数理统计基本概念

数理统计基本概念目前一页\总数五十九页\编于七点

一、引言

数理统计以概率论为理论基础,研究

2)

研究如何合理地分析随机数据从而作出科学的推断

(称为统计推断).§6.1

总体、样本与统计量

1）研究如何以有效的方式收集和整理随机数据;数理统计的引入目前二页\总数五十九页\编于七点

两类工作有密切联系.将主要介绍统计推断方面的内容.总体：研究对象的全体所组成的集合.个体：组成总体的每个单位元素.

例1

要考察本校男生的身体情况，则将本校的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是一个个体.二、总体目前三页\总数五十九页\编于七点

如，关心电子元件的寿命，则寿命

X

为其一个数量指标，且X

是服从指数分布的随机变量.

例2考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体.

通常需要对总体的一项或几项数量指标进行研究.

如仅考虑男生的身高和体重(X,Y),不考虑男生的视力、胸围等. 目前四页\总数五十九页\编于七点以后将(实际)总体和数量指标X等同起来.总体是随机变量

由于上述数量指标往往是随机变量，具有一定的分布.总体分布是指数量指标

X的分布.三、样本

一般，从总体中抽取一部分(取

n个)进行观测，再依据这

n个个体的试验(或观察)的结果去推断总体的性质.目前五页\总数五十九页\编于七点

样本:按照一定的规则从总体中抽取的一部分个体.抽样：抽取样本的过程.样本容量：样本中个体的数目

n.

将第

i

个个体的对应指标记为

Xi，i=1,2,…,n,构成的随机向量(X1

,X2

,···,Xn

)称为样本.

样本是一组随机变量，其具体试验(观察)数值记为：x1,x2,···,xn

，称为样本观测值，简称样本值.目前六页\总数五十九页\编于七点为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件

从民意测验看抽样?（1）Xi与总体同分布；（2）X1,X2,···,Xn

相互独立.

定义

设X1

,X2

,···,Xn是来自总体X的样本，如果相互独立且每个分量与总体同分布，称其为简单随机样本，简称样本.目前七页\总数五十九页\编于七点

若总体X的分布函数为F(x),则样本X1

,X2

,···,Xn的联合分布函数为目前八页\总数五十九页\编于七点目前九页\总数五十九页\编于七点#

故(X1

,X2

,…,X5

)的联合分布律为P{X1=x1

,X2

=x2,…,X5

=x5}解：因目前十页\总数五十九页\编于七点～目前十一页\总数五十九页\编于七点目前十二页\总数五十九页\编于七点判断统计量是随机变量且不含未知参数，称T为统计量.

对相应的样本值(x1

,x2

,…,xn)，称

t=T(x1,x2

,…,xn)

为统计量的统计值.四、统计量

定义

设X1

,X2

,···,Xn是总体X的样本，T为n元实值函数，若样本的函数T=T(X1

,X2

,···,Xn)目前十三页\总数五十九页\编于七点

例1

设总体X

~

B(1,p)，其中

p

是未知参数，(X1

,X2

,…,X5

)是来自X

的简单随机样本， 1)指出以下变量哪些是统计量，为什么？2)确定(X1

,X2

,…,X5

)的联合概率分布？解只有不是统计量,因p是未知参数.目前十四页\总数五十九页\编于七点总体是随机变量

统计量是随机变量(或向量）样本是随机向量目前十五页\总数五十九页\编于七点

样本均值： 样本方差：常见统计量：

样本

k

阶原点矩： 样本k阶中心矩：

统称样本矩目前十六页\总数五十九页\编于七点几个重要关系式：X,S2,Ak,Bkx,s2,ak,bk统计量统计值目前十七页\总数五十九页\编于七点

思考

样本矩与总体矩(即第四章中定义的矩)的概念有什么区别？

样本矩是随机变量!

