数学分析复旦dvd8附送

其中

(xy)n1exy。(nf(xy)cosyx

x0f(xy在(1,0)点的Taylor展开式（展开到二阶导数，并计算余项R2；求f(x,y)在(1,0)点的k阶Taylor展开式证明在(1,0)点的某个领域内，余项Rk满足当k时Rk0。解（1）f(xy)1x1)x1)21y2R 1 R23!(x1)xyyf(1(x1), cos(x1)3sin(x1)2ycos(x1)y2siny3 2 其中1(x1)，y01（2）f(x,y)1 1nCj(1)nj(nj)!cos(j)(x1)njyj]R[ n1n!j k

k1

(k1 cos(j)(x

k1jyjjRk Ckj(k1)!j

kj 当x1时，1，对任意y(,)，Rk0(k)显然成立；当0|x1|1时，24， 1，于是对任意y(,)，有|R

k

(k

(k1

|x1|k1j|y|j1x1x (k1)!j!(k1j1x1x1k

k11x1x1x

k1

k

ex1因此也成

0（k

利用Taylor近似计算8.96203（展开到二阶导数。解考虑f(x,y)(9x)2y在(0,0)点的Taylor f(x,y)8118x81ln9yx2(918ln9)xy81ln29y2R(x,y) 于8.96203=f(0.04,0.03)8118(0.04)81ln9+(-0.04)2+(9+18ln9)(-0.04)0.03+81/2ln2(9)85.74设f(x,y)在R2上可微。l1与l2是R2上两个线性无关的单位（方

(x,y)0，i1,2证明：在R2f(xy)常数lcos,sinlcos,sin。由于f(xy在R2上可微

(x,y)

(x,y)

f

(x,y)sin

0

(x,y)

(x,y)

f

(x,y)

0因为l1与l2线性无关

sin1

0因此上面的线性方程组只有零解fx(xy0fy(xy0。于是由12.3.1知道f(x,y)常数。f(xy)siny（x0，证明 xxyyf(x,y)0k1 2 yf(x,y)xcosyyycosy 2 x xx k1 yfy)

f(xy0习12.4求下列方程所确定的隐函数的导数或偏sinyexxy20，求dydxyyx，求dyx2yx2y

arctany，求dyx和arctanxyy0，求和

dyd

d2y d dxlnz，求z和z 2 2ezxyz0，求 ， ， 和 x z33xyza3，求zz2z2z x f(xyyzzx)0，求z和z ，求， （9） ，求， f(xz, x ，求zz2z2zf(x, y, x 解（1）F(xysinyexxy20，。dyFx y2ex 。F(xyxyyx0，dyFx 注本题也可先在等式x

y(xlnyy)x(ylnxyx两边取对数，然F(x,y)

G(xy)ylnxxlny0x2arctanyx2xdyFx

xyxx设F(x,y)arctan

y0， x x (xy)2

ddy

(xy)3

dy

(xy)5

[a2(xy2] F(xyzxlnz0，， ，zFx

zFy z x y(xF(xyzezxyz0，zFx ，zFy ez ez 2

z

2y2

22 x2x ezxy

z

y(ez

2zz z z xy ezxyzxx(ezxy)2exy xyz2e ez (ez (ezF(xyz)z33xyza30，

， x

z2

z22

2xy3 x2x z2xy (z2

(z2 2

xyx z2 (z2 z52xyz3x2y2＝ (z2f(xy,yzzx)0即可得z

f1f3f2

，z

f1f2f2F(x,yz)zf(xzzy)0 zFx ，zFy 1xf1 1xf1 z x

1xffxf1zzxxf11zxf12 2 fxzxzfxzfzxz (1xff)2 x x x xf22 z z z z 1xff xf1zxxf112xzxxf12xf22 2 (10)f(xxyxyz)0即可得zf1f2f3，zf2f3 2zz1

z z f x f11 f121xf13f21f221xf23f 3 f1f2f z 31 1xf33 1f2(f2ff)2f(ff)(ff)(ff)2ff3 33f32 z 1 z f

z xyxyf 1xf23f2 1xf33 3 3 1f2ffffffff ff2fff3 23 23f3ytan(xy确定yx的隐函d3y2(3y48y25)d y证y'sec2(xy)(1y')(1y2)(1y解y'11再求二阶和三阶导数y''2y'22 10 2(3y48y2 yy4y6y 设是可微函数，证明由(cxazcybz)0所确定的zf(xy满足方azbzc 证由(cxazcybz)0可得 ，z

