二元一次不等式解法

关于二元一次不等式解法第1页，课件共26页，创作于2023年2月（3）一元二次方程的解与二次函数的图象有什么联系？复习提问：（1）如何解一元二次方程?（2）二次函数的图象是什么曲线？第2页，课件共26页，创作于2023年2月一元二次方程的解实际上就是二次函数与x轴交点的横坐标。下面我们来研究如何应用二次函数的图象来解一元二次不等式。第3页，课件共26页，创作于2023年2月例1：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-4ac=22+4×15>0

方程x2－2x－15＝0的两根为:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式的解集为:{x│x≤－3或x≥5}。。。第4页，课件共26页，创作于2023年2月设y=ax2+bx+c

(a＞0),且设方程y=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。下面我们一起来看下表：第5页，课件共26页，创作于2023年2月△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0y＞0的解集Ry＜0的解集y≥0的解集RRy≤0的解集ROxyx1x2Oxyx＝－b／2aOxy

第6页，课件共26页，创作于2023年2月练习1.解不等式4x2-4x+1>0解：∵△=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2

1/2

X练习2.解不等式-x2+2x-3>0解：整理得x2-2x+3<0∵△<0，方程x2-2x+3=0无实解，X∴不等式的解是

x≠1/2∴原不等式无实解。第7页，课件共26页，创作于2023年2月练习3.解不等式2x2-3x-2>0解：∵△>0，方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2

,x2=2-1/22X练习4.解不等式-5x2+6x>1解：整理得，5x2-6x+1<0∵△>0，方程5x2-6x+1=0的解是x1=1/5

,x2=1

1/51X∴不等式的解集是

{x|x<-1/2,或x>2}∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}第8页，课件共26页，创作于2023年2月

解一元二次不等式的方法步骤是：

（3）根据图象写出解集

步骤：（1）化成标准形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

（2）求，解方程，画图象；

方法1：数形结合第9页，课件共26页，创作于2023年2月第10页，课件共26页，创作于2023年2月第11页，课件共26页，创作于2023年2月第12页，课件共26页，创作于2023年2月

解一元二次不等式或分式不等式的方法步骤是：

（3）根据序轴写出解集

步骤：（1）化成因式相乘或相除的形式，且每个因式中x的最高次数为1，系数必须是正数（2）求出对应方程的根并在序轴上表示出来，用穿针引线标出各部分正负方法2序轴标根法第13页，课件共26页，创作于2023年2月(2)-x2+2x-3>0作业:1.解不等式(1)4x2-4x+1>0(3)2x2-3x-2>02.(4)-5x2+6x>1第14页，课件共26页，创作于2023年2月第15页，课件共26页，创作于2023年2月二、二次不等式的简单应用

解法1：(换元法）设│x│=t,则t≥0原不等式可化为

t2

－2t－15≥0

由例1可知解为t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集为{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。例3：

解不等式

分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不等式中含│x│，由于│x│2

=x2

，则可以通过换元令│x│=t，将不等式转化为t2－2t－15≥0求解。x2－2x－15≥0x2－2│x│－15≥0第16页，课件共26页，创作于2023年2月

解法2：当x＞0时，原不等式可化为x2

－2x－15≥0

则不等式的解为x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集为{x│x≥5}

当x≤0时，原不等式可化为x2

＋2x－15≥0

则不等式的解为x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集为{x│x≤－5}

由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5}。

分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。例3：解不等式:x2－2│x│－15≥0第17页，课件共26页，创作于2023年2月

例4

.已知一元二次不等式ax2

＋bx+6>0

的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.

解：由条件可知：方程ax2

＋bx+6＝0的根－2，3

又解在两根之间;

分析:二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1

则a－b＝－2

由此可以理解为ax2

＋bx+6＝0的根为－2，3。第18页，课件共26页，创作于2023年2月

例4.已知一元二次不等式ax2

＋bx+6>0

的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.4a－2b+6＝09a＋3b+6＝0

另解：由条件可知：方程ax2

＋bx+6＝0的根－2、3，代入方程可得：则a－b＝－2a＝－1b＝1解方程组得：第19页，课件共26页，创作于2023年2月练习:已知不等式ax2+bx+2＞0的解为求2x2+bx+a<0的解.第20页，课件共26页，创作于2023年2月∴a=－12b=－2∴不等式2x2+bx+a＜0即2x2

－2x－12＜0其解集为{x|－2＜x＜3}。第21页，课件共26页，创作于2023年2月

例5.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c

的图象与直线

y=25

有公共点,且不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-1/2,1/3),求

a,b,c

的取值范围.解:由已知,二次方程

ax2+bx+c

-25＝0

有实根.∴

△=b2-4a(c

-25)≥0.又不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-,),

1213∴

a<0,且有

-=-,=-.1616abac∴

b=

a,c=-

a>0.1616∴

b=-c,

c2+24c(c

-25)≥0.解得:c≥24.∴

b≤-24,a≤-144.故

a,b,c

的取值范围分别是

a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c

-25)≥0

得:第22页，课件共26页，创作于2023年2月

例6、已知集合A={x│x2

－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求实数a取值范围。解：A∩B=A，则AB∩若a＞1，则A＝｛x│1≤x≤a｝，

若a＜1，则A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范围是1≤a≤3X31aABBAaX13则1＜

a≤3那么,A不可能是B的子集；分析:

观察不难发现：a、1是x2

－(a+1)x+a=0的根.

若a＝1，则A＝｛1｝，满足条件;∴a＝1第23页，课件共26页，创作于2023年2月

解一元二次不等式的方法步骤是：

（3）根据图象写出解集

步骤：（1）化成标准形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

（2）求⊿，解方程，画图象；

方法：数形结合课堂小结:序轴标根法第24页，课件共26页，创作于2023年2月练习:

函数f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定义域为R,求k的取值范围解：∵f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定义域为R,UX0即△=(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ＜0∴