初三数学图形的相似知识精讲

初三数学图形的相似【本讲主要内容】图形的相似包括比例线段，比例性质，相似图形，相似多边形，相似多边形的性质，相似比。【知识掌握】【知识点精析】.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作-=c或a：b=c：d。线段a、d叫做比例外项，线段bd a bb、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。如果-=-或a：b=b：c,那么bc线段b叫做线段a、c的比例中项。.比例性质(1)比例的基本性质如果a：b=c：d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a：b=c：d。特殊地，如果a：b=b：c,那么b2=ac；如果b2=ac,那么a：b=b：c。(2)合比性质aca+bc+dTOC\o"1-5"\h\z如果一=-，那么= ；bd bd(3)分比性质aca—bc—d如果丁=T，那么 =——。bd bd(4)等比性质如果—=—=e= m(b+d+f+…+nw0)bdfn那么.形状相同的图形叫做相似图形。.形状相同的多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。.相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。.如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。【解题方法指导】ac2 a+c例1.已知：一=一二一，求-bd3 b+d分析：利用等比性质求得。

b+db义:-=2b3.a+c2 ——b+d3评析：等比性质可灵活运用。am a+b例2.已知一=-，贝U = 。bn a-b分析：可由合比性质及分比性质求得。am解：.=—bn.a+bm+n.. = bna-bm-nbn.a+ba-bm+nm-n•• ; = ; bbnn.a+bm+n.. = a-bm-n评析：这里是由合比性质及分比性质相除得到的，体现了它的活用。xVz例3.已知：一=一=一，且x+v+z=6。345贝Ix=。分析：先由等比性质，得出X+V+Z=-，再求出x。3+4+53Vz=—45x+v+zx’————=-12 3’3(x+v+z)=12xx日口6 4即一=x1x日口6 4即一=x14x=6._6_3•x=-=-42评析：灵活运用等比性质，列出方程求x,是常用的方法。例4.已知：如图，C是线段AB上一点，且满足CB=AC。若AB=1,求AC的长（保留ACAB三位小数）。分析：可设AC=x，则CB=1-x，列出方程求解。解：设AC=xVAB=1・•.CB=1-x..CBACAC—AB1-xx• =一x1x2+x-1=0—1±11+4 -1±V'5（八.——Mr\x= =---（舍去负值）2 2.v5-11236..x= q q0.6182 2即ACq0618评析：我们称这种把AB分割叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，它大约距长为1的线段的一个端点0.618处。【考点突破】【考点指要】成比例线段是一个基础知识，它在相似三角形、相似多边形中应用很广泛，应该掌握有关的计算。在计算相似多边形的周长时，便要用到等比性质，在计算三角形中线段的长时，便要用到合比性质或分比性质。虽然教材中关于比例线段的练习不多，但我们还是应该掌握好它。有关相似多边形的计算及其作图，在中考时经常出现，要能够运用好。【典型例题分析】例1.（2005年山东）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4ABC相似的是（ ）分析：先看各对应角是否相等，再看对应边是否成比例。解：4ABC中，NACB=180°—45°=135°而B、C、D中的钝角均不是135°故排除B、C、D故应选A评析：实际上，△ABC中，AC=42,A中的夹钝角的两边的比为工=—，所以是BC2 、；22相似的。例2.（2004年四川郸县）下列命题中，正确的是（ ）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的直角三角形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的矩形都相似分析：可采用排除法，通过举反例加以排除。解：对于A，不成立，如 ，故排除A；对于B，不成立，如一副三角板的两个直角三角形不相似，排除B；对于C，成立；对于D，不成立，如 I 1，故排除D。因此选C评析：通过举反例来排除不符合要求的选择支是一种常用方法。例3.（2005年太原市）如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=cm,DC=cm。分析：先要弄清题意，由于AB的黄金分割点，可能靠近B点，也可能靠近A点，所以求出AC的长度后，BD的长也就出来了。于是DC=2BD-AB。解：：AC是AB与BC的比例中项•.AC2=AB-BC设AC=xAB=80,ABC=80—x•・x2=80（80—x）x2+80x—6400=0-80土<32000-80土80V5x= = 2 2x1=40石-40,x2=-406-40（舍去）即AC=40v5—40又D也是AB的另一个黄金分割点・•・BD=40v5-40・•.DC=2BD-AB=80、5-80-80=80、5-160评析：求DC的方法不唯一，这里采取的是DC=AC+BD-AB=2BD-AB。例4.已知：如图，在长为a，宽为b的矩形ABCD的一块玻璃四周镶上宽度相同的木框，组成一个新的矩形EFGH。问矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？在什么情况下它们相似？H GAaxBE ~~f F分析：我们可以假设矩形ABCD。矩形EFGH,由于木条宽度相同，所以一一=a+2x—b—(木条的宽度为x),然后再作判断。b+2x解：设木框的宽度为x由矩形ABCD。矩形EFGHABBC二 = EFGF.a_b•—a+2xb+2xab+2ax—ab+2bx二2(a—b)x—0•二x牛0・•.当a-b中0时，方程不成立当a-b—0时，即矩形ABCD是正方形时，方程成立因此，在通常情况下，ABCD与EFGH不相似；但当ABCD是正方形时，ABCD与EFGH相似。评析：由于不知道条件中的a、b是否相等，因此要分两种情况加以分类讨论。例5.已知：如图，矩形ABCD中，将4AED沿DE翻折，A点落在CD边上的F处，且四边形EBCF与四边形DABC相似，若AB=a,AD=b。问a、b之间应满足什么关系？AEa-bBAEa-bB分析：由EBCFsDABC,可知EB=BC，可由EB=a-b列出方程，从而找到a、b之ADAB间的关系。解：•「△AEDSFED・•・四边形AEFD是正方形/.AE=BC=b,EB=a-b又四边形EBCFs四边形DABC.EB_BC''Da=AB.a-b_b•——baa2-ab-b2=0a=b±--b）2+4b2=3（舍去负值）2 2•2a=（1+v'5）b+\：5入a= b.•.当a=1+'5b时，四边形EBCFs四边形DABC2评析：此题是由矩形EBCFs矩形DABC,但关键是当4AED沿DE翻折后，能找到AE、EB、BC之间的联系，从而得到关于a的方程，或关于b的方程。例6.（2005年南京市）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m,CA=0.8m。则树的高度为（ ）A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m

