《光学信息处理》二维傅立叶变换

1.2二维傅立叶变换二维傅立叶变换特殊函数的傅立叶变换

傅立叶变换的性质11、二维傅立叶变换傅立叶级数傅立叶积分与变换二维傅立叶变换意义2（1）傅立叶级数一个随时间变化的量可以分解成它的简谐分量某点随声波的通过而变化着的压强因光波、无线电波通过而变化的电场强度电压、电流等任何周期信号都可以变化成傅立叶级数的形式31.傅立叶级数（2）4周期函数函数f(t)，周期、基频=2/，频率v=1/f(t)满足狄利克雷条件，即在一个周期内存在有限个极值点或第一类间断点。（2）傅立叶积分对于非周期函数5什么是傅立叶变换？正变换逆变换（3）二维傅立叶变换对于一个二维物函数g(x,y)，其傅立叶变换也为二维，记为G(u,v)：傅立叶正变换傅立叶逆变换

g(x,y)原函数G(u,v)傅立叶变换函数6空间频率变换存在的客观条件数学表述(绝对可积和狄里赫利条件)g(x,y)在全平面绝对可积在全平面只有有限个间断点，在有限区域有有限个极值没有无穷大间断点实际上，“物理的真实”是变换存在的充分条件直角坐标系下（特例）光学傅立叶变换对

Spatialdomainfrequencydomain

空域频域

spatialvariablespatialfrequencyvariable

空间变量空间频率变量

8（4）意义9几何投影区：光场分布与孔径形状相同菲涅耳衍射区衍射图中心产生明暗变化夫琅禾费衍射区相对强度不变、尺寸与距离成正比，幅度降低二维傅立叶变换光学模拟光学模拟f1＝f2，4F系统，输出面上得到等大实像10f1f1f2f2yx1uv傅立叶处理器1傅立叶处理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P32、特殊函数傅立叶变换函数符号函数阶跃函数梳状函数其它特殊函数的傅立叶变换11（1）函数12物理意义：表示点源函数具有权重为1的最丰富的频谱特性。

在光学中，常用点光源检测系统的响应特性。13常数的傅立叶变换14（2）符号函数证明：当a=0时，g(x)sgn(x)15１－１１－１16（3）阶跃函数17方法：先将阶跃函数变换为已知傅立叶变换信号的组合，然后求其傅立叶变换（4）梳状函数方法：先将梳状函数展开为傅立叶级数形式，然后求其傅立叶变换傅立叶级数形式18傅立叶变换19梳状函数comb(x)的傅立叶变换仍为梳状函数comb(u)20梳状函数的应用之一

：复现复现函数x0x00*21梳状函数的应用之二

：抽样x抽样函数0x0x0正实数常数•22抽样函数的抽样函数抽样间隙抽样点抽样值的抽样函数即是以抽样值为权重的函数序列（5）其它特殊函数233、傅立叶变换的性质1.线性性2.缩放性3.位移性4.共轭性5.卷积定理6.函数导数的傅立叶变换7.相关定理8.Parseval定理9.函数的矩Moment2425（1）.

线性性

Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)

提示：光学模拟－图像相减将两个图像透明片置于相干光学处理器中，并在空间频率

平面放一正弦光栅T(p)=(1+sinap)/2输出平面的光轴衍射出相减了的图像[f1(α,β)-f2(α,β)]26举例－图像相减27（2）.缩放性

g(ax,by)28g(-x,-y)称为

Inversionproperty:反演性意义：空域展宽、频域收缩；空域收缩、频域展宽提示：特例：当a=b=-1时（3）.位移性空域中的位移频域中的位移29(A).空域中的位移

30提示：说明：当物体在空域中有位移时，频谱的空间位置不变，只存在位相的变化，称为“相移”(2).频域中的位移频域中的位移由空域中的相移引起的例如：实现空域相移最简单的方法是改变入射角的方向，单狭缝在倾斜光照射下的频率改变入射光的角度，可实现衍射图像的横向位移31

（4）.共轭性3233

（5）.卷积定理定义定理

函数的卷积34（6）.

函数导数的傅立叶变换

证：表明函数微分的傅立叶变换可以转化为乘积运算（7）相关定理（维纳－辛钦定理）定义定理35自相关定理的意义表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅立叶变换对表示功率谱是空间自相关函数的傅里叶变换．空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两点之间场的相似性或关联性．它是场的空间相干性的度量．场的相干性较高时，功率谱的弥散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(这样的光波可称为准单色光)；当场的相干性较差时，功率谱s的弥散就较大，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段．3637Proof：（8）.

Parseval定理物理意义：在物理学上表述了物空间和象空间的能量守恒原理，也称瑞利定理表现了能量守恒定律在空域和频域中表达式的一致性若g(x,y)表光场的复振幅分布，则|g(x,y)|2代表光强的分布，

该积分式代表该光场在空间的总光能；|G(u,v)|2表示单位频率间隔的光能量，称功率谱