高三数学二项式定理

二项式定理1考纲导读考纲导读1．驾驭分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简洁的应用问题．2．理解排列的意义，驾驭排列数计算公式，并能用它解决一些简洁的应用问题．3．理解组合的意义，驾驭组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简洁的应用问题．4．驾驭二项式定理和二项绽开式的性质，并能用它们计算和证明一些简洁的问题．学问网络学问网络组合组合排列组合二项式定理两个计数原理排列排列概念排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式定理二项式系数性质应用高考导航高考导航排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的实力及分类探讨思想．它是中学数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础学问．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新奇，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有肯定的难度．解决该问题的关键是学习时要留意加深对概念的理解，驾驭学问的内在联系和区分，严谨而周密地去思索分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础学问，高考重点考查绽开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简洁而好玩的小题，在高考中也时有出现．第1课时两个计数原理基础过关基础过关1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在其次类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它须要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做其次步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．典型例题典型例题例1.高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1)从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2)从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3)从这150名学生中选4人参与学代会有多少种方法？(4)从这150名学生中选4人参与数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种（2）48×50×52＝124800种（3）（4）变式训练1：在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（）A、25个B、36个C、100个D、225个解：在垂直于x轴的6条直线中随意取2条，在垂直于y轴的6条直线中随意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以依据分步记数原理知道：得到的矩形共有个，故选D。例2.(1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？(2)设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为志向配，全部志向配共有多少种？(3)随着电讯事业的发展，很多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)解：（1）65（2）27（3）电话号码首位不为0：9×107－9×106＝8.1×107变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色,则有多少种不同的着色方法解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有种着色方法.⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;因此满意条件的着色方法共有种着色方法.例3.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建立三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（） DA A、8种B、12种C、16种D、20种B C解：第一类：从一个岛动身向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；其次类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；依据分类计数原理知道共有4+12=16种方法变式训练3：某公司聘请进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的安排方案．解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最终分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（）A、26B、24C、20D、193512B46A676 128解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类方法：第一类：12 5 3其次类：1264第三类：1267第四类；：1286可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；其次类单位时间传递的最大信息量是4；第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D变式训练4：7个相同的小球，随意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清晰：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。于是，我们采纳“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中随意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。即有=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。注；（1）本题若实行“分类探讨”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。（2）隔板法只能用于“各个元素不加区分”的状况，否则不能运用两个原理的区分在于，前者每次得到的是最终的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．第2课时排列基础过关基础过关1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“依据肯定依次排列”．因此当元素完全相同，并且元素的排列依次也完全相同时，才是同一个排列．2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部排列的个数，叫做从个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn＝．这里m≤n，其中等式的右边是个连续的自然数相乘，最大的是，最小的是．3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用表示．4．解有约束条件的排列问题的方法有干脆法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法．5．排列问题常用框图来处理．典型例题典型例题例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同安排有多少种？(2)同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？（3）（06湖南理14）某工程队有6项工程须要单独完成，其中工程乙必需在工程甲完成后才能进行，工程丙必需在工程乙完成后才能进行，工程丁必需在工程丙完成后马上进行．则支配这6项工程的不同排法有多少种数？解：（1）分类：9种（2）假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素c1、c2、c3、c4．问题化为a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是a,b不相邻，共有＝48种；（3）将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有＝20种变式训练1：有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分,将这9个球排成一列有____种不同的方法.解：9个球排成一列有种排法,再除去2红、3黄、4白的依次即可,故共有排法种。答案:1260例2．5男4女站成一排，分别指出满意下列条件的排法种数(1)甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．(2)甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．(3)甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求肯定相邻）的排法有种．