2023年高考数学复习满分训练必做题(新高考专用)专题3

专题3.2导数的应用

考点3.2.1构造函数

第UJL试真题,[528].(2015・福建•高考真题•★★★)

若定义在R上的函数/(x)满足/(0)=-1,其导函数/'(X)满足/'(X)>«>1,则下列结论中一定错误的是()

1

>------

Ak-l

1k

[529].(2015•全国•高考真题•★★★)

设函数/(X)是奇函数〃X)(xeR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得〃x)>0成

立的x的取值范围是

A.(-*>,-l)U(0,1)B.(_1,O)E(1,+¥)

C.(-oo,-l)U(-1,0)D.(0,l)u(l,+oo)

[5301(2011•辽宁•高考真题•★★★)

函数/(x)的定义域为火，〃T)=2,对任意xeR,/'(x)>2,则〃x)>2x+4的解集为()

A.(-U)B.(-l,+oo)C.(-oo,-l)D.(e,+8)

【531】.(2022•北京•高考真题•★★★★)

已知函数f(x)=e*ln(l+x).

⑴求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x)，讨论函数g(x)在曲位)上的单调性；

(3)证明:对任意的s,fe(0,+8),有〃s+f)>任s)+").【532】.(2021•浙江•高考真题•★★★★★)

设“，6为实数，且a>l,函数/(x)=，-Z>x+e2(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意6>2e2,函数/(X)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意函数/。)有两个不同的零点玉,Z,(々>x)满足%>绊士+《.

2eb

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

[5331.(2021•全国•高考真题•★★★★)

设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=M(x)的极值点.

(1)求a；

X+f(x)

(2)设函数8(%)=方荷"-证明:g(x)<l.第■步提能力

【534】.(2022•贵州•贵阳一中模拟预测•★★★)

已知奇函数〃x)的导函数为/”(x),且“X)在(0,父上恒有/⑷<△»成立，则下列不等式成立的

\27sinxcosx

()

A.扃卧小B.-小何㈢

C.研图<甸勺D.殍佃<6既

【535】.(2022•浙江省新昌中学模拟预测•★★★★)

若定义在夫上的函数"X)的导函数为/'(X),且满足/'(x)>/(x),42022)=e2°22,则不等式《领》上正

的解集为()

A.(O,e6066)B.(O,e2022)

C.(e2022,+(»)D.(e6066,+(»)

【536】.(2022•江苏盐城•三模•★★★)

已知/''(X)为〃x)的导函数，且满足/(0)=1,对任意的x总有27”)-/(x)>2,则不等式/卜)+22小

的解集为.

[537].(2022•河南•三模•★★★)

已知函数/")=:，京，若存在芭X?叫使得/(xj=g(xj<°成立，贝产£的最小值为

第❸步"过模拟4

【538】.(2022•江苏淮安•模拟预测•★★★★)

已知偶函数/(X)的定义域为R,导函数为/'(x),若对任意xe[0,+8),都有2/(x)+^'(x)>0恒成立，则

下列结论正确的是()

A./(0)<0B.9/(-3)</(1)C.4/(2)>/(-1)D./(1)</(2)

[5391(2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测•★★★)

定义在(1，+¥)上的函数/(x)的导函数为/(x),且(x—1)/'(x)—/(x)>¥-2x对任意xw(L+◎恒成立.若

"2)=3,则不等式/(x)>x2-x+1的解集为()

A.(1,2)B.(2,+oo)

C.(1,3)D.(3,+00)

【540】.(2022・湖北•鄂南高中模拟预测•★★★★)

下列大小比较中，错误的是()

A.3。<e3c打。B.e3<Q"C.<e"<3"D.<3,T

[5411(2022•新疆乌鲁木齐•模拟预测•★★★)

_2,_In2_ln3.、

设〃=-7,b=――,c=——，则()

e223

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.b<c<a

【542】.(2022•四川雅安•三模•★★★)

定义在R上的偶函数〃x)的导函数为/'(x),且当x>0时，xf'(x)+2f(x)<Q.则()

