“平行与垂直”教学研究报告

教学沙龙主持人徐旺Err>ail:zvt)05220126.com“平行与垂直”教学研究报告株洲市天元区栗雨小学数学组潇湘数学教育工作室一、问题“平行与垂直”是“空间与图形,'领域的一节“形概念”课°学生是在认识了直线与角的基础学习本内容的。这个内容是认识平行四边形和梯形以及深人学习几何的基础，也是培养学生空间观念的载体“之前学习的“形概念”.大都是对一个几何图形的认识，而本内容涉及同一平面内两条直线的位置关系,这对学生的空间观念要求更高。好在平行和垂直的生活原型还是很常见，唤醒学生的生活经验比较容易「但又正是因为生活经验的影响.学生对平行和垂直的认识往往局限在表面。比如，生活中的“线”往往是有长度的,这就给学生认识永不相交带来了负迁移。人教版数学教材把本内容安排在四年级上册，编排的顺序是先认识平行,从相交中分离认识垂直(教材中未出现相交概念);接着学习垂线、平行线的画法;最后认识梯形和平行四边形。在平行与垂直这部分,教材的主要目标是:初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系.认识垂线和平行线的概念。因为这节课在整个几何学习中处于初级阶段，因此，对“同一平面”这一前提条件，教材似有刻意回避之意，而在教学中，很多教师却恰恰相反，特别将之提出且重点强调。对这个问题的不同处理反映了教师处理本教学内容时的左右为难。那么，教师该如何跳出这种在文字上纠缠不休的藩篱，真正去思考本教学内容中应该关注的问题呢？我们数学组对此提出了一些思考,供大家参考、讨论。.教学实践中的问题问题一:如何跳出静态教材，引导学生通过动态修正和完善实现概念的梳理建构？问题二:如何突破思维定式,引导学生从关注表象到关注概念本质？问题三：如何以概念教学为载体进行数学思想与方法的渗透与指导？效之困(1)为了创造开放的问题情境,教师有的让学生用扔掷两根小棒的方式呈现两直线位置的基础性资源;有的则让学生在纸上任意画出两条直线，目的也是希望呈现两直线的多种位置关系的资源。但实际课堂中,由于学生认识上的局限性，我们看到的资源往往不是足够丰富。于是，很多教师选取的策略是，事先准备好两条直线各种可能的位置关系，当学生呈现r一些以后，又以“巧妙”的方式补充一些变式资源这种方式虽然能使教学流程顺利流畅.且不会影响后续教学环节,但学生对于为什么要补充这些资源完全处于被动状态。事实上,平行和垂直是两种特殊的位置关系。如何在学生对直线位置关系形成整体认识的基础上引导他们对这两种特殊位置关系进行研究，从而轻而易举地理解两个概念，是本课教学的困惑之一。(2)呈现了丰富的基础性资源后，通常教师会要求学生按照一定的标准对各种情况进行分类。在分类的过程中，多数学生习惯采用二分法,把呈现分离状态的分成一类(延长后相交的自然也被归于这一类).把其他相交的情况分为另一类。教师对此类问题常采用的方法是，从中把延长后会相交的“拎”出来，让学生“试着把两条直线再画长一些,看看会怎样:学生容易发现，这种情况是相交的。而对于真正的平行线,在没有学习垂直和距离的概念时，怎么验证它们是永不相交的？事实上，判断两条直线是否平行,最直接的方法是通过测量两条直线间的距离是否相等，这一方法非常直观,易于理解。但是，如果这样做,是不是应该先研究垂直,再研究平行？平行和垂直，到底是先有“鸡”还是先有“蛋”？即使学生通过想象理解了永不相交，但又怎样把“在同一个平面内”这一前提条件自然地加上去？要不要强调在同一个平面内？(3)很多教师备课时对本内容教学目标的定位感到茫然。有教师认为，平行线、垂线内容应以属于

