高考数学导数解法

高考中数学导数的解法1、导数的背景：（12）瞬时速度.如一物体的运动方程是s1tt2，其中s的单位是米，的单位是秒，那么物体在3tt时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数f(x)在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个x，都对应着一个导数fx，这样f(x)a,b）内构成一个新的函数，这一新00yxfx的函数叫做f(x)在开区间（a,b）内的导函数，记作，fxxfxylimxx0x0导函数也简称为导数。提醒：导数的另一种形式()()fxfxyfx()lim0xxxx00xx00如（）*2yf(x)x1在1处可导，则abxxbx1解：在1处可导，必连续limf(x)1x21xxyf(x)axxbx1limf(x)abf1x∴ab1yyxlim2limaxx0x0∴a2b1（2）*已知在x=a处可导，且′(a)=b，求下列极限：f(ah)f(ah)（1）；2hh0f(ah)f(a)2（2）hh0xx选择哪种形式，△y也必xa处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形须选择相对应的形式。利用函数f(x)在转化为导数定义的结构形式。f(ah)f(ah)1）lim2hh01/7f(ah)f(a)2hf(a)f(ah)2hlimlimf(ah)f(a)f(a)f(ah)2hh03h0f(ah)f(a)1f(ah)f(a)hlimlimh02h2h0h031f'(a)f'(a)b22（2）f(ah)f(a)2()()fah2falimhhh2h0h0f(ah2)f(a)limlimhf'(a)00h2h0h0说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数3、求yf(x)在x处的导数的步骤1）求函数的改变量yfxxfx2）000xfxyfxyx求平均变化率3）取极限，得导数fxlim。00xVx0V0x也可（1）求f(x)f(x).04、导数的几何意义：函数f(x)在点x处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点0yf(x)在点处的切线的斜率是fxPxfxPxfx0,00,00应地切线的方程是yyfxxx。000特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f(x)：曲线上某点处0的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点；（2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。2如（1）P在曲线yx3x上移动，在点P3______（答：)[,)24（2）直线y3x1是曲线yxa的一条切线,则实数a的值为_______3或13（4）曲线yxx1在点处的切线方程是______________（答：4xy1032/72（5）已知函数，又导函数yf(x)的图象与x轴交于f(x)x324x'3(k,0),(2k,0),k0a的曲线yf(x)y4x35或yx85、导数的运算法则：6.常见函数的导数公式:v2uuvuvuv)uv;(uv)uvuv;();v（1）常数函数的导数为0，即0（CCnxnQ，n1（2）xn1111与此有关的如下：；x,xx12xx22x11(sinx)cosx(cosx)(e)e;(a)alna;(lnx);(log)log;xxxxxaeaxx7.（理科）复合函数的导数：;yuyxux一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系μ)=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导(y')，中间变量对自变量求导(')；最后求y''，并将中间xx变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。1如（1）已知函数f(x)mx的导数为f(x)8x，则m_____（答：mn3n4（2）函数y(xx的导数为__________（答：y3x2x122（3）若对任意xR，f(x)4x,f1，则f(x)是______（答：f(x)x2）348、函数的单调性：（1）函数的单调性与导数的关系①若f(x)0,则f(x)f(x)0,则f(x)f(x)0则f(x)为常数函数；若f(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数。可导函数＝（x）3/7在某个区间内()0是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件fx②若函数yf(x)在区间（a,b）上单调递增，则f(x)0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数yf(x)在区间（a,b）上单调递减，则f(x)0，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为0）函数f(x)xaxbxc，其中,,为实数，当a2b0时，()的单调32abcfx性是______（2）设0函数f(x)xax在)a的取值范围______（答：a30a3（3）已知函数f(x)xbx(b为常数）在区间(上单调递增，且方程()0的根3fx都在区间[内，则b的取值范围是____________（答：[3,4]已知，，设(x)g(x)f(x)，试问是否存在实数，使)xx2f(x)x21g42(x)在(,上是减函数，并且在(上是增函数？（答：4）f(xf(x)0的根，设根为x,x,Lxx,x,Lx将给定区间分成n+1个子区间（在此有一个比较根12n12nf(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数f(x)axbxcx在x处有极值，且f(2)2，求f(x)的单调区间。32（答：递增区间（－1,1,1)）（3）利用导数函数的单调性确定参变数（已知函数f(x)的单调性）转化为f(x)或f(x)0恒成立8、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值4/7（2）求函数()在[,]上的最大值与最小值的步骤：yfxab（1）求函数yf(x)在（a,b（2）将yf(x)的各极值与f(a)，fb)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值如（1）函数y2x3x12x5在[0，上的最大值、最小值分别是______32（答：5；15（2）用总长14.8m另一边长0.5m1.2米时，9容积最大为cm3）5yyf(x)特别注意1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要2极值，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。aObx如（1）f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(答：D)yayayayObxObxaObxObxC、D、A、B、（2）方程x6x9x0的实根的个数为______（答：132（3）已知函数f(x)xaxx，抛物线C:xy，当x时，函数f(x)的图象在抛322物线C:xy的上方，求a的取值范围（答：a129.定积分(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbff(xiian5/7(2)定积分几何意义：①②bf表示与xx=a,x=b所围成曲边梯形的面积abf表示与xx=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数a(3)定积分的基本性质：aaf①②③bbbbafbfbf2121aafffcbaac(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本定理afxx)’b7、函数的极值：f(x)在点xxf(x)f(x)，000就说是f(x)函数f(x)的一个极大值。记作y＝f(x)，如果对x附近所有的点，都有0极大值00f(x)f(x)，就说是f(x)函数f(x)的一个极小值。记作y＝f(x)。极大值和极小值统00极小值0称为极值。yf(x)在某个区间上的极值的步骤if(x)f(x)0的根xf(x)在方程f(x)0的根x在处xf(x)000在处取极小值。xf(x)0注：导数为零的点未必是极值点，特别提醒：（1）x是极值点的充要条件是xfx＝0，fx＝0是x00000为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大小值的条件，一定要既考虑f(x)0，又要考虑检验“左正右负”0“左负右正”的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！（3）第二步中蕴含着比6/7较根的大小问题，第三步中通常总结成表.如（1）函数y