A・牛>华B.9/⑶>〃1)

4e

C.4/(-2)<9/(-3)D.%

9e~

【543】.(2022•山西•模拟预测•★★★★)

设函数“X)在R上存在导函数7'(x),对于VxwR,都有/(x)+/(r)=2f及;r(x)-x>0成立，若

/(〃?一2)+/(加)…2m2-4m+4,则实数加的取值范围为()

A.[1,+=0)B.(-«>,1]C.[-1,1]D.(-8,-口。工+8)[544].(2022•安徽省芜湖市教育局模拟预

测•★★★)

已知定义在R上的函数/(x)满足/'(x)-2/(x)>0,则下列大小关系正确的是()

A./(2)>e2/(l)>e7[1]B.e2/(l)>/(2)>e3/

C.e2/(l)>e7^>/(2)D.〃2)>*[；]>e»(1)

【545】.(2022•河南•模拟预测•★★★)

已知/'(x)是定义在R上的函数/(x)的导数，且/(x)-/'(x)<0,则下列不等式一定成立的是()

A.e3/(-2)>/(l)B./(-2)<e7(l)

C.孤1)<〃2)D./(I)<ef(2)

【546】.(2022・天津•南开中学模拟预测•★★★★★)

已知可导函数/(x)是定义在卜上的奇函数.当时，〃x)+/'(x)tanx>0,则不等式

cosx-/(x+]]+sinx-/(-x)>0的解集为()

A.[-?■?)B.卜利C.卜:wD.[-p0]

[547].(2022•河南平顶山•模拟预测•★★★★)

已知函数/00=("2)*-(“+2)xe'+幺有三个零点占产2户3，且王<%<三，则

C.-8D.-27

[5481.(2022•陕西榆林•三模•★★★)

已知/⑶是定义在R上的函数，/(x)是/(x)的导函数，且/'(x)+/(x)>l，/(1)=2,则下列结论一定成

立的是()

A./(2)I<+2feB.〃2)<1上+上eC.〃2)>匕1+2eD.〃2)>上1+e【549】.(2022•天津•耀华中学二模次

eeee

★★★★)

x

已知函数/(x)=-n-p-+lnx-x(Q>0).

(1)若。=1,求函数/(x)的单调区间；

(2)若/(x)存在两个极小值点和三,求实数。的取值范围.

[550].(2022•浙江•三模•★★★★★)

已知实数。>0,设函数f(x)=x2-2ax+\n(a+l)-(ax-l)lnx,x>C.

⑴当a=0时,求函数/(x)的单调区间；

⑵若函数单调递增，求a的最大值；

⑶设X1,X)是/(X)的两个不同极值点，X3是/(X)的最大零点.证明：—+—<-V3.

注：e=2.71828…是自然对数的底数.考点3.2.2零点问题

第O步八试真题_k【551】.(2022,辽宁•★★★)

(2015,全国•高考真题(理))设函数/(x)=e'(2xT)-ax+a,其中,若存在唯一的整数%,使得

/U0)<0,则。的取值范围是()

「31「33]「33、「3八

2e)L2e4；12e4；[_2eJ

【552】.(2017•全国•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=X2-2X+a(ex-'+e-x+])有唯一零点,则"

11

A.—B.-C.~D.1

232

【553】.(2022•四川•树德中学模拟预测•★★★)

已知函数/(x)=e'+x-2的零点为。，函数g(x)=lnx+x-2的零点为6,则下列不等式中成立的是()

A.ab>\B.e"+ln/><2

C.a2+b2<?>D.

[5541(2022•全国•高考真题•★★★★)(多选题)

已知函数/（x）=1-x+1,则（

A./&)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

[555].(2021•北京•高考真题•★★★)

已知函数/(刈=恒乂-6-2,给出下列四个结论：

①若/=0,/(幻恰有2个零点；

②存在负数k,使得/(x)恰有1个零点；

③存在负数M使得/(x)恰有3个零点；

④存在正数%,使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

[5561(2018•江苏•高考真题•★★★★)若函数〃x)=2/-凉+l(aeR)在(0,+8)内有且只有一个零点,

则/(x)在[-1』上的最大值与最小值的和为.