u自律日R线与角这一单元才算名正言顺;也有教师认为，把平行与垂在放到平行四边形和梯形这一单.元教学更为合适，因为平行是这两个图形概念的逻辑起点。尽管两种归屈对学生学习概念的影响不明显，但肯接影响了概念生成建构的层次前者更注意从图形的角度理解平行线与垂线，这常常出致教师纠缠于文字的阐释而忽视概念的本质；后者乂往往重视平彳ju自律日R(4)在概念教学中很多教师注重教技法。比如，平彳j线的面法、垂线的画法(一般放在本单元第二课时)，同时,在概念教学中教判断也已成为多数教师潜意以的行为。比如，学生常常被要求在一些位置关系中判断哪组线互相平行那么，概念教学中要不要教推理，如果要教，教到什么程度？很多教师对此处于进退两难的状态学之难(I)思维定式使探究活动成为走过场，空间想象力的局限使学生思维缺乏开放性，比如，当教师提出“在纸上任意画两条直线.会有哪几种情况”的问题时，学生呈现状况的总和“［能力,很多，但很少有学生能独立画出丰富的位置状态、先入为主的认识定式使得学生对概念缺乏本质认识。比如，很多学生能认识水平状态下的平行与垂出，但对其他变式缺乏敏感性。究其原因,学生时永不相交或相交成直角这些概念的内涵不甚明晰，而静态思维导致的认知局限也使很多学生仅把诸如“〃的位置关系看成一个类似角的组合图形.对平行与垂直的概念认识仅停留在静态的表面认识卜.，不能从位置关系匕深入理解这两个概念。(2)对于两直线的位置关系缺乏整体的、结构化的认识。在教学中我们不难发现，在分类中,学生普遍把“分离的相交“(即延长后会相交的情况)看作是“分开的”。在分类标准没有确定时,学生分类的方法也是五花八门，有的按线的方向来分,有的按线的长短来分……要把学生引导到按“是否相交”来分，很是费时、费力。(3)无法从整体上认识两直线的位置关系教材对两直线的位置关系只命了两个名 平行和垂直，甚至课题也就是“平行与垂直”,导致学生误以为两直线的位置关系不是平行就是垂直。由于知识的局限,教材还回避r异面直线的概念,用“在纸上画”的提示，把学生的思维固定在同一个平面的范昭，导致学生误以为两直线只要永不相交就是平行的。(4)几何图形分为单个要素和要素之间的关系两个方面。研究表明，小学生容易观察图形中的单个要素(比如直线、射线、线段等的特点)，但是对于要素之间的关系往往不容易理解。比如,平•行是反映平面内两条直线既不重合又不相交的一种位置关系，学生对此常常无法准确理解,相当一部分学生对垂直的认识仍然限于直角。.对问题的分析(1)平行概念的描述方式比较抽象，学生难于理解C“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线二这里的平面是无限大的，这里的直线也是可以无限延长的c可现实生活中的“面”是有限大的，现实生活中的“直线”也是有限长的。如何在有限大的面中判断两条视觉范围内有限长的直线是否相交？概念中的“无限”和现实中的“有限”的矛盾.使得学生一旦遇到那种看似没相交而实际上会相交的情况时就会出现借没的判断C(2)从“形概念”的结构体系来看,平行与垂直是联结各个概念不可或缺的纽带。比如,由平彳泗边形到梯形的认识，就是由“两组对边互相平行”到“只有一组对边平行“。另夕卜•从“形概念”的学习来说，除r认识概念本身的特征，还涉及图形之间关系的梳理.比起单个要素的概念更为重要。比如垂直，在平行四边形与长方形、正方形之间的关系上,它构成了平行四边形的种差。而在实际的教学中，平行卜j垂直没有被教师们所重视很多教师认为学生只要能感知生活中的平行与垂直现象就足够了.并没有让学生很好地去体验、去感悟概念的形成过程，里没有把它放到为后续概念的学习作基础的高度去认识，教学中往往采用“头痛医头，脚痛医脚”的处理方式，陷入围绕“在同一平面内”“无限延长”等字眼上打转转的怪圈。（3）教师在概念教学中存在结构化教学意识不强的缺陷。教师对某一个关系概念在概念分支体系中所处的地位和作用缺乏整体认识,对其教学不够重视。学习平行与垂直的概念是为了什么？我们能不能把它们放到一个更高的高度来学习？教师由于不会引导学生进行梳理，导致学生对点状知识的认识或记忆出现了负担I在分类后，教师应该通过对一系列图形的辨析、动态的关系演示等突破两直线位置关系的本质——是否相交，相交成什么角度。只有这样,学生才能更清晰、准确地把握这两种直线的特殊位置关系。二、实践1.画图+想象，两次分类梳理关系，在整体框架中把握概念内涵。活动目标:在想象的基础上研究两直线的位置关系。