2023北京海淀高考二模数学理(含解析)

1/1海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔理科〕2023．5一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合，，那么〔〕．A．B．C．D．2．数列是公比为的等比数列，且，，那么的值为〔〕．A．B．C．或D．或3．如图，在边长为的正方形内有不规那么图形．向正方形内随机撒豆子，假设撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，那么图形面积的估计值为〔〕．A．B．C．D．4．某空间几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的外表积为〔〕．A．B．C．D．5．在四边形中，“，使得〞是“四边形为平行四边形〞的〔〕．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，那么这样的五位数个数为〔〕．A．B．C．D．7．双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，假设是以为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为〔〕．A．B．C．D．8．假设数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，那么称数列为周期数列，周期为．数列满足，那么以下结论中错误的选项是〔〕．A．假设，那么可以取个不同的值B．假设，那么数列是周期为的数列C．且，存在，是周期为的数列D．且，数列是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．在极坐标系中，极点到直线的距离为_______．10．，那么按照从大到小排列为______．11．直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，那么直线与直线的交点坐标为________．12．在中，，那么_____；_____．13．正方体的棱长为，假设动点在线段上运动，那么的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线．〔I〕给出以下三个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是_____；〔Ⅱ〕曲线上的点到原点距离的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．〔本小题总分值13分〕函数．〔Ⅰ〕求函数的定义域；〔Ⅱ〕求函数的单调递增区间．

16．〔本小题总分值13分〕福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：〔1〕该福利彩票中奖率为；〔2〕每张中奖彩票的中奖奖金有元，元和元三种；〔3〕顾客购置一张彩票获得元奖金的概率为，获得元奖金的概率为．〔Ⅰ〕假设某顾客一次性花元购置两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；〔Ⅱ〕为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围．

17．〔本小题总分值14分〕如图1，在直角梯形中，，，，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接，点分别为线段的中点．〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕在棱上是否存在一点，使得到点四点的距离相等？请说明理由．

18．〔本小题总分值13分〕函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和轴交于点，，记的面积为．〔Ⅰ〕当时，求函数的单调区间；〔Ⅱ〕当时，假设，使得，求实数的取值范围．

19．〔本小题总分值14分〕椭圆的四个顶点恰好是一边长为，一内角为的菱形的四个顶点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求〔为原点〕面积的最大值．

20．〔本小题总分值13分〕设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行〔或某一列〕各数之和为负数，那么改变该行〔或该列〕中所有数的符号，称为一次“操作〞．〔Ⅰ〕数表如表1所示，假设经过两次“操作〞，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作〞后所得的数表〔写出一种方法即可〕；〔Ⅱ〕数表如表2所示，假设必须经过两次“操作〞，才可使表1得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；〔Ⅲ〕对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作〞以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