， a1所

a1 a1 a1azbzc 设方程(xzy1,yzx10确定隐函数zxzyzzxy

f(xy，证明它满证由1z1

z

12 x2 yzx y2 xzxy 1

1， 1 x(x1y2 1

11

2 y(x1y2y x所

y xxzyzzxy 求下列方程组所确定的隐函数的导数或zx2y2 d d d2 d2（1）x22y23z24a2求dxdxdx2和dx2（2）xuyv 求uu2u2uyuxv x （3）uf(ux,v 和vg(ux,

yu 求 和 zu2v2

yeusin 求z和zzu2v2

解（1）在方程组中对x求导，得dz2x2ydy 2x4y

由此解

dyx(16z)dz y(2 1再求二阶导数d2 (1 x(16z)

y(2 y2(26z) 2y(13z)21 x2(16z)2 2y1 2y2(1 (1 2 d2

1

(13z)2dx13z(13z)3在方程组中对x求偏导uxuyvu

vx

解此方程组u

uxvyy2x

vvxuy y2在方程组中对y求偏导xuvyv u解此方程组

y

vu

vxuyy2x

vuxvy y2 v ux 2u(x2y2)2 2ux y 22 2

yx

x

(yx

(y2x2 u vx 2v(x2y2) xyy2x2vxxyx(y2x2)2 在方程组中对x求偏导

(y2x2

u

vfx

uxx x ,, 解此方程组

2u

f2g1uf1(2vyg2 f2g1(xf11)(2vyg2

v

(1xf1g1uf1 f2g1(xf11)(2vyg2在方程组中分别对x与y求偏导1uv 0uv 与 y 0 解此两方程组uv1与uv1

z2uv2u2u2vvuv(uv) z2uv2u2u2vvuv(uv 在方程组中对x求偏导1eucosvueusinvv

x解此方程组

ueucosv,veusinvz2uu2v

2(ucosvvsinv) 在方程组中对y求偏导0eucosvueusinvv， ，1eusinvueucosvv 解此方程组求微

ueusinv,veucosv z2uu2vv＝2(vcosvusinv （1）x2yz（2）xsinu sin

0，求dz；求du与dv。解(1)直接对等式两边求微分dx2dydz (yzdxxzdyxydz)0由此解yz xyzxzyz xyzxz2xyz直接在方程组中求微dxdydudxxdycosudusinucosv sin sin2解此方程组du

sinvxcosvxcosvycos

dx

xcosvsinuxcosvycos

dydvycosusinvdxycosusinudyxcosvycos xcosvycos设xxy是由方程组Fyx,yz zz

z 所确定的向量值0

y 数，其中二元函数F和G分别具有连续的偏导数，求dxdz 解(1)在方程组中对y求导数1dx dz dyF11dyF2 dx 1dz ydyG1y2ydyG2 解此方程组dxyF1G2xy2F2G1(yz)F2G2 y(FGy2FG1 2dzzF1G2y3F2G1y2xy)F1G1 y(FGy2FG1 2f(xy具有二阶连续偏导数。在极坐标xrcos变换下，yr关于极坐标的表达

2x

2y 经计算，ffxfycosfsinf x y ffxfyrsinfrcosf x y 2f 2 2f 2 2f coscosx2sin sin2

2

yx 2

cos2

2cos

sin2

2

2 2frcos rsin rsinrsinx2rcos yx 2 2f rcosrsinxyrcos2y 2 22 2 2frcosrsin r x22sincos cos 2x容易验

y 2 12 1 2 ＝ r r2 r

设二元函数 具有二阶连续偏导数。证明：通过适当线性变uxvx可以将2

2

22化简2

Ax2

xyC

（ACB202

0并说明此时为一元二次方程A2BtCt20的两个相异实根。证经计算，有ffufvff u v ffufvff u v 2

2f

2f

2f

2f

2

22

2

u2 vu uv v2

2f2fu2fv2fu2fv

u2 vu

uv v2 22

2

22f2

2fu2fv

2f

2fv

2

2f f2f f u2 vu uv v2 所2

2

20Ax22BxyC2

22

2(A2BC2

(A2B

)

2[AB()

vu由条件ACB20知一元二次方程A2BtCt20有两个相异实根，所以只要取为方程的两个相异实根。此时由2B与CA，可CAB()C

0于是原方程化简为2uv0通过自变量变换xey

变换方22 2 22ax 2bxy cy 0abc为常数。x y解由lnx,lny，可zz1z，zz1z x y2z12z1z2z12z1z2z 2z x2 x2 y2 y2 xy代入原方程22 2 22 2 z 2 2 zaxx22bxyxy

0 通过自变量变换ux2y

变换vx22

2

1解经计算，

yy22

y0zzuzvzz，zzuzv1zzy u v u vy

zz 2

2

2 2

z

12

2

2z

u22

uvyu2 vzv22 u 2 代入原方程

2z

2 1 2

yy22y4

0所以原方程变

2

0导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方ux2y2（1）用v

1

及wlnzxy变换方yzxz(yx)z 用 u用vx

及wxyz变换方 2

22

x2

xy20 ux 用v

及w 变换方x2 2 2 2 0x（1）由wlnzxy得

yzw

w1w1 z z2x x2

1w1y1

y

z2yuy2 代yzxz(yx)z 得 y x z2xyux2vy z2xyuy2vxz(yx)0 化简后得由wxyz得

w0zw1ww1，zw1w1 2z2w 2w2w2z2w2w2z2w 2 代2

22

x2

xy20 得w w 0u 由wz得x

v zwxwwxwyw，zxwxww xv 2 2

y

ywx2w

2y

22w x

x

x

u xuv x w2w2