高数课件其他公式及其应用

三、二元函数全微分求积二、平面上曲线积分与

路径无关的条件ApplicationofGreenformula

§11.3格林公式及其应用高等数电子教编安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959学一、格林(Green)公式高等数学2023年5月11日§11.3格林公式及其应用一、格林公式1.1、同N-L公式的比较1.2、区域连通性的分类1.3、边界曲线的方向1.4、格林与格林公式1.5、格林公式的简单应用二、曲线积分与路径无关的条件2.1、积分与路径无关定义2.2、积分与路径无关条件三、二元函数全微分求积3.1、全微分求积方法3.2、与路径无关等价命题四、小结思考题若区域D

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。D作业P213~2142⑵;3;4⑵;5⑵;6⑵.课前练习2023年5月11日课前练习2023年5月11日⑴一元函数积分学中，牛顿-莱布尼兹公式：1.1、同N-L公式的比较表示：F(x)在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数F(x)在这个区间端点上的值来表达。⑵多元函数积分学中，格林公式：表示：在平面区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。一、格林公式2023年5月11日D设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为平面复连通区域.②复连通区域（空心平面域）①单连通区域（实心平面域）D1.2、区域连通性的分类⑴平面连通区域一、格林公式2023年5月11日设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.②一维单连通二维不连通③一维不连通二维单连通G⑵空间连通区域G①一维单连通二维单连通G一、格林公式2023年5月11日1.3、边界曲线的方向边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.一、格林公式2023年5月11日1.4、格林及格林公式⑴格林简介：(GeorgeGreen1793~1841)英国数学家。生于英格兰诺丁汉市一磨坊主家庭,1793.7.14受洗礼，1841.5.13病逝。他长期在父亲的磨坊里做工,通过了艰苦的自学掌握了高等数学,主要受法国学派(拉普拉斯、拉格朗日、泊松等)的影响。格林将分析应用于电磁领域并引出了他在数学物理中的一系列重要研究。1833年他40岁时被推荐入剑桥大学，1838年获学士学位，1839年被选为冈维尔-科尼斯学院院委。格林首先引入了“位势”，格林公式、格林函数、最早提出WKB方法、率先发展n维函数分析等，格林的工作孕育了汤母森、斯托克斯、麦克斯韦等为代表的剑桥物理学派。

一、格林公式2023年5月11日⑵(Greenformula)定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有òòò+=¶¶-¶¶LDQdyPdxdxdyyPxQ)(⑴其中L是D的取正向的边界曲线,公式⑴叫做格林公式.证明⑴若区域D既是X-型又是Y-型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点yxoabDcdABCE

一、格林公式2023年5月11日同理可证两式相加得yxodDcCEAB一、格林公式2023年5月11日证明⑵D一、格林公式2023年5月11日GDFCEAB证明⑶由⑵知若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由由AB,L2,BA,AFC,CE,L3,EC及CGA一、格林公式2023年5月11日一、格林公式2023年5月11日⑴计算平面的面积1.5、格林公式的简单应用一、格林公式2023年5月11日解一、格林公式2023年5月11日xyoL⑵简化曲线积分的计算AB一、格林公式2023年5月11日解利用格林公式例3计算,其中L是沿逆时针方向。椭圆xyOLD122一、格林公式2023年5月11日⑶简化二重积分的计算xyo应用格林公式,有一、格林公式2023年5月11日解xyOL由格林公式知一、格林公式2023年5月11日应用格林公式,得(注意格林公式的条件)yxo⑵当时

一、格林公式2023年5月11日GyxＯBA如果在区域G内有2.1、曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关。

即只与起点与终点有关，而与所经过的路径无关。二、曲线积分与路径无关的条件2023年5月11日⑴定理22.2、曲线积分与路径无关的条件⑵定理成立的两个前提条件：①开区域G是一个单连通域;

②函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可二、曲线积分与路径无关的条件2023年5月11日解例6

计算

ò+++Ldyyxdxxyx)()2(422.其中L为由点)0,0(O到点)1,1(B的曲线弧2sinxyp=.二、曲线积分与路径无关的条件2023年5月11日定理33.1、全微分求积方法三、二元函数的全微分求积2023年5月11日解例7设曲线积分òj+Ldyxydxxy)(2与路径无关,其中0)0(=j,计算òj+)1,1()0,0(2)(dyxydxxyj具有连续的导数,且积分与路径无关xQyP¶¶=¶¶，三、二元函数的全微分求积2023年5月11日3.2、全微分函数的求法Ex6验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).解．所以它是一个函数的全微分凑微分法三、二元