[557].（2022•全国•高考真题•★★★★）

已知函数/(x)=ln(+x)+oxeT

⑴当a=l时，求曲线N=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

⑵若/(x)在区间(-1,0),(0,口)各恰有一个零点，求°的取值范围.

[5581(2022•全国•高考真题•★★★★)

己知函数=—Inx+x-a.

⑴若〃x)20,求a的取值范围；

⑵证明：若/(x)有两个零点外,三，则x/<l.【559】.(2021•全国•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=(x—l)e'—

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点

(J)—<(?<—,6>2a；

22

(2)0<a<—,h<2a.

[560].(2021•浙江•高考真题•★★★★★)

设a,6为实数，且a>l,函数/(x)=t/-bx+e2(xeR)

(1)求函数的单调区间;

(2)若对任意6>2e2,函数/(X)有两个不同的零点，求”的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意6>/,函数/。)有两个不同的零点玉,£,仁>玉)，满足阴阳+G.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)第❷变雕力、

[561].(2022•福建省福州第一中学三模•★★★★)(多选题)

已知函数/(x)=ln|x|+,-x,则下列结论正确的是()

A./(x)为偶函数B.〃x)有且仅有两个零点

C.〃x)既无最大值，也无最小值D.若为尤2>0且/（占）+/（%）=0,贝1）中2=1

[562].(2022•辽宁•抚顺市第二中学三模•★★★★)(多选题)

XQX,x<1

已知函数/(x)=e，，下列选项正确的是()

—,X?>1

.X

A.点(0,0)是函数〃x)的零点

B.3x,G(O,1),3X2e(l,3),使/($)>/&)

C.函数/(x)的值域为[-十,+ooj

D.若关于x的方程[/(X)了-2q/(x)=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是(0,+8)7卜1}

[5631(2022•全国•模拟预测•★★★★)

已知函数[(x)=aln(x+l)-3x.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)证明：当。=1时，方程〃x)=sinx-3x在上有且仅有一个实数解.【564】.(2022•浙江湖州•模拟

预测・★★★★★)

已知函数〃x)=e3(e为自然对数的底数).

⑴令g(x)=q|x|-/(x)-I,若不等式g(x)40恒成立,求实数”的取值范围；

/(x)

⑵令夕")=切3(刈-加，若函数0(x)有两不同零点王,々(玉<%).

①求实数机的取值范围；

②证明：e--e*<+1.第&步」过模拟

【565】.(2022•青海西宁•二模•★★★★)

定义方程/(x)=/(x)的实根/叫做函数/(x)的"新驻点"，若函数g(x)=e2"l,A(x)=lnx,以外=》3-1的

"新驻点"分别为。，b,c,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.h>c>a

[566].(2022•四川•宜宾市叙州区第一中学校模拟预测•★★★★★)

已知函数/(x)=e*,函数g(x)与/(x)的图象关于直线V=x对称，若h(x)=g(x)-kx无零点,则实数人的取值

范围是()

A.I-,e2JB.(-,ejC.(e,+oo)D.I-,+ooI

【567】.(2022・浙江•镇海中学模拟预测・★★★★★)

\nx、1

XC

己知函数/(x)=I2,，设关于X的方程/2(x)+4(x)_l=0(“eR)有，〃个不同的实数解，则，〃的

ee1

---x——,x<-

2--2e

所有可能的值为()

A.3B.4C.2或3或4或5D.2或3或4或5或6

【568】.(2022•河南•模拟预测•★★★★)

已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数4的取值范围是()

A.(-8,0]B.(-8,-1)=卜1,；卜(；,+8)

C.卜(；'+8)D.(-8,l)U(l,+8)

[5691.(2022•重庆南开中学模拟预测•★★★)

若关于x的方程e、=ax\x>0)有解，则实数a的取值范围为.