丙在甲乙之间（不要求肯定相邻）的排法有种．(4)甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．(6)女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种．(8)甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有种．(9)甲乙之间有且只有4人的排法有种．解：(1)8！,8×8！(2)2×8！,6×7！(3)×9！,×1,×2×1(4)×7!8！＋7×7×7！(5)2×5！×4！(6)5！×,5！×4！×2(7)9！－2×8！×2＋2×7！,3×6！××2(8)9！－×6！(9)捆绑法．2××4！也可用枚举法2×4×7！变式训练2：从包含甲的若干名同学中选出4人分别参与数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参与一种竞赛，且任2名同学不能参与同一种竞赛，若甲不参与物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5．例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数解：分两类．①类5在千位上：1×5×＝280②类4或6在千位上：2×4×＝448故有280＋448＝728个变式训练3：3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个例4.(1)从6名短跑运动员中选4人参与4×100米接力赛，问其中不跑(2)一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？解：（1）①先支配第四棒，再支配其他三棒的人选，故有5×＝300种②60对．（2）假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素C1，C2，C3，C4间题转化为A，B，C1，C2，C3，C4排列，条件A，B不相邻，有＝480种.变式训练4：某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．解：96小结归纳小结归纳1．解排列应用问题首先必需细致分析题意．看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简洁的排列问题常用框图或树型来处理（留意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等）2．解有约束条件的排列问题的几种策略．a.特别元素，特别位置优先定位（也有个别例外状况，见例1）b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理c.正难则反，等价转换3．解排列应用问题思路肯定要清晰，并随时留意转换解题角度，通过练习要细致理睬解排列问题的各种方法．4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易干脆验证，解题时要深化分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．第3课时组合基础过关基础过关1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是前者要“按肯定的依次成一列”，而后者却是“不论怎样的依次并成一组”．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．组合数公式＝＝在求详细的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，假如进行抽象的证明时，一般常用下面的公式＝，它的分子是，分母是与的积．3．组合数性质：① ②③④⑤典型例题典型例题例1.某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参与某种课外活动.(1)假如班长和副班长必需在内有多少种选派法.(2)假如班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.(3)假如班长和副班长都不在内有多少种派法.(4)假如班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.解；(1)＝286(2)＝1430(3)＝1287(4)－＝1716变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参与某个座谈会，若这4个人中必需既有男生又有女生，则不同的选法有 （）A．140 B．120C．35 D．34解：D例2.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有()A、108种B、186种C.216种D、270种解：没有女生的选法有,至少有1名女生的选法有种,所以选派方案总共有：31×=186种。故选B.变式训练2：从5位男老师和4位女老师中选出3位老师派到3个班担当班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女老师都要有，则不同的选派方案共有 （）A．210种 B．420种C．630种 D．840种解：B例3.(1)把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？(2)以平行六面体ABCD—A1B1C1D21的随意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面状况有多少种？(3)一次文艺演出中须要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者依据每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？解：（1）先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法安排剩下的书有＝15种，（2）平行六面体中能构成三角形个数＝56为任取两个有种状况，其中共面的有12，因而不共面的有—12种（3）变式训练3：公路上有编号为1，2，3，4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满意条件的关灯方法种数有_______种.解：20用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有种关灯方法．例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．解：(1)四个点共面的取法可分三类．第一类：再同一个面上取，共有4个面；其次类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有＝3个面．故有69种．(2)用间接法．共＝141个面．变式训练4：在1，2，3…100这100个数中任选不同的两个数，求满意下列条件时各有多少种不同的取法．(1)其和是3的倍数(2)其差是3的倍数(大数减小数).(3)相加，共有多少个不同的和.(4)相乘，使其积为7的倍数.解：(1)1650(2)1617(3)197(4)1295小结归纳小结归纳1．解有关组合应用问题时，首先要推断这个问题是不是组合问题．区分组合问题和排列问题的唯一标准是“依次”．须要考虑依次的是排列问题不须要考虑依次的的才是组合问题．2．要留意精确理解“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的准确含义．3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。4．避开重复和遗漏．第4课时排列组合综合题基础过关基础过关1．解排列组合题中常用的方法有干脆法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类探讨、思想转化、化归思想、对应思想.2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.4．对于有多个约束条件的问题，先应当深化分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则须要交叉运用两个原理来解决问题.典型例题典型例题例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必需在排头；（2）甲必需在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必需在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（1）特别元素是甲，特别位置是排头；首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：×=24种（2）甲必需在排头，并且乙在排尾的排法种数：××=6种（3）首先排两端有种，再排中间有种，所以甲、乙必需在两端排法种数为：×=12种（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：－2+=78种（5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，所以甲、乙不在两端排法种数为×=36种（6）因为甲、乙共有2！种依次，所以甲在乙前排法种数为：÷2！=60种（7）因为甲、乙、丙共有3！种依次，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：÷3！