中考数学方法技巧：专题十-最短距离训练（含答案）

数学备课大师【全免费】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/方法技巧专题十最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段．一、选择题1．[2016·苏州]矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10－1所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为()A．(3，1)B．(3，eq\f(4,3))C．(3，eq\f(5,3))D．(3，2)图F10－1图F10－22．[2015·遵义]如图F10－2，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．[2015·贵港]如图F10－3，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连结OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是()A．0B．1C．2D．3图F10－3图F10－44．[2017·天津]如图F10－4，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()A．BCB．CEC．ADD．AC5．[2017·莱芜]如图F10－5，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是()A.eq\f(\r(,7),2)B.eq\f(2\r(,7),3)C.eq\f(3\r(,5),5)D.eq\f(\r(,26),4)图F10－5图F10－66．[2017·乌鲁木齐]如图F10－6，点A(a，3)、B(b，1)都在双曲线y＝eq\f(3,x)上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为()A．5eq\r(2)B．6eq\r(2)C．2eq\r(10)＋2eq\r(2)D．8eq\r(2)7．[2016·雅安]如图F10－7，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)图F10－7图F10－88．[2016·安徽]如图F10－8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(8\r(13),13)D.eq\f(12\r(13),13)二、填空题9．[2016·东营]如图F10－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．图F10－910．[2017·德阳]如图F10－10，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过O的直线l上有两点A、B且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．图F10－10三、解答题11．[2017·德阳]如图F10－11，函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x（0≤x≤3）,－x＋9（x>3）))的图象与双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B.(1)求双曲线的解析式及点B的坐标；(2)若点P在y轴上，连结PA、PB，求当PA＋PB的值最小时点P的坐标．图F10－1112．把△EFP按如图F10－12所示的方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝4eq\r(3)，∠BAD＝60°，且AB＞4eq\r(3).(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．图F10－12参考答案1．B[解析]如图，作点D关于直线AB的对称点H，连结CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D(eq\f(3,2)，0)，A(3，0)，∴H(eq\f(9,2)，0)，可求得直线CH的解析式为y＝－eq\f(8,9)x＋4，当x＝3时，y＝eq\f(4,3)，∴点E的坐标为(3，eq\f(4,3))．故选B.2．D3．B[解析]连结OQ，设线段OP与⊙O相交于点N，连结MN，则MN是△POQ的中位线，∴MN＝eq\f(1,2)OQ＝1.当点Q与点N重合时，OM＝3；当点Q是射线PO与⊙O的另一个交点时，OM＝1.∴OM的最小值是1.故选B.4．B[解析]连结PC.由AB＝AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称，BP＝CP，因此连结CE，BP＋CP的最小值为CE，故选B.5．A[解析]连结BD、DM，DM交AC于点P，则此时PB＋PM的值最小．过点D作DF⊥BC于点F，过点M作ME∥BD交AC于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°.又∵DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC＝3.∴MF＝CF－CM＝3－2＝1，DF＝eq\r(,3)BF＝3eq\r(,3).∴DM＝eq\r(（3\r(,3)）2＋12)＝2eq\r(,7).∵ME∥BD，∴△CEM∽△COB.∴eq\f(ME,OB)＝eq\f(CM,BC)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).又∵OB＝OD，∴eq\f(ME,OD)＝eq\f(1,3).∵ME∥BD，∴△PEM∽△POD.∴eq\f(PM,PD)＝eq\f(ME,OD)＝eq\f(1,3)，∴PM＝eq\f(1,4)DM＝eq\f(1,4)×2eq\r(,7)＝eq\f(\r(,7),2).故选A.6．B[解析]∵点A(a，3)、B(b，1)都在双曲线y＝eq\f(3,x)上，∴a＝1，b＝3，∴A(1，3)、B(3，1)，则AB＝eq\r(（1－3）2＋（3－1）2)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).作点A关于y轴的对称点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连结A1B1，交y轴于点D，交x轴于点C，则A1(－1，3)、B1(3，－1)，A1B1＝eq\r(（－1－3）2＋[3－（－1）]2)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)，根据轴对称的性质，四边形ABCD周长的最小值是AB＋A1B1＝2eq\r(2)＋4eq\r(2)＝6eq\r(2)，故选B.7．D[解析]设BE＝x，则DE＝3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即AE2＝3x2，∴AE＝eq\r(3)x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2＋DE2，即62＝(eq\r(3)x)2＋(3x)2，解得x＝eq\r(3).∴AE＝3，DE＝3eq\r(3).如图，设A点关于BD的对称点为A′，连结A′D，PA′，则A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，∴△AA′D是等边三角形．∵PA＝PA′，∴当A′，P，Q三点在一条直线上时，A′P＋PQ最小．由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P＋PQ最小，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3eq\r(3)，故选D.8．B[解析]首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连结OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°.∴点P在以AB为直径的⊙O上，连结OC交⊙O于点P，此时PC的长最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝eq\r(BO2＋BC2)＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2.∴PC长的最小值为2.故选B.9．4[解析]∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短．此时∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝4，∴DE的最小值为4.故答案为4.10．4[解析]连结OP、OC、PC，则有OP≥OC－PC，当O、P、C三点共线的时候，OP＝OC－PC.∵∠APB＝90°，OA＝OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴⊙O与⊙C相切的时候，OP取到最小值，此时OP＝OC－CP＝2，∴AB＝2OP＝4.11．解：(1)由点A(3，m)在直线y＝2x上，得m＝6，则A(3，6)，代入y＝eq\f(k,x)得到k＝18.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋9，,y＝\f(18,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))(舍)，则点B(6，3)．(2)如图所示，作A关于y轴的对称点A′(－3，6)，连结PA′，则PA′＝PA，∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当A′，P，B三点共线时，PA＋PB有最小值，∵A′(－3，6)，B(6，3)，∴A′B＝3eq\r(10)，∴PA＋PB的最小值为3eq\r(10).设A′B：y＝kx＋b，将B(6，3)，A′(－3，6)，代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝－3k＋b，,3＝6k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,3)，,b＝5，))得A′B：y＝－eq\f(1,3)x＋5，当x＝0时，y＝5，即当PA＋PB取得最小值的时候，P的坐标为(0，5)．12．解：(1)如图①，作PQ⊥EF于点Q，∵EP＝FP＝4，EF＝4eq\r(3)，∴QF＝QE＝2eq\r(