[570].(2022•江苏•南京市江宁高级中学模拟预测•★★★)

若函数/(》)=2x3_#_[(碇R)在(一8,0)内有且只有一个零点，则〃X)在[-1,1]上的最大值与最小值的和

为.【571】.(2022•浙江•乐清市知临中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=ev2|nv(x>0).

⑴求/(x)的极值点.

(2)若有且仅有两个不相等的实数为,乙(0<再<X?)满足/(%,)=/(x2)=e*.

(i)求％的取值范围

(ii)证明xfa4「2」.

王

[572].(2022•湖北•模拟预测•★★★★)

=(a-l)lnx4-x+—

⑴若"0,讨论函数/(x)的单调性;

(2)g(x)=/(x)+lnx-@有两个不同的零点为，x2(0<x,<x2),若g'(缪学】>0恒成立，求义的范

围.1573】.(2022•河南•平顶山市第一高级中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(%)=«(e^+l)--2(aeR).

⑴若g(x)=eJ/(x),讨论g(x)的单调性；

⑵若/(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

[5741(2022•贵州•贵阳一中模拟预测•★★★★)

已知函数/(》)=尔-3x?+a+A

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)当“X)有三个零点时°的取值范围恰好是(-3,-2)5-2,0)50,1),求b的值.

考点3.2.3函数的极值与最值问题

:题:型一庙&舄

TIXING।―懿嬲!型■援健健物握I类赎阑法

第®真题【578】.(2022•全国•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=ax---(a+1)Inx.

x

(1)当a=0时，求/(x)的最大值；

⑵若〃x)恰有一个零点，求a的取值范围.

【579】.(2021•北京•高考真题•★★★★)已知函数/(力=去三.

(1)若“=0,求曲线N=/(x)在点处的切线方程；

(2)若/")在x=-l处取得极值，求/(月的单调区间，以及其最大值与最小值.【580】.(2017•山东•高考

真题•★★★★)

已知I函数/(X)=X2+2COSX,g(x)=e'(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底数.

(I)求曲线N=/(x)在点(万，〃乃))处的切线方程；

(II)令〃(x)=g(x)-4(x)(aeR),讨论力⑺的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

【581】.(2020•北京•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=12--.

(I)求曲线y=/G)的斜率等于-2的切线方程;

(II)设曲线y=〃x)在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S«),求S«)的最小

值.【582】.(2021•天津•高考真题•★★★★)

已知4>0,函数/(》)=0^76，.

(|)求曲线y=/(x)在点(0,点0))处的切线方程：

(II)证明/(X)存在唯一的极值点

(川)若存在“，使得/(x)Va+6对任意xeR成立，求实数b的取值范围.

[583].(2019•全国•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=*_l)lnx_x_l.证明：

(1)/(X)存在唯一的极值点；

⑵/㈤=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.第”步JI提新_K

【584】.(2022•青海•海东市第一中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=(x+L)lnx-ax,a>0.

⑴若a=2,求函数〃x)的极值；

⑵设g(x)=；(e"-ax2+ax),当x>0时，/(x)4g，(x)(g'(x)是函数g(x)的导数)，求a的取值范围.

[585].(2022•青海•海东市第一中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=(x-3)e*-ar(a€R).

⑴若。=0,讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数/(另有两个极值点，求。的取值范围；【586】.(2022•山东潍坊•模拟预测•★★★★)

已知函数/'(x)=ln(l+x)-^——:——-(aeR).

(1)若a=0,证明：当-l<x<0时，/(x)<0；当x>0时，/(x)>0；

(2)若x=0是/(力的极大值点，求实数a.

[587].(2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=ev(sinx+cosx)-tzsinx.

(1)当。=1时，求函数/(x)在区间[。，2幻上零点的个数；

⑵若函数在(0,2兀)上有唯一的极小值点，求实数。的取值范围

第El步八过模拟4

[588].(2022•福建省福州第一中学三模•★★★★)

已知函数/(x)=e'-asinx-l在区间(0,^■)内有唯一极值点为.

⑴求实数a的取值范围：

(2)证明:/(x)在区间(0,在内有唯一零点入2,且与<2%.

