材料力学马红艳材力

§8.4三向应力状态一、定义三个主应力都不为零的应力状态。二、三向应力状态应力圆可利用主应力单元体做出。

三向应力状态主应力单元体s1s2s3根据主应力单元体作应力圆σ1σ2σ3σσ1σ2σ3平行于σ3的所有截面σ3σ1σ2根据主应力单元体作应力圆σσ1σ2σ3平行于σ1的所有截面σ1σ2σ3根据主应力单元体作应力圆σσ1σ2σ3平行于σ2的所有截面σ3σ2σ1三向应力状态应力圆σσ1σ2σ3σ3σ2σ1三向应力状态应力圆σ3σ1σ2σ三类特殊截面对应三个应力圆其余截面对应三个应力圆包围区域KK

三、应力第一不变量

σx

＋σy

＋σz=σ1

＋σ2

＋σ3=常数

四、极值应力

1.极值正应力

σmax=σ1

σmin=σ3

σσ1σ2σ32.极值切应力面内主切应力最大切应力σσ1σ2σ3例题1

求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是主应力单元体，据定义，

σ1=60MPa

σ2=30MPaσ3=－70MPa

307060（MPa）例题2求图示微元体的主应力和最大切应力。解：这是特殊三向应力状态，已知一个主平面和主应力，另两个主平面和主应力可按平面应力状态计算。∴

σ1=15MPa

σ2=12MPa

σ3=－11MPa1451210（MPa）xyz例题3

求图示微元体的主应力和最大切应力。解：已知一个主应力40MPa,另两个主应力可按纯剪应力状态结论直接写出。

σ1=40MPa,σ2=30MPa,σ3=－30MPa,3040（MPa）xyz§8.5广义胡克定律各向同性材料；应力不超过材料的比例极限。胡克定律成立1、纵向线应变与横向线应变--泊松比yxσxσx2、三向应力状态的广义胡克定律

σ3σ2σ1——叠加法广义胡克定律的一般情形zxy讨论（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关。（2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。

3.应变第一不变量常数4.主线应变e1

≥e2

≥e35.三个弹性常数之间的关系课后研究6.最大切应变γmax=ε1－

ε3课后研究7.体应变

⊿V=（1+ex）dx（1+ey）dy

（1+ez）dz－dxdydz=(ex＋ey＋ez

)dxdydz体应变θ

θ=⊿V/V=ex＋ey＋ez

dxdydzs3s1s2例1求x,y,z方向线应变和γxyzxy例2研究纯剪应力状态的体应变。分析：

s1=t,s2=0,s3=－t

ττs3＝-ts1＝t45°主应力单元体t例8-4已知:

d,E,ν,ε45

,求:

Me解：1.应力状态分析2.求τ3.求Mes1=ts3=－t45°K45°MeKdMe怎样证明A－A截面上各点应力状态不完全相同

平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法AA

关于A点的应力状态有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的AA①②④③一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要

请分析图示4

种应力状态中，哪几种是等价的tttttt45ｏtt45ｏ①④③②注意区分面内最大切应力与所有方向面中的最大切应力------

一点处的最大切应力§8.7常用的四个古典强度理论一、概述

1.建立强度条件的复杂性拉伸弯曲sσ强度条件stτ建立强度条件的基本思想：模拟！扭转t弯曲st强度条件

复杂应力状态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下的强度条件，采用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出路。στ强度条件如何模拟？×利用强度理论建立强度条件（1）对破坏形式分类；（2）同一种形式的破坏，可以认为是由相同的原因造成的；（3）至于破坏的原因是什么，可由观察提出假说，这些假说称为强度理论;

（4）利用简单拉伸实验建立强度条件。二、四个常用强度理论

破坏形式分类：

脆性断裂；

塑性屈服。（一）脆性断裂理论

1.最大拉应力理论

（无裂纹体断裂准则）CriteriaofFractureMaximumTensile-StressCriterion

无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力达到极限值，材料就会发生脆性断裂。（第一强度理论，17世纪，Galileo）

破坏原因：stmax

（最大拉应力）

破坏条件：s1=so（sb）123o=b强度条件:适用范围:脆性材料拉、扭；一般材料三向拉；铸铁二向拉-拉，拉-压（st＞

sc）2.最大伸长线应变理论（17世纪末）

无论材料处于什么应力状态，只要最大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆性断裂。

破坏原因：etmax（最大伸长线应变）

破坏条件：e1=e0s1－n（s2+s3）=s0

=sb

强度条件：s1－n（s2+s3）≤sb/n=[s]

适用范围：石、混凝土压；铸铁二向拉-压（st≤sc）s3=－ss1=0s2=0（二）塑性屈服理论

1.最大切应力理论

Tresca’sCriterion

（第三强度理论，18世纪末，Tresca）无论材料处于什么应力状态，只要最大切应力达到极限值，就发生屈服破坏。

破坏原因：tmax

破坏条件:

tmax=t0

CriteriaofYields1－s3=s0=ss强度条件：123适用范围：塑性材料屈服破坏；一般材料三向压。1=o=s2=3=02.畸变能理论

（第四强度理论，20世纪初，Mises）无论材料处于什么应力状态，只要畸变能密度达到极限值，就发生屈服破坏。

简介应变能：构件弹性变形储存的机械能。

应变能密度vε

:

材料单位体积储存的应变能。分为两部分：体积改变能密度vv

畸变能密度vd

Mises’sCriterion畸变能密度只改变体积只改变形状变形前变形后1231=o=s

3=0

2=0破坏原因：vd

（畸变能密度）强度条件：破坏条件：适用范围：塑性材料屈服；一般材料三向压。三、相当应力

强度条件中直接与许用应力[σ]比较的量，称为相当应力σr(畸变能理论)(最大切应力理论)(最大拉应力理论)（最大伸长线应变理论）

强度条件的一般形式

sr≤[s]四、平面应力状态特例已知：和试写出最大切应力理论和畸变能理论相当应力的表达式。解：首先确定主应力2＝0最大切应力理论畸变能理论r4=例题1

已知：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力

[t]=30MPa。求：试校核该点的强度。（MPa）102311

解：首先根据材料和应力状态确定失效形式，选择强度理论。脆性断裂，最大拉应力理论max=1[t]

σx=10MPa

σy=23MPa

τxy=－11MPa（MPa）102311yx其次确定主应力=29.28MPa,3.72MPa｛主应力为1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0max=1<[t]=

30MPa结论：满足强度条件。（MPa）1023112500420420ACDBF=200kNF例题已知：[s]=170MPa[t]=100MPa,

Iz=70.8×10－6

Wz=5.06×10－4m3求：全面校核梁的强度。120280148.5zy14

解：1.内力分析作FS

,M图，C－或D＋

:FSmax=200kN,Mmax=84kN·m2500420420ACDBF=200kNF120280148.5zy14MFS84200200（kN）（kN·m）2.正应力强度校核＜[σ]3.切应力强度校核＜[t]主应力校核

K点：＞[σ]sr4=197MPa＞[σ]

结论：K点不满足强度条件，此梁不满足强度要求。

s=149.5MPa,

t=74.1MPa,t120280148.5zy14KKstpdpdpFNFNσ1σ2例题8-6

关于受内压的圆筒式薄壁容器，其强度计算可参阅p.159的例8-6题，题中结果可当作一般结论使用。σxσθFF讨论1首先,要区分一点失效与构件失效一点失效即构件失效σF一点失效并不意味构件失效T

其次要注意强度失效不仅与应力大小有关，而且与应力状态有关。