数列;证明:由,当时,,即,,,即,即,当时,即.故从第二项起数列是等比数列,当时,..另外,由已知条件可得,又,,因而.令,则.故对任意的恒成立.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,从而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.【详解】(1)证明:设与交于点,连接,在矩形中,点为中点,∵为的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中点为,连接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的长即为四棱锥的高,在梯形中,,∴四边形是平行四边形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了
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