海淀区高三年级第二学期期末练习数学〔理〕参考答案及评分标准2023．5一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕题号12345678答案BDCBCABD二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕9．10．11．12．；13．14．②③；三、解答题〔本大题共6小题，共80分〕15．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为，所以，……2分所以函数的定义域为．…4分〔Ⅱ〕解：因为……6分，……8分又的单调递增区间为，令，解得，……11分又注意到，所以的单调递增区间为，．…………13分16．〔Ⅰ〕解：设至少一张中奖为事件那么，…4分〔Ⅱ〕解：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为，那么可以取，…6分的分布列为…8分所以的期望为，…11分所以当时，即，…12分所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．…………13分17．〔Ⅰ〕证明：因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，所以平面，所以，…1分因为在直角梯形中，，，，，所以，，所以是等边三角形，所以是中点，…2分所以，…3分同理可证，又，所以平面．…5分〔Ⅱ〕解：在平面内过作的垂线，如图建立空间直角坐标系，那么，，，………6分因为，，设平面的法向量为，因为，，所以有，即，令那么所以，…8分，…10分所以直线与平面所成角的正弦值为．…11分〔Ⅲ〕证明：存在，事实上记点为即可，…12分因为在直角三角形中，，…13分在直角三角形中，点，所以点到四个点的距离相等．…14分18．〔Ⅰ〕解：因为，其中，…2分当，，其中，当时，，，所以，所以在上递增，…4分当时，，，令，解得，所以在上递增，令，解得，所以在上递减，…………7分综上，的单调递增区间为，，的单调递增区间为．〔Ⅱ〕因为，其中，当，时，，因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于，，令，得，…8分当时，即时，对成立，单调递增，所以当时，取得最大值，令，解得，所以，…10分当时，即时，对成立，单调递增，对成立，单调递减，所以当时，取得最大值，令，解得，所以．…12分综上所述，．…13分19．〔Ⅰ〕解：因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点，所以，椭圆的方程为…4分〔Ⅱ〕解：设，因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，当直线的斜率为时，那么的垂直平分线为轴，那么，所以，因为，所以，当且仅当时，取得最大值为．………6分当直线的斜率不为时，那么设的方程为，所以，代入得到，当，即，①方程有两个不同的解又，，…9分所以，又，化简得到，②代入①，得到，…10分又原点到直线的距离为，，所以，化简得到，…12分因为，所以当时，即时，取得最大值．综上，面积的最大值为．…14分20．〔Ⅰ〕解：法一：法二：法三：…3分〔Ⅱ〕解：每一列所有数之和分别为，每一行所有数之和分别为，；①如果首先操作第三列，那么那么第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或，当时，那么接下来只能操作第一行，此时每列之和分别为，必有，解得，当时，那么接下来操作第二行，此时第列和为负，不符合题意．…6分②如果首先操作第一行那么每一列之和分别为，，，，当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉，当时，，至少有一个为负数，所以此时必须有，即，所以或，经检验，或符合要求．综上：．…9分〔Ⅲ〕证明：能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．证明如下：记数表中第行第列的实数为〔〕，各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，那么．记．按要求操作一次时，使该行的行和〔或该列的列和〕由负变正，都会引起〔和〕增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行〔或某列〕各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止．终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否那么，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立．……13分

北京市海淀区高三统一测试数学〔理科〕选填解析选择题【答案】B【解析】解：因为，所以．应选B．【答案】D【解析】解：由题意得或．应选D．【答案】C【解析】解：由几何概型的知识可知，所以．应选C．【答案】B【解析】解：画出直观图可知该立体图形为正方体与正四棱锥组成，所以．应选B．【答案】C【解析】解：当时，可知，故四边形为平行四边形；四边形为平行四边形，那么，此时，故，使得．应选C．【答案】A【解析】解：由题可知都不排在个位和万位共有种，其中排在百位的有种，所以满足条件的共有．应选A．【答案】B【解析】解：由题可知作图，过点做抛物线准线的垂线，交于点，由抛物线的定义可知，因为抛物线方程为，所以；综上可知四边形为正方形，所以，由双曲线的定义可知，即，，所以．应选B．【答案】D【解析】解：A．可以经过两次减得到，也可以经过先减，再取倒数得到，还可以是先取倒数，然后减得到，但是不可能经过两次取倒数得到．因此可以取个不同的值：，，．B．，，，……，周期为．C．设满足，即．此时一个周期之内的所有项为：．可以取为其中除了以外的任意一个值．D．假设数列是周期数列，那么必有小于的项．而且，不可能是正整数，故不能写成的形式，，故数列不是周期数列．〔假设为正整数，那么是有理数，于是也是有理数．其中，假设是有理数，那么，由于是正整数，故可设，于是，无解．故不是有理数〕注：=1\*GB3①对于正实数轴上的点，设数轴上的点所表示的实数为，点所表示的实数是点的倒数．考虑一个点从实数轴上的出发，由于在的左边，因此点随后跳到右边的处．在此之后，只要该点在的右边，就往左移动个单位；只要该点在的左边，就移动到其倒数所表示的点的位置．因为是整数，因此此时的是周期数列，且周期为．现将点向点移动，与此同时，点会相应地向右移动〔保持乘积为〕，于是两点之间的距离逐渐增大．，，在此过程中必定存在有某个时刻，两点之间的距离恰为，此时是周期数