分析：观察图形，发现△ACDs^ABE,可列出比例式，得到方程求解。解：4ABC中，NABE=90°△ACD中，NACD=90°又A、D、E三点在一条直线上，DC//EB.,.△ACDMABE.CDAC，eBE-ABVBC=3.2,CA=0.8・•.AB=BC+CA=4.16 08■• = BE4.・.be=16^=8（m）08故选C评析：先要弄清题意，明白A、D、E三点共线的含义，从而找出相似三角形。【综合测试】TOC\o"1-5"\h\z.已知2=-，则x等于（ ）x8A.4 B.-4 C.±4 D.162.已矢口5x=7y,则U(x+y)：y=2.3.a已知一=be2a+2c+3.a已知一=b-=—，则 =f3b+2d+3f4.已知：如图，在10X10的网格中，每个小正方形的边长为1。ABCD是一个菱形。试在网格中画一个菱形，使它的四个顶点分别在格点上，且所画的菱形与ABCD的相似比为2（不写画法，简述理由）。

.已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,E是AB中点，F是CD中点。AD=a,BC=b。判断四边形AEFD与四边形EBCF是否相似？AaDBb C.已知四边形ABCD,画一个四边形与ABCD相似，且使要画的四边形与ABCD的相似比为1-O2C【综合测试答案】C2角牟：・・•一x；・x216.\x=±4故选C注意这里乂并不是线段的长，因此得士4C12一5xV5x二y=7y,75x•——••y12y55ace2••bdf3a2c3e2b2d3f3a2c3e2b2d3f3解解23.一3754.如图解：解：FO'2BO,HOEO'2AO,GO'2CO・・・EF=FG=GH=HE臼EFFGGHHE且AB- AD又/BAD=ZFEH/ABC=/EFG/BCD=/FGHZADC=ZEHG・•・四边形EFGHs四边形ABCD且相似比为2.•・EFGH符合要求5.不相似解：梯形AEFD与梯形EBCF中.EF//AD//BCAZA=ZBEF,ZAEF=ZB,ZDFE=ZC,ZD=ZEFC若使AEFDsEBCFnlADEF贝U =——EFBC•・EF2=AD-BCVAD=a,BC=b,EF=2(a+b)•・[g(a+b)]2=ab；.(a+b)2=4ab•・a2—2ab+b2=0(a—b)2=0/.a=b只有当四边形是平行四边形时，两个四边形才会相似但由于梯形a丰b•・两个四边形不会相似.连