[589].(2022•安徽省舒城中学三模•★★★★)

已知函数/(x)=(x+l)：x+2

⑴求证：函数/(幻在定义域上单调递增；

⑵设区间/=&,%+1](其中证明：存在实数4>1,使得函数尸(x)=x2(/(x)-"(x。))在区间

/上总存在极值点.【590】.(2022•天津•二模•★★★★)

已知函数/(x)=-2a2Inx+yx2+ax(a€R).

(1)当a=l时，求曲线V=/(x)在(1J(D)处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)当a<0时,求函数/(X)在区间[l,e]上的最小值.

【591】.(2022•北京•人大附中模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=e'(x-a)2.

⑴若/(x)在x=-l处的切线与x轴平行，求。的值;

(2)./(x)有两个极值点x„x2，比较/(土产)与/竺/⑷的大小;

⑶若/(x)在上的最大值为4e,求。的值.

考点3.2.4利用导数证明不等式

血电血司感应疑团国援健健雷提留鳏理法

第UJL试真题[592].(2016・浙江・高考真题•★★★★)

设函数/⑸.+!,证明:

(I)/«>l-x+x2;

33

(II)-</«<-.

42

[593].(2020•天津•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=x3+hnx仇eR),/(x)为/⑴的导函数.

(I)当后=6时，

(i)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;

o

(ii)求函数g(x)=/(x)-f'(x)+二的单调区间和极值；

x

(II)当£..-3时，求证：对任意的演，x2e[l,+«>),且X]>%,有

/⑺：/(气)/(止/(%).【594】.(2019•江苏•高考真题•★★★★★)

2X]-x2

为f(x)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若"6,b=c,且/(x)和/'⑶的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/«)的极小值；

4

(3)若“=0,0<儿l,c=l,且/(x)的极大值为〃，求证:牍静.

[595].(2015•福建•高考真题•★★★★)

已知函数/(x)=lnx-攵卢.

(I)求函数/(力的单调递增区间；

(II)证明：当X>1时，/(x)<x-l；

(III)确定实数发的所有可能取值，使得存在,当xe(l,x°)时，恒有

f(x)>^(x-l)第❷步提能力k

【596】.(2022•天津•静海一中模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=x/ng(a>0),

X

(1)若函数g(x)=e'在x=0处的切线也是函数/(x)图像的一条切线，求实数a的值；

⑵若函数/")的图像恒在直线x-y+l=0的下方，求实数a的取值范围：

42

(3)若王/2e(@，W),且x产》2，证明：(xl+x2)>axlx2

[597].(2022•全国•模拟预测•★★★★)

己知函数/(x)=/inY在区间(0,〃)上单调.

2+cosx

(1)求。的最大值;

(2)证明：当x>0时，3/(x)+l<e\[5981.(2022•四川省泸县第二中学模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=e、-喈(e为自然对数的底数)有两个零点.

⑴若。=1,求/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若/(x)的两个零点分别为占应，证明：e-玉々<。.

【599】.(2022•山东师范大学附中模拟预测•★★★★)

已知函数〃(x)=x-Qlnx(〃GR).

⑴若M”有两个零点，。的取值范围；

⑵若方程xe「a(lnx+x)=°有两个实根为、N,且、尸々，证明：

2

e-e)「e

一第❸步;过模拟4

[600].(2022•湖北•华中师大一附中模拟预测•★★★★)

已知函数/(x)=xe*-alnx(a€R)在x=l处的切线方程为y=2(e-l)x+6.

⑴求实数。力的值；

(2)(i)证明：函数y=/(x)有且仅有一个极小值点x=x(),且x()e(；,l)；

3141

(ii)证明:/</■)<].

055

参考数据：In2=0.693,五=1.648，e»1.734,e-^«0.693-

【601】.(2022•浙江•绍兴一中模拟预测•★★★★★)

已知函数/(x)=e"",g(x)=Inx+a(aG7),设S(x)=/(x)+g(x),T(x)=/(x)-g(x).