=20种（8）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在依次改变，所以甲、乙相邻排法种数为×=48种（9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在依次改变，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为××=24种（10）因为甲、乙、丙相邻有×，所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×=84种变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 （）A．45种 B．36种C．28种 D．25种解：C.8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C＝28种；或用插排法．例2.(1)某校从8名老师中选派4名老师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？(2)5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参与团体竞赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？解：（1）分类：第一为甲丙都去，其次类不去共有种（2）分类：第一类两名老队员都去，其次类去一名老队员共有种变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已支配成节目单，开演前又增加了三个新节目，假如将这三个节目插入原来的节目单中，则不同的插法种数是 （）A．504 B．210C．336 D．120解：A＝504故选A例3.已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解：首先把确定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的状况探讨。设直线的倾斜角为，并且为锐角。则tan=－＞0,不妨设a＞b,则b＜0当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中随意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条当c=0时,a有3种取法,b有3种取法,其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条故符合条件的直线有7+36=43条变式训练3：将5名高校生毕业生安排到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少安排一人，则不同的安排方案共有______种.解：例4.从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解：a，b，ca，b，c成等差数列要么同为奇数，要么同为偶数，故满意题设的等差数列共有A＋A＝180(个)变式训练4：某赛季足球竞赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑依次，该队输赢平的状况共有多少种？解：设该队输赢平的状况是：胜x场，负y场，则平15－(x＋y)场，依题意有：x≥9。故有3种状况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0．小结归纳小结归纳1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景生疏时，必需细致审题，把握问题的本质特征，并擅长把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.3．对于用干脆法解较难的问题时，则采纳间接法解.基础过关第5课时二项式定理基础过关1．(a＋b)n＝(n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项绽开式，其中的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项绽开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝是表示绽开式的第r＋1项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：①在二项式绽开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：②假如二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；假如二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，绽开式共有n+1项，中间一项，即：第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，n+1是偶数，绽开式共有n+1项，中间两项，即第项及每项，它们的二项式系数最大，为③二项式系数的和等于—————————，即————————————④二项绽开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝即⑤绽开式中相邻两项的二项式系数的比是：3．二项式定理主要有以下应用①近似计算②解决有关整除或求余数问题③用二项式定理证明一些特别的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）留意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题④杨辉三角形典型例题典型例题例1.(1)（06湖南理11）若(ax－1)5的绽开式中x3的系数是－80，则实数a的值是．(2)（06湖北文8）在的绽开式中，x的幂指数是整数的有项．(3)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6绽开式中x2项的系数为．解：（1）－2（2）5项（3）35变式训练1：若多项式,则()A、9B、10C解：依据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴故选D。例2.已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N绽开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？由题意，则含x3项的系数为＋，当n＝5或6时x3系数取得最小值为30变式训练2：分已知的绽开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则绽开式中常数项是()A、－45iB、45iC、－45D、45解析：第三项,第五项的系数分别为,依据题意有：,整理得即解方程(n－10)(n＋5)＝0则只有n=10适合题意.由,当时,有r=8,故常数项为=45故选D例3.若求（）+（）+……+（）解：对于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+……+（）=∴原式：（）+（）+……+（）=2004留意：“二项式系数”同二项式绽开式中“项的系数”的区分与联系变式训练3：若，则的值是 （）A． B．1 C．0 D．2解：A例4.已知二项式，（n∈N）的绽开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求绽开式中各项的系数和（2）求绽开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴，解得n=8令x=1得到绽开式中各项的系数和为(1-2)=1(2)绽开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数肯定值分别为,,,若第r+1项的系数肯定值最大,则必需满意：≤并且≤，解得5≤r≤6；所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120变式训练4：①已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求绽开式中不含x的项.②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的绽开式中x2项的系数.解：小结归纳小结归纳1．留意(a＋b)n及(a－b)n绽开式中，通项公式分别为及这里且绽开式都有n+1项，在运用时要留意两个公式的区分，求二项式的绽开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．2．二项式的绽开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应依据题设中对精确度的要求，确定绽开式中各项的取舍．4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1．通过练习要细致地去体会其中的变形技巧．排列组合二项式定理章节测试题一、选择题：1.的绽开式中的系数为（）A．10B．5C．D．11233122312.将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种3.的绽开式中的系数是（）A． B． C．3 D．44.设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对依次不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D．