函数的单调性与最大小值教学设计

函数的单调性与最大（小）值教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的单调性2.内容解析函数的单调性是主要的函数性质之一，它刻画了函数的增、减变化规律因为现实世界中的运动变化过程、增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法，所以研究函数的单调性具有重要的现实意义；另一方面，方程、不等式等问题的求解，可以利用函数单调性进行解决.因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用.函数的单调性是函数的局部性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质；而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质.另外，通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值.从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义.初中阶段，对函数图象从左到右上升（下降）转化为‘y随x的增大而增大（减小）〃进行刻画，学生经历了从图象直观到函数值随自变量的变化而变化的转化过程；高中阶段，通过引入数学符号，并采用〃？x1,x2£D〃的方式，进一步将“y随x的增大而增大（减小）〃转化为精确的定量关系，即用不等式刻画〃增大〃〃减小”，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种从形象直观到定性刻画再到抽象的符号语言刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确定量地刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：函数单调性的符号语言刻画.二、目标和目标解析.目标（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；（2）会用定义证明简单函数的单调性；（3）会根据问题的实际意义，求函数的最大值、最小值；（4）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用..目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道用符号语言刻画函数单调性时，〃任意“〃都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（2）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（3）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值；（4）经历从图象直观到文字语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引入“？乂1〃2£〉的符号表示，把一个含有〃无限〃的问题转化为一种〃有限〃方式表示的方法，感受数学符号语言的作用.三■教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函数都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律，能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性质，可以用“y随x的增大而减小（增大）〃这样的文字语言来描述.高中阶段，要通过引入〃？乂1〃2£口，当x1教学中，要利用一次函数、二次函数等，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数值随自变量变化而变化的情况，用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.根据以上分析，确定教学难点是：符号语言的引入；对“任意〃”都有〃等涉及无限取值的语言的理解和使用.，教学支持条件分析为使学生更好地理解单调性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律，并体会自变量取值的任意性.五、教学过程设计（一）引入引导语：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.什么叫函数性质呢？总体而言，函数性质就是〃变化中的规律性，变化中的不变性〃.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.问题1:请看下面的函数图象，从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题.学生的回答有可能涉及到很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等.教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质.本节课我们先研究如何用精确定量的方法刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律.设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.（二）单调性性质及其定量刻画方法的抽象.具体实例的分析问题2:在初中我们研究过二次函数y二a（x-h）2+k,从它的图象可以看出：如果a>0,当x师生活动：学生自主活动，也可以小组讨论，然后再组织全班交流.设计意图：用自己的语言表述，可以促使学生对单调性理解的具体化，使定性描述向定量刻画发展.学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y减小.”追问1：“x增大了〃怎么用符号语言表示？〃对应的函数值y减小〃又该如何表示？y=x2为例，观察下表，你能用数学符号刻画x、y的数量变化关系吗？—4-1*16*；师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如当x从-4增大到-3，则f（x）从f（-4）=16减小到f（-3）=9;当x从-3增大到-2，则f（x）从f（-3）=减小到f（-2）=4；当x从-2增大到-1，则f（x）从f（-2）=4增大到f（-1）=1；追问2：（1）这样的变化过程能写得完吗？怎么办？（2）这个变化过程中的数量关系有什么特点，你能概括一下上述变化过程的共同点吗？师生活动：学生通过从具体到抽象，可以得到：只要x1<x2,就有f（x1）>f（x2）如果学生有可能，教师可以进行启发帮助，或者直接给出上述表述.追问3：这里对x1,x2有什么要求？只取（-8,0］上的某些数是否可以？你能举例说明吗？师生活动：让学生展开讨论，教师应当进行适当引导，并举出一些例子（反例）进行说明，最终要让学生明确，应该是区间（-8,0］上的任意两个数.追问4：所以，更严格的表达应该是怎样的？师生活动：让学生说出〃任取x1,x2£（-8,0］,教师总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与〃无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量其中，任取x1,x2£(-8,0],把〃无穷〃的问题转化成了具体可操作的有限过程.追问5：对于函数y=X2，你能模仿上述方法，给出〃在区间[0,8)上，y随X的增大而增大〃的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本课的重点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的代数语言刻画〃在区间D上，当x增大时，相应的“乂)随着减小〃.在〃图象从左到右下降一y随x的增大而减小一任取x1,x2ED,当X1注意：因为函数的单调性是一个比较难以理解的概念，学生第一次遇到要用一个数学符号语言刻画一个涉及〃无限取值的问题”，大多数学生很难独立想到其中的数学方法，所以教学中可以采取先由教师教学启发性讲解，使学生理解〃在区间D上，丫随乂的增大而减小”，可以用〃任取x1,x2£D，当x1练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f(x)=|x和f(x)=-x2的单调性..单调性定义的抽象问题3:请你归纳关于函数f(x)=x2,f(x)=|x|和f(x)=-x2的单调性的刻画方法，给出函数y=f(x)在区间D上单调性的符号刻画.师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流在充分交流的基础上，教师给出严格的单调性定义表述..单调性定义的辨析问题4：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且？x1,x2£A，当x1（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流.教师可以提醒学生用多种方法表示函数（特别是利用图象直观说明问题）.设计意图：这里的问题（1）是引导学生辨析定义中的〃任意〃二字；问题（2）既是为了区分〃单调递增〃与〃增函数〃、〃单调递减〃与〃减函数〃等概念，同时也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减），但在它们的并集上不一定保持单调递增（递减）的性质.（三）单调性定义的简单应用例1.根据定义，研究函数f（X）=kx+b（kH0）的单调性.师生活动：先让学生独立思考，讨论研究思路，然后再给出严格的表述（可以让几个学生板书），教师再引导学生对进行点评.这里教师应该强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2）具体的操作方法是，在条件X1设计意图：对于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，学习了单调性的定义后，利用定义通过严格的逻辑推理对结论进行了证明，体现了形式化定义的作用.同时，通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本过程.例2.物理学中的玻意耳定律p=k/v(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.师生活动：先让学生独立思考“体积V减小时，压强p增大”的含义，建立与函数单调性性质的联系，再让学生独立给出证明，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善.在给出完整证明后，给出追问：你能总结例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数的单调性的基本步骤吗？设计意图：例2是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，而数学研究的不是每一个现象而是从中抽象概括出来的一般问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律.另外，通过追问，要让学生总结出证明函数单调性的基本步骤：第一步，确定函数的定义域I；第二步，？x1,x2£l,且设x1<x2,并将乂1,乂2代入包乂)，得f(xl),f(x2);第三步，将f(x1)-f(x2)进行代数变形，转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基本性质等判断其符号或大小关系的式子;第四步，得出相应的单调区间.| 例3.根据定义证明函数' , ，在区间(1,+8)上单调递增.师生活动：先由学生独立思考并写出证明过程，可选几名学生板书，然后再进行全班交流.要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向.设计意图：利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在(1,十8)上单调递增的性质，这在没有函数单调性定义的时候是做不到的，可以使学生进一步体会到定义的作用；同时，也可以使学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.(四)课堂g问题5:回答下列问题.(1)什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？(2)你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？(3)结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？师生活动：学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳.设计意图：(1)让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点；(2)引导学生进一步理解〃函数有意义〃是讨论函数单调性的前提，“？x1,x2£l,且设x1<乂2〃的含义，如何对f（x1）-f（x2）进行代数变形等等；（3）要使学生体会“从定性到定量〃的研究思路，即通过图象直观及文字语言刻画