⑴若a=l,证明：当x>l时，S(x)>2x成立；

⑵若S(x)221nx+a,在[e,+oo)上不恒成立，求°的取值范围；

⑶若|T(x)\=m恰有三个不同的根，证明：a<〃?<2a-2.[602].(2022•浙江•宁波诺丁汉附中模拟预测

a

★★★★)

已知函数/(x)=e*,xeK.

⑴设，”〃，证明：/修上丛一”

I2)in-n

(2)已知/«=g(x)+〃(x),其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数.若y=幽x)+b+二(b,ceR,c*O)有两个不同的

x

零点X1,X?,证明：卜|-x?|<82_8.

[603].(2022•全国•模拟预测•★★★★★)

已知实数x,y满足》2+(e*-M？+e2y=2.

⑴若x=O时，试问上述关于y的方程有几个实根？

⑵证明：使方程一+(炉一J+e2>'=2有解的必要条件为：-24x40.1604】.(2022•江西景德镇•模拟预测

★★★★)

设函数/(幻=上-1-匕11巴_-1的零点为4，g(x)=2xe'-Zr-l的零点为巧，其中不，巧均大于零.

X+12X

(1)若0<工2<1,求实数2的取值范围；

⑵当a=1时，求证：'nX\X2<X2一~

X\

参考数据：In2^0.693,e«2.718

专题3.2导数的应用

考点3.2.1构造函数

@电血①密育蜡回国

第II步八试真题[528].(2015・福建•高考真题•★★★)

若定义在R上的函数/(x)满足/(0)=-1,其导函数/'(X)满足/'(X)>«>1,则下列结论中一定错误的是()

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：令g(x)=/(x)-丘，则g'(x)=/'(x)-A>0,因此

g(士)>g⑼=/(7>〃°)A-i=A'所以选c.

k-\\k-\Jk-\\K-\Jk-\k-\

考点：利用导数研究不等式

【方法点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常

根据导数法则进行:如/"(x)</(x)构造g(x)=华,/'(X)+/(》)<0构造g(x)=e"(x),切'(x)</(x)构

e

造g(x)=-，矿(x)+/(x)<0构造g(x)=xf(x)等

X

【529】.(2015•全国•高考真题•★★★)

设函数/'(X)是奇函数〃x)(xeR)的导函数，〃-1)=0,当x>0时，V(x)-/(x)<0,则使得〃x)>0成

立的x的取值范围是

A.(^»,-l)U(0,l)B.(-1,0)£(1,+¥)

C.(-00,-1)U(-l,0)D.+8)

【答案】A

【解析】

【详解】构造新函数g(x)=/尹,g'(x)=矿巴"x)，当x>0时g'(x)<0.

所以在(0,+s)上名⑴:坐单减，又〃1)=0,即g(l)=0.

所以g(x)=#>0可得0<x<l,此时/(x)>0,

又/(x)为奇函数，所以/(x)>0在(一8,0)。(0,一)上的解集为：(-8,-1)口(0,1).

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如想到构造g(x)=

一般：(1)条件含有〃x)+/'(x),就构造g(x)=e"(x),(2)若/(x)-/'(x),就构造8卜)=乌，(3)

2/(x)+/〈x),就构造g(x)=e2"(x),(4)2〃x)-/(x)就构造g(x)=冬，等便于给出导数时联想构

造函数.

[530].(2011•辽宁•高考真题•★★★)

函数/(x)的定义域为R,/(-1)=2,对任意xeR,/1x)>2,则/(x)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-l,+oo)C.(-oo,-l)D.(f,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=/(x)-2x-4,利用导数判断出函数y=g(x)在R上的单调性，将不等式/(x)>2x+4转化

为g(x)>g(T)，利用函数V=g(x)的单调性即可求解.

【详解】

依题意可设g(X)=/(x)—2x-4,所以/(x)=/(x)-2>。

所以函数y=g(x)在&上单调递增，又因为g(-l)=/(-l)+2-4=0.

所以要使g(x)=/(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-l),只需要X>-1,故选B.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析

问题和解决问题的能力，属于中等题.