6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参与某次社区服务，假如要求至少有1名女生，则不同的选派方案种数为（）A.14B.24C.28D.487.从5名男生和5名女生中选3人组队参与某集体项目的竞赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A.100B.110C.120D.1808.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C9.绽开式中的常数项为（）A．1B．C．D．10.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．11.一生产过程有4道工序，每道工序须要支配一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中支配4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中支配1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中支配1人，则不同的支配方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种12.在的绽开式中，含的项的系数是（）（A）-15（B）85（C）-120（D）27413.若(x+)n的绽开式中前三项的系数成等差数，则绽开式中x4项的系数为（）(A)6(B)7(C)8(D)9二、填空题：14.从10名男同学，6名女同学中选3名参与体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）15.的绽开式中常数项为；各项系数之和为．（用数字作答）16.（x+）9绽开式中x2的系数是.（用数字作答）17.记的绽开式中第m项的系数为，若，则=__________.18.绽开式中的常数项为．19.的绽开式中的系数为．(用数字作答)20.某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．21.绽开式中的系数为_______________。22.从甲、乙等10名同学中选择4名参与某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参与，则不同的选择方法共有_______________种。23.的二项绽开式中的系数为（用数字作答）．24.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．假如取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）．25.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)三、解答题26．由0，1，2，3，4，5这六个数字。（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？27．已知的绽开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求绽开式中系数最大的项． 排列组合二项式定理章节测试题答案选择题：1.C2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.C9.D10.C11.B12.A13.B填空题：14.42015.10，3216.8417.518.3519.8420.221.14022.1023.43224.4025.12三、解答题26．解：（1）(2)(3)(4)27．解：（1）由题设，得，………即，解得n＝8，n＝1（舍去）．…（2）设第r＋1的系数最大，则……………即解得r＝2或r＝3．……所以系数最大的项为，．…说明：驾驭二项式定理，绽开式的通项及其常见的应用．五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】本题主要考查排列组合学问以及分步计数原理学问.属于基础学问、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.3．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C【答案】B【解析】本题主要考查排列组合学问以及分类计数原理和分步计数原理学问.属于基础学问、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特别元素，当0排在末位时，有（个），当0不排在末位时，有（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种答案：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出全部两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种。5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解:分两类(1)甲组中选出一名女生有种选法;(2)乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D6.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，依次有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是7.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最终再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；其次类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有＝12种排法三类之和为24＋12＋12＝48种。8.（2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A.6种B.12种C.30种D.36种解：用间接法即可.种.故选C9.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种（B）80种（C）100种（D）140种【解析】干脆法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C4间接法：随意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.【答案】A10.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有一人参与，星期六有两人参与，星期日有一人参与，则不同的选派方法共有A.120种B.96种C.60种D.48种【答案】C【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能状况的种数为【B】A．14B．16C．20D．48解:由间接法得，故选B.12.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有，故选择D。13.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最终再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；其次类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法此时共有＝12种排法三类之和为24＋12＋12＝48种14.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(A)432(B)288(C)216(D)108答案:C.解析:首先个位数字必需为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有故选C.15.(2009湖南卷理)从10名高校生毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项16.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.188C.216D.【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选B。17.（2009重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队随意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A． B． C． D．【答案】B解析因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为。二、填空题18.（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中支配6人在周六、周日两天参与社区公益活动。若每天支配3人，则不同的支配方案共有________________种（用数字作答）解析：，答案：14019.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个20.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．21.（2009浙江卷文）有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．从这张卡片中任取一张，记事务“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则．