2023年湖北省云学新高考联盟学校高二（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年湖北省云学新高考联盟学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知各项均为正数的等比数列{an}中，2a1，12aA.−1 B.2 C.−1或2 D.12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)A.−1 B.−23 C.−3.已知(x3+2x2A.60 B.80 C.100 D.1204.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1A.240 B.360 C.600 D.7205.定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′A.(−∞,0) B.(26.已知数列{14n2+4n−3}的前n项和为TA.[−1,43] B.[7.现有天平及重量为1，2，4，10的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有种．(

)A.105 B.72 C.60 D.488.若存在x0∈[0,1]，使不等式A.[12e,e2] B.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知(1+2xA.a0=−3 B.a1=10.已知数列{an}的前n项和为SnA.若Sn=n2+n，则{an}是等差数列

B.若{an}是等比数列，且a1>0，q11.现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是(

)A.4个空位全都相邻的坐法有120种

B.4个空位中只有3个相邻的坐法有240种

C.4个空位均不相邻的坐法有120种

D.4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种12.若a=ln1.01，b=1A.a<b B.a>b C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线y=2x+b与函数f(x14.某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到某年级的6个班级中，若每班至少1个名额，共有______种不同分法.(用数字作答)15.对于数列{an}，定义An=a1+2a2+…+2n−1an为数列{a16.设集合P={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥2)，选择P的两个非空子集A和四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知(3x−2x)n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255．

(18.(本小题12.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，log3bn+1−1=log3bn，且2an=an+119.(本小题12.0分)

某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道．若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为10x[ln(x+12)−3]万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=xex+1．

(1)求f(21.(本小题12.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若对任意正整数n，Sn+1=−3an22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2ex−xsinx，x∈[0,π答案和解析1.【答案】B

【解析】解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，

由2a1，12a3，a2成等差数列，可得a3=2a1+a22.【答案】C

【解析】解：f′(x)=2f′(2)+1x−1，

所以f′(2)=2f′3.【答案】B

【解析】解：当x=1时，3n=243，解得n=5，

则(x3+2x2)n的展开式第r+1项Tr+14.【答案】A

【解析】解：利用插空法共有A44×C52=240种．

5.【答案】A

【解析】解：令g(x)=f(x)e2x−1，则g(0)=0，

因为f′(x)−2f(x)<0，

所以g′(6.【答案】C

【解析】解：由14n2+4n−3=1(2n+3)(2n−1)=14(12n−7.【答案】A

【解析】解：依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：

情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1，2，4的砝码顺序随意有A33种，左右边随意，则有23种，共有23A33=48种；

情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2，3，4步中任选一步放，有C31种，

重量为1，2的砝码顺序左右边随意，共有C31⋅22⋅A22=24种；

情况③：第一步先排2，2只能在左边，

若第二步放10，则重量为1，4的砝码顺序左右边随意，有22A22种，

若第二步放4，则10可以在第3，4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有2C21种，

若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：

(a)若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，

(b)若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，

共有22A22+2C21+A+2(2+1)=18种；

情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：

若第二步放10，则重量为2，4的砝码顺序左右边随意放，有22A22种，

若第二步放8.【答案】D

【解析】解：x0+(e2−1)lna>2aex0+e2x0−2⇔(e2−1)lna−(e2−1)x0≥2aex0−2，

∴(e2−1)lnaex0≥2aex0−2，

∴令aex0=t，则(e2−1)lnt−2t+9.【答案】AD【解析】解：令1−x=t，则x=1−t，

原式化简为(3−2t)(−1−t)5=a0+a1t+a2t2+...+a6t6，

当t=0时，解得a0=−3，故A正确；

由于(−1−t)5的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅(−1)5−r⋅(−t)r10.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若Sn=n2+n，

当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n−1+1=2n，

a1=2也满足上式，

故a11.【答案】AC【解析】解：对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：A55=120种，故A对；

对于B，先排4个学生A44，然后将三个相邻的空位当成一个整体，

和另一个空位插入5个学生中有A52种方法，

所以一共有A44⋅A52=480种，故B错；

对于C，先排4个学生A44，4个空位是一样的，

然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有C54种，

所以一共A44⋅C54=120，故C对；

对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，

空位两个两个相邻的有：A12.【答案】BC【解析】解：令f(x)=ln(1+x)−x1+x,x∈(0,1)，

f′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，

∴f(x)在x∈(0,1)上单调递增，

∴f(x)>f(0)=0，

∴ln(1+x)>x1+x,x∈(0,1)，

∴ln(1+0.01)>0.011+0.01=13.【答案】1

【解析】解：函数f(x)=ex+x−a，可得f′(x)=ex+1，

因为直线y=2x+b与函数f(x14.【答案】252

【解析】解：采用“隔板法”，11个名额之间有10个空，隔5块板就可以分成6份，每份至少一个名额，

故共有C105=252种方案．

故答案为：252．

采用“隔板法”，11个名额之间有10个空，隔5块板就可以分成615.【答案】[−【解析】解：已知a1+2a2+…+2n−1an=n⋅2n+1，①

则a1+2a2+...+2n−2an−1=(n−1)2n，②

由①−②可得：2n−1an=n2n+1−(n−1)2n=(n+1)2n，16.【答案】4097

【解析】解：因为从集合P中选取k个数组成A∪B有Cnk种选法，

再将这k个数分成两组，其中较小的一组给A，较大的一组给B，

则有k−1种分组方法，

即A∪B为k元集合时，共有选择方法种数为(k−1)Cnk，

则当n=10时，不同的A和B的组合种数为C102+2C103+17.【答案】解：(1)∵(3x−2x)n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255，

∴2n−(1−2)n=255，∴n=8．

(2)由题意，二项式即(【解析】(1)由题意，利用二项式系数的性质，求得n的值．

(2)18.【答案】解：(1)已知log3bn+1−1=log3bn，

则bn+1bn=3，

即数列{bn}是公比为3的等比数列，

又b3=9，

则b1=b332=1，

则bn=1×3n−1=3n−1，

又∵数列{an}的前n项和为Sn，且2an=an+1+an−1(n≥2)，

∴数列{【解析】(1)由已知可得：数列{bn}是公比为3的等比数列，数列{an}为等差数列，然后结合题意分别求其通项公式即可；

(2)19.【答案】解：(1)需新建桥墩(1200x−1)，

∴y=500(1200x−1)+1200x·10x[ln(x+12)−3]

=600000x−500+12000ln(x+12)−36000

=12000[50x+ln(x+12)]−36500，x∈(【解析】本题考查了函数实际模型的应用，学生的数学运算能力，利用函数单调性解最值的方法，属于基础题．

(1)需新建桥墩(1200x−1)，根据题意有y=500(1200x−20.【答案】解：(1)∵f(x)=xex+1，∴f′(x)=ex+1(x+1)，

∴当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)仅有极小值为f(−1)=−1；

(2)∵当x>0时，f(x)≥x+lnx+a+1恒成立，

即当x>0时，【解析】(1)利用导数研究函数的单调性，从而即可求解；

(2)21.【答案】(1)证明：由题意，当n=1时，S2=−3a2+a1+3，

即1+a2=−3a2+1+3，解得a2=34，

当n≥2时，由Sn+1=−3an+1+an+3，

可得Sn=−3an+an−1+3，

两式相减，可得an+1=−3an+1+4an−an−1，

即4an+1=4an−an−1，

整理，得an+1−12an=12(an−12an−1)，

∵【解析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a2的值，当n≥2时，由Sn+1=−3an+1+an+3，可得Sn=−3an+an−1+3，两式相减得到4an+122.【答案】解：