【531】.(2022•北京•高考真题•★★★★)已知函数/(x)=e*ln(l+x).

⑴求曲线V=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x)，讨论函数g(x)在。”)上的单调性;

(3)证明:对任意的s,fe(0,+8),</(5+Z)>/(5)+/(/).

【答案】⑴尸x

(2)g(x)在［0,+co)上单调递增.

⑶证明见解析

【解析】

【分析】

(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

(2)在求一次导数无法判断的情况卜，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

(3)令加(x)=/(x+f)-/(x),(x/>0),即证皿x)>〃?(0),由第二问结论可知Mx)在©+8)上单调递增,

即得证.

(1)

解：因为/(x)=e*ln(l+x),所以〃0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又f，(x)=e*(ln(l+x)+J-),

1+X

切线斜率％=/'(0)=1

.••切线方程为：y=x

⑵

解：因为g(x)=r(x)=e，(ln(l+x)+七),

所以g'(x)=e'(ln(l+x)+«-,

21

令Mx)=ln(l+x)+,-E

22x2+l

则〃'(X)=----------------z-H---------r=--------r>0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

.•・"(X)在［0,内)上单调递增,

h(x)>〃(0)=1>0

...g'(x)>0在［0,+8)上恒成立，g(x)在电y)上单调递增.

(3)

解：原不等式等价于/(5+0-解S)>/(f)-/(0),

々/n(x)=/(x+/)-/(x),(x,f>0),

即证〃?(x)>〃?(0)，

Vrn(x)=f(x+t)-f(x)=^+,ln(14-x+/)-evln(l+x；,

x+tx

〃2'(x)=e'+'ln(l+x+f)+--e------eAln(l+x)---e--=g(x+/)-g(x,

1+x+/1+x

III(2)知8(D=/'")=叫皿1+外+」一)在[0,+8)上单调递增，

1+x

/.g(x+f)>g(x),

TO(x)>0

"?(X)在(O,+8)上单调递增，乂因为x,f>0,

/.w(x)>w(0),所以命题得证.

[532].(2021•浙江•高考真题•★★★★★)

设4，6为实数，且">1,函数/(x)=a*-bx+e2(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间;

(2)若对任意b>2e2,函数/(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)当。=e时，证明：对任意6>/,函数/(x)有两个不同的零点王,々，(々>王)，满足整为+，.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】⑴640时;JU)在尺上单调递增；b>0时，函数的单调减区间为log,3],单调增区间为

回—；

(2)(1,«2]：

⑶证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；

⑵将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取

值范围；

⑶方法一：结合⑵的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.

【详解】

⑴f[x}=ax-bx+e2,f(x)=ax\na-b,

①若640,贝lJ/(x)=a'lna-6N0,所以/⑸在及上单调递增；

②若6>0，

当、《-8』。8“占>寸，1(x)<0J(x)单调递减，

当xjlog"卷,+8)时，/(x)>0J(x)单调递增.

综上可得，640时，/(x)在&上单调递增：

6>0时，函数的单调减区间为j-8,log.31，单调增区间为11。&3，+8)-

VInaJIInaJ

(2)/(x)有2个不同零点04、-法+/=0有2个不同解一以+/=。有2个不同的解,

令f=xlna,则-一~^~+/=0=>-^―=e+eJ>0,

InaInat

泞e'+e2.e，+e2)e'(/-l)-e2

lLgQ)=---,g(，)=-----------=---------，

t己力(f)=e'(f_l)_e2,"(f)=e'a_l)+eJl=eJf>0,

又力(2)=0,所以fe(0,2)时，〃Q)<0je(2,+8)时，h(t)>0,

则g⑴在(0,2)单调递减,(2,网单调递增，.•.？L>g(2)=e2,.，a<2，

Inae

b

b>2e^?,:.—>2,:.Ina<2=>1<a<e9.

e

即实数a的取值范围是(Ie?].

⑶[方法一]【最优解】：

a=e,/(x)=e»-bx+e2有2个不同零点，则e、+e2=bx,故函数的零点一定为正数.

