8.6若尔当标准型

章λ─矩阵

2021/5/91§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形§5初等因子§7最小多项式2021/5/92主要内容第六节Jordon形矩阵的定义若尔当(Jordan)标准形矩阵的Jordon标准形矩阵相似的条件2021/5/93从前面第七章的讨论可以知道，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下,一般的一个线性变换能化简成什么形状.在这一节，我们的讨论限制在复数域中.2021/5/94定义1

形式为的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中

是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如一、定义2021/5/95其中并且1,2,…s

中有一些可以相等.2021/5/96例如都是若尔当块，是一个若尔当形矩阵.而2021/5/971.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.2.在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数计算).注意2021/5/98二、若尔当标准形的初等因子我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.设有若尔当块引理1则其初等因子为(-0)n

.2021/5/99证明考虑它的特征矩阵显然|E-J0|=(-0)n

，这就是E-J0的n

级行列式因子.由于E-J0有一个n-1级子式2021/5/910所以它的n-1级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此，它的不变因子为d1()=…=dn-1()=1,dn()=(-0)n

.由此即得，E-J0的初等因子为(-0)n

.证毕2021/5/911设是一个若尔当形矩阵，引理2其中则J的初等因子为2021/5/912既然Ji

的初等因子是所以E-Ji与证明等价.于是2021/5/913与等价.因此，J

的全部初等因子是：2021/5/9142.每个若尔当形矩阵由若尔当块个数、各个若尔当块的级数及对角线上元素决定，即它的全部初等因子是由它的全部若尔当块的初等因子构成的.1.每个若尔当块完全被它的级数n

与主对角线上元素0所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子(-0)n

中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定.注意2021/5/915定理1(1)每个n

级的复数矩阵A

都与一个若尔当形矩阵相似；(2)这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A

唯一决定的;(3)称若尔当形矩阵为A

的若尔当标准形.证明设n

级矩阵A

的初等因子为其中1,2,…,s

可能有相同的，指数k1,k2,…,ks也可能有相同的.2021/5/916每一初等因子对应于一个若尔当块这些若尔当块构成一若尔当形矩阵2021/5/917根据以上的计算，J

的初等因子也是因为J

与A

有相同的初等因子，所以它们相似.如果另一若尔当形矩阵J

与A

相似，那么J

与A

就有相同的初等因子，因此J

与J除了其中若尔当块排列的次序外是相同的,由此即得唯一性.证毕2021/5/918步骤3得出矩阵A的若尔当标准形.求矩阵A的Jordan标准形的步骤步骤1求E-A

的初等因子；步骤2写出每一个初等因子对应的若尔当块；说明2021/5/919例1

设12级矩阵A的不变因子是(-1)2(+1)(2+1)2.1,1,…,1,(-1)2,(-1)2(+1),9个按定义，它的初等因子有7个，即(-1)2,(-1)2,(-1)2,(+1),(+1),(-i)2,(+i)2.于是其若尔当标准形为求矩阵A的Jordan标准形.解2021/5/9202021/5/921例2

求矩阵A的若当标准形.

解：

2021/5/922的初等因子为

故A的若当标准形为

2021/5/923换成线性变换的语言来说就是：定理2

设A

是复数域上n

维线性空间V

的线性变换，组基下的矩阵是若尔当形，阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.在V

中必定存在一组基，使A在这并且这个若尔当形矩2021/5/924证明在V

中任取一组基1,2,…,n,设

A在这组基下的矩阵是A.由存在可逆矩阵T，使T-1AT

成若尔当形矩阵.于是在由(1,2,…,n

)=(1,2,…,n

)T确定的基1,2,…,n下，线性变换

A的矩阵就是T-1AT.由定理1，唯一性是显然的.证毕2021/5/925应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理3

复数矩阵A

与对角矩阵相似的充分必要条件是，A

的初等因子全为一次的.三、矩阵相似的条件2021/5/926例3

证明矩阵

与对角阵相似

.2021/5/927

小结1.Jordon形矩阵的定义2.矩阵的Jordon标准形3.矩阵相似的条件2021/5/928

Smith标准形Jordan标准形行列式因子不变因子初等因子Jordan块2021/5/9