总体矩是数值!目前十八页\总数五十九页\编于七点总体、个体简单随机样本统计量求样本的联合分布律或密度函数样本均值样本方差样本矩目前十九页\总数五十九页\编于七点数理统计的引入

某厂生产的一批产品中次品率为

p

。从中抽取10件产品装箱。1）没有次品的概率2）平均有几件次品概率3）为以0.95的概率保证箱中有10件正品，箱中至少要装多少件产品。目前二十页\总数五十九页\编于七点所有这些问题的关键是

p

是已知的！如何获取p?这就是数理统计的任务了！一个很自然的想法就是：首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书不讨论。其次利用概率论的知识处理实测数据。

如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。统计推断常解决的问题：1）如何估计次品率p?2）如果以p<0.01为出厂的标准，这批产品能否出厂？数理统计的引入参数估计问题假设检验问题#目前二十一页\总数五十九页\编于七点§6.2

常用统计分布上侧分位数u

(0<<1）满足标准正态分布一、四种常用统计分布目前二十二页\总数五十九页\编于七点对于正态分布有：上侧分位点u阴影部分面积为目前二十三页\总数五十九页\编于七点查表

如

＝0.025时，u＝？目前二十四页\总数五十九页\编于七点

例

设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0<α<1)，数uα满足，则x等于uα是上侧α分位点.解目前二十五页\总数五十九页\编于七点阴影部分面积为(1-)/2面积为α#双侧分位点α目前二十六页\总数五十九页\编于七点2.2(chi方)分布目前二十七页\总数五十九页\编于七点由度为n

的2分布，记为称随机变量X服从自目前二十八页\总数五十九页\编于七点统计量的分布(之一)

定理1

设

X1，X2，…，Xn相互独立且都服从标准正态分布，则即随机变量

2服从自由度为

n

的卡方分布.标准正态随机变量的独立平方和结构定理目前二十九页\总数五十九页\编于七点2分布的三条性质：性质1.(数字特征)

设2~2(n)，则有

E(2)=n

， D(2)=2n证明且

X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，目前三十页\总数五十九页\编于七点性质2(可加性)设Y1，Y2相互独立,且Y1～2(n1),Y1～2(n2)，则

Y1+Y2

～2(n1+n2).证明

记目前三十一页\总数五十九页\编于七点从而

Y1+Y2～2

(n1+n2).且Xi

,i=1,2,…,n1+n2相互独立，Xi～N(0,1),

性质3.(大样本分位数)当n足够大(如n

>45)时，有 目前三十二页\总数五十九页\编于七点2(n)的上侧分位数(0<<1)：阴影部分面积为目前三十三页\总数五十九页\编于七点例

查表计算概率目前三十四页\总数五十九页\编于七点注意应注意分布表的定义与查法！#目前三十五页\总数五十九页\编于七点3.自由度为

n的

t

分布

T～t(n)

又称学生氏分布--第一个研究者以Student作笔名发表文章.目前三十六页\总数五十九页\编于七点即随机变量

T

服从自由度为

n

的

t

分布.

定理2

设随机变量X,Y相互独立,

X~N(0,1)，Y～2(n)，则结构定理目前三十七页\总数五十九页\编于七点阴影部分面积为t(n)的上侧分位数

t(n)

(0<<1)：目前三十八页\总数五十九页\编于七点T

分布的特点：1.关于纵轴对称：例

查表计算：目前三十九页\总数五十九页\编于七点tα-tα=t1-α因

α=P{T＞tα}=P{T≤-tα}=1-

P{T＞-tα}故

P{T＞－tα}=1－α.即

tα=-

t1-α目前四十页\总数五十九页\编于七点例

查表计算：2.n

较大时，目前四十一页\总数五十九页\编于七点

4.F

分布

F

～F

(

n1,n2)

称X

服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布.目前四十二页\总数五十九页\编于七点

定理3

设随机变量X，Y相互独立，X~2(n1)，Y～2(n2)，则即随机变量

F

服从第一自由度为n1，第二自由度为n2

的F分布.结构定理目前四十三页\总数五十九页\编于七点F

(

n1

,n2)的上侧分位数F

(

n1

,n2

)

(0<<1)：阴影部分面积为目前四十四页\总数五十九页\编于七点推论1推论2目前四十五页\总数五十九页\编于七点证目前四十六页\总数五十九页\编于七点二、抽样分布定理定理1目前四十七页\总数五十九页\编于七点应用例目前四十八页\总数五十九页\编于七点定理2设正态总体

X

与

Y

相互独立，

X

～,样本为(X1,X2，…X

n1),样本均值和样本方差为；

Y

～，样本为(

Y1,Y2，…Yn2)，样本均值和样本方差为

.有目前四十九页\总数五十九页\编于七点[分析]证明:(2)

服从正态分布，Sw2可化为2分布,二者组合而成的统计量应服从

t分布.目前五十页\总数五十九页\编于七点目前五十一页\总数五十九页\编于七点

因，