由⑵可知有2个不同零点，记较大者为巧，较小者为4，

%1.2X-,.2x2

b=^^=^-^->e4,注意到函数y=员士在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,y)上单调递增，故

X1工2X

e

x,<2<x2,又由,</知।%>5,

b=1<2e22e2

彳=孙(丁,

要证x>"吧》+—,只需£>ln/>+—,

22ebh

Q且关于〃的函数g（6）=lnb+d在b〉/上单调递增,

所以只需证工2>In二一+>5）,

2

x22e

2a"ax

只需证In1-In-----^>0,

2

x22e

2

只需证lnx—M—ln2>0,

2ex

/4x

•・,一<4,只需证力(x)=Inx——一In2在x>5时为正，

2e

由于〃(x)='+4xeT-46-"=-+4e-x(x-l)>0,故函数〃(％)单调递增，

xx

X/j(5)=ln5-^-ln2=ln--^>0,故〃(》)=111万-"-出2在》>5时为正，

e2ee

从而题中的不等式得证.

［方法二］:分析+放缩法

Q=e,/(x)=e'—云+e?有2个不同零点占42，不妨设王<%，由/(x)=e'-b得％<M力<%(其中lnb>4).

X|22

且/(x,)=e-fexj+e=0,/(%2)=€^-Zzr2+e=0.

要证X2>罢占+?,只需证必2-，>空如，即证e%>空如，只需证々>ln(翳姐).

又/(亨)=，泉-/<0‘所以王(?’即答〈1.

所以只需证X2>ln(blnb).而山6>4,所以blnb>b,

又ln(blnb)>lnb,所以只需证f(ln(bInb))<0.

所以/(ln(blnb))=%lnb—Z?ln(blnA)+e2=-Z?lnlnb+e2c-e'lnd+e?<0，原命题得证.

［方法三］:若。=0且6>04,则满足且6>2e。由（II）知/⑴有两个零点玉,％（占vx?）且

0cx<lnb气.

X/(2)=2e2-2Z)<0,故进一步有0<%<2<ln6<%.

由/（演）=/（々）=0可得e*+/=如且6+=/z^-e2,从而

hlnbe2.)hlnb.2

=-xex,+e

x2〉22+~b^^bx?e~>Ybx］<=>e->

因为0<$<2,

所以巴巴<1,

2e2

e2

2

故只需证e*2>b]nbobx2-e>b\nb<^>x2>ln/7+—・

又因为了㈤在区间(lnb,+8)内单调递增，故只需证/(1116+?卜/(%)=0,即6e7-lni<0,注意b>e"

时有「<e<4<ln”故不等式成立•

【整体点评】

本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，

方法一：直接分析零点再〈冬，将要证明的不等式消元，代换为关于b的函数，再利用零点反代法，换为

关于巧的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.

方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！

方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为/[lnb+与。比较大小，

代入函数放缩得到结论.

[5331.(2021•全国•高考真题•★★★★)

设函数/(x)=1n(a-x),已知x=0是函数>y=4'(x)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<l.

xf(x)

【答案】(1)。=1;(2)证明见详解

【解析】【分析】

(1)由题意求出V，由极值点处导数为0即可求解出参数。；

(2)由(1)得g(x)e，x<1且xW0,分类讨论xe(0,1)和x«-8,0),可等价转化为要证g(x)<1,

xIn(1-xI

即证》+山(1-工)>日11(1-》)在X€(0,1)和工€(-00,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解

【详解】

(1)由/(工)=111(〃7)=/''卜)=一1-,y=V(x)ny，=ln(a-x)+——

又x=0是函数》=^(x)的极值点，所以歹(O)=lna=O,解得a=l；

(2)［方法一］:转化为有分母的函数

,、，，、x+ln(l-x)11

由(IT)知‘g⑶其定义域为(y,o)U(o,i).

要证g(x)＜i'即证而%+：＜1'即证而匕

Ix-1XT

⑴当D时,E＜°'丁＜。，即证/＞工.令小)=磔一)因为

—I—IX

F'(x)=；——--K=；--r>0,所以尸(X)在区