【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的实力，更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的实力和水平【解析】对于大于14的点数的状况通过列举可得有5种状况，即，而基本领件有20种，因此22.（2009年上海卷理）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝，＝0×＝23.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中随意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为总的滔法而所求事务的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为24.（2009重庆卷理）将4名高校生安排到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的安排方案有种（用数字作答）．【答案】36【解析】分两步完成：第一步将4名高校生按，2，1，1分成三组，其分法有;其次步将分好的三组安排到3个乡镇，其分法有所以满意条件得安排的方案有2005-2008年高考题选择题1.（2008上海）组合数Ceq\a(r,n)（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．eq\f(r+1,n+1)Ceq\a(r-1,n-1)B．(n+1)(r+1)Ceq\a(r-1,n-1)C．nrCeq\a(r-1,n-1)D．eq\f(n,r)Ceq\a(r-1,n-1)答案DDBCA2.（2008全国一）DBCAA．96 B．84 C．60 答案B3.（2008全国）从20名男同学，10名女同学中任选3名参与体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A． B． C． D．答案D4.（2008安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对依次不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D．答案C5.（2008湖北）将5名志愿者安排到3个不同的奥运场馆参与接待工作，每个场馆至少安排一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150答案D6.（2008福建）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参与某次社区服务，假如要求至少有1名女生，则不同的选派方案种数为A.14 B.24 C.28 D.48答案A7.（2008辽宁）一生产过程有4道工序，每道工序须要支配一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中支配4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中支配1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中支配1人，则不同的支配方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种答案B8.（2008海南）甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中参与某项志愿者活动，要求每人参与一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外两位前面。不同的支配方法共有（）A.20种 B.30种 C.40种 D.60种答案A9．（2007全国Ⅰ文）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种答案C10．（2007全国Ⅱ理）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有2人参与，星期六、星期日各有1人参与，则不同的选派方法共有（）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种答案B11．（2007全国Ⅱ文）5位同学报名参与两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种答案D12．（2007北京理）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种答案B13．（2007北京文）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个答案A14．（2007四川理）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个答案B15．（2007四川文）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A.48个B.36个C.24个D.18个答案B16．（2007福建）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“实惠卡”，则这组号码中“实惠卡”的个数为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案C17．（2007广东）图3是某汽车修理公司的修理点环形分布图．公司在年初安排给A、B、C、D四个修理点某种配件各50件．在运用前发觉需将A、B、C、D四个修理点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻修理点之间进行．则要完成上述调整，最少的调动件次(件配件从一个修理点调整到相邻修理点的调动件次为)为（）A．18B．17C．16D．15答案C18．（2007辽宁文）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．30 C．36 D．48答案B19．（2006北京）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个 （B）24个（C）18个 （D）6个答案B解析依题意，所选的三位数字有两种状况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B20．（2006福建）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种解析从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B.21．（2006湖南）某外商支配在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种答案D解析：有两种状况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有种方案，共计有60种方案，选D.22．（2006湖南）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的全部全排列中，随意两个数字都不相邻的全排列个数是A．6B.12C.18D.24答案B解析：先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.23．（2006全国I）设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．B．C．D．答案B解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=1种；总计有，选B.24．（2006全国II）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种答案A解析：人数安排上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种，所以共有150种，选A25．（2006山东）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36答案A解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A26．（2006天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种答案A解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分状况探讨：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，选A．27．(2006重庆)将5名实习老师安排到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的安排方案有（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种答案B解析：将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的安排方案，选B.28．(2006重庆)高三（一）班学要支配毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出依次，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040答案B解：不同排法的种数为＝3600，故选B二、填空题29.（2008陕西）某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．答案9630.（2008重庆