高考数学练习题目详解42数列应用题的解法

【知识要点】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解.二、与增长量和降低量有关的问题一般是等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般是等比数列三、单利问题：设本金为

，期利率为r

，则

期后本利和

nr)

，对应的是等差数列；复利问题：设本金为

，期利率为r

，则n期本利和p)n

n

，对应的是等比数列.四、数列的问题注意弄清数列的项数、首项、公差和公比.【方法讲评】方法一使用情景解题步骤

等差数列与等差数列有关一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，利用等差数列的性质解答【例1】某地为了防止水土流失植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：新植亩数沙地亩数

年100025200

年140024000

2005年180022400而一旦植完，则不会被沙.问）每年沙化的亩数为多少2）到那一年可绿化完全部荒沙地？

（）设2005年及其以后各年造林亩数分别为a、、2

、…，则点评）利用等差数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等差数列利等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问.【反馈检测1】杭州某通讯设备为适应市场需求，提高效益，特投98万引进世界先进设备奔腾6号并马上投入生第一年需要的各种费用是12万，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万.请你根据以上数据，解决下列问题）引该设备多少年后，开始盈利？（2）进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖.问哪种方案较为合算？并说明理由方法二使用情景解题步骤

等比数列与等比数列有关一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，利用等比数列的性质解答【例2】商学院为推进后勤社会改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率％，按复利计算所费

用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（）公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（）公寓管理处要在2010年把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元据：lg1.73430.2391,lg1.050.0212，1.05＝1.4774）【解析】依意，公寓2002年建成2003年始使用．（）公寓投入使用后n年偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为100080（元）＝800000（）80万，扣除18万，可偿还贷款万元．依题意有

62[1

2n

]

n

．化简得

nn

．∴

1.7343

．两边取对数整理得

n

0.0212

．∴取

＝12（年∴到2014年底可全部还清贷．【点评）银行的单利问题和利问题，要理解清.利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题（）用比数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等比数列；（）用等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问.学#【反馈检测2】为促进个人住房品化的进程，我国1999元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期年数)

公积金贷款

月利率‰

商业性贷款

月利率‰………………

1112131415……

4.3654.4554.5454.6354.725……

5.0255.0255.0255.0255.025……汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万，分十二年还清；商业贷款15万元分十五还清．每种贷款分别按月等额还款，问：(1)汪先生家每月应还款多少?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多?(参考数据：1.004455＝，1.005025＝2.05811.005025＝2.4651)方法三使用情景解题步骤

构造等差等比数列一般是非等差等比数列，但可以转化成等差等比数.先通过题目构造一个等差或等比数列，再利用等差等比数列的性质解.【例】2008年底某县的绿化面积占全总面积的

0

％，从年始计每年将绿化面积的8％绿化,由于修路盖房等用原有绿化面积的％被非绿化⑴设该县的总面积为1年绿化面积为

,经过年绿化的面积为

,试用a表示a

；⑵求数列

项

；⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过

60%(参考数据lg20.3010,0.4771

)

⑵

4a()

.数列

4是公比为,首55

的等比数列∴a

)()

.⑶

939)()n(),102【点评）构造数列关键是从知条件入手找到数列的递推关系构数列的首项和末项要弄清.【反馈检测3】某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度则年有16%的原沙漠地带成了绿地但同时原有绿地的4%又被侵蚀变了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过8？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？

高中数学常见题型解归纳及反馈检测第42讲：数列应用题的解法参答案【反馈检测1答）年开始盈利采用方案一合.【反馈检测2答）汪先生前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元）当月还款元学科#网【反馈检测2详解析】设月利率为，月还款数为元总贷款数为

元，还款期限为

月第1月末欠款数：A(1)第2月末欠款数：

[A(1x)a](1x)

2

(1)第3月末欠款数：[(1

2

))(1)

3

2

(1)……第n月欠款数

A(1)(1r)r)

(1r)

得：rar)(1)对于12年的万贷款r

4.455‰

1.004455

1.004455

942.37对于年期15万贷款，

，r

＝5.025‰∴

a

0.005025

1268.22由此可知生家前12年月款942.371268.22＝元年月还款元．(2)至12年末，汪先生家按计划款以后还欠商业贷款X)

(1)

(1)

)

其中A＝150000，a＝，r＝

105110515.025‰∴

＝41669.53再加上当月的计划还款数元，当月共还款43880.12元．【反馈检测3答）于意

，均有a

．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%）2005年，全县地面积才开始超过总面积的60%．由题可知：0

，

4所以，当

时，

，两式作差得：

又

a

44a525

，所以，数列

n

1

为首项，以为比的等比数列．5所以

1(1())3414)41025

由上式可知：对于任意nN，均有a

．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（Ⅱ）令

，得()

，由指数函数的性质可知：

n

随