高数上复习51定积分的概念

第五章定积分第一节定积分概四、定积分的几何 h 梯形面积h(a 2曲边梯形的面 yf(Ayf(Ayf( (f(x)x轴，以及两直xa,x所围成

bPrevious 用矩形面积近似取代曲边梯形 x （四个小矩形 （九个小矩形Previous 解决步分 在区间[a,b]中任意插入n–1个ax0x1x2xn1xn用直xxi将曲边梯形n个小曲边梯形y替 在第i个窄曲边梯形上任取i[xi1,xiy作以

i1,xi]为底 f(i 窄曲边梯形面Ai,

ixi1 bAif(i)

(xixixi1,

i1,2,,nPrevious 求 AAif(i)i i取极

令max{xi},则曲边梯形y A f()0i xi1 bi极限与区间的分法和i的取法 Previous v(t)0,求在运动时间内物体所经过的路程解决步在[T1T2中任意n-1个分点将它分n个小段[ti1,ti](i1,2,, 在每个小段上物经过的路程si(i12,替

任取i[ti1,ti] 以v(i)代替变速， v(i) (i1,2,,Previous 求

sv(i)nin取极 slim v()0i

(maxti极限与区间的分法和i的取法无上述两个问题的共解决问题的方法步骤相同“分割替代求和取极所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极Previous 二、定积分的定f(x在[ab上有定“分割”：(ab内任意插入x1,x2,xn1ax0x1x2xn1xn将[abn个小区间:xi1xii12,“代替”：i[xi1,xin“求和”：作和式f(i)xi,(xixixi1nin“取极限”：limn

f(i)x

(max{xi i

1in如果上述f(x在[ab可积8Previous极限Af(x在[ab]上的定积分.bAa f(x)dxb积分上[ab称为积分积分上f(x)dxf(x)dx b lim f()x积分下 0i积分下和和PreviousNext说定义中区间的分法和i的取法是任意.定积分仅与被积函数及积分区间有关,积分变量用什么字母表示无关 bbaa f(xbba

f(t

fabf(x)0,a f(x)dx

曲边梯形面 规

f(x)dxb f( f(x)dxPreviousNext三、定积定理(定积分存在的必要条件若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.注:[a,b]上的 定理(定积分存在的充分条件)f(x)在[a,b]上连续，或分段连续(至多有有限个第一类间断点)f(x在[ab上可积注 闭区间上的连续函数必是可积函数不连续的函数也可能是可积函数PreviousNext四、定积分的几何bf(x) f(x)dx

曲边梯形f(x)

A

bf(x)dx

yf(AaAbAaAba (f(0

f( 0ba f(bbf(x)dxb

yf(曲边梯形

PreviousNextyoacyfyoacyfA2bx上有正有负(如图所示)则b f(x)dxA1A2bbb

fx)dx的几何意义表yf(x),ybxaxb所界图形面b特别地

adxb

PreviousNext a2x2dx,a00解定积分

a2x2d0a2表示x0,xa2yya2Oxyya2Ox a2x2dx1πa 2 4

PreviousNext例利用定义计算定

ax2dx0解由f(x)x2在[0,a]上连续 可知f(x)[0,a]上可积 将[0,a]区间n等分分点

(i1 ,max{x} 1i 取 ia[ ,x (i

i

a

nia ai则有i

x2dxlim

2

lim

i

n

0i1n nPreviousNext ia a

a lim

lim

i0i1n n

n

ia n n

n(n1)(2n61a ax2dx1a3 说明此例说明 f(x)dxlim i

f(

)x计算定积分是非 的PreviousNext例用定积分表示下列极限limn

1in11in1

2p