活动设计：（1）看一看：（课件动态呈现一根直线不断向两端延伸）直线有什么特点？在纸上任意画一条直线。（2）想一想：如果继续画第二条直线，这时这两条直线的位置可能会出现哪些情况？（3）画一画:在自己的本子上把所想的情况画下来。片段呈现：师：同学们画的两条直线形成了怎样的位置关系呢？出现了哪几种不同的情况？和小组内的同学交流交流C生:我们发现了这样一些位置关系°-—乂」二小（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）师：同学们画了这么多种位置关系，其中有没有相同的？（待学生思考片刻后，追问）我们要画的是两直线的位置关系，你们画的线还可以延长吗？想象一下，把每组的两条直线延长,会是什么样子？生.有些图形延长后变了。比如,（2）、（4）、（6）中的直线延长后都交叉在一起了。二一二 一 4 ,1（4） （6）师：如果让你们把这些位置关系进行分类，你们会怎么分？生2：。）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）分成一类，因为它们交叉了；（7）和（8）分成一类，因为它们延长后都没有交叉。师：数学上，我们把第一类直线的位置关系叫做相交。把同一个平面内延长后也不相交的两条直线的位置关系叫做平 相交行。（板书，如右所同一平面内两直线的位置关系,示）在这6种相交的 〔平行情况中，如果让你再次分类，你会怎么分？生3：（3）、（4）、（5）、（6）中的两条直线组成了4个直角，分为一类，其他的分为另一类。师：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其余的情况就说这两条直线是斜交的。请大家在板书图合适的地方补上垂直与斜交这两种位置关系。 「垂直「相交，生补充完善 [I斜交/-*一 同一平面内两直线的位置关系「北板书，如右所不。 L平行师：如果用图表示平行、相交、垂直三者之间的关系，下面哪个是对的，为什么？（注：不包含两条直线重合的情况）设计意图：让学生先想象直线延长后的样子再分类，能够让学生时刻记得直线是无限长的。不让学生直接画，而只采用想象，目的是培养学生的空间想象力。二次分类后，让学生完成概念结构图并判断集合图的正确性，是为了让学生对两直线的位置关系形成结构化的认识。.想象+演示,让直线“动”起来，从“位置关系”的视角学习概念。活动目标：感受平行与垂直是两条直线的两种特殊的位置关系。活动设计:课件动态演示两条直线的位置关系变化过程。片段呈现：课件先出示一条红色直线，再出示一条蓝色直线与之重合。师：红、蓝两条直线的位置有什么关系？生4：叠在一起O师：在数学里，我们说它们重合。请你想象一下，红色直线不动，蓝色直线怎样移动可以使它们的位置变成平行呢？生5：把蓝色直线往上移。生6：也可以往下移。师：无论往上还是往下，移动时都要怎么样？生7：平平地移。师：也就是平移，对吗？（课件演示平移过程）如果把这条蓝色直线沿着线上一个点旋转一点点，那两条直线的位置会怎样呢？生8：相交。（课件演示）师：请你闭上眼睛想象一下，再移动一点点，两条直线的位置会是什么情况？再移动一点点呢？会不会出现比较特殊的关系？什么时候出现？生回答，师用课件演示Q师：现在两条直线互相垂直，如果这条蓝色直线又动了一点点呢？再动呢？是不是一直相交呢？生想象后回答，师用课件演示。师小结：通过刚才的演示，我们进一步了解到平行和垂直就是两条直线在同一平面内的两种特殊的位置关系。设计意图:学生在理解“平行与垂直是同一平面内两条直线间的特殊位置关系”这一点上总是存在困难。针对这一困难设计这样一个想象+动态演示的活动，是为r让学生进一步体会这两种位置关系的特殊性，培养空间观念，并沟通平行与垂直两个概念之间的内在关系。.动手+推理，跳出概念悟性质,沟通概念间的联系。活动目标:初步感悟平行线的性质。活动设计:出示问题,想象会有什么情况。（I）把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，你有什么发现？（2）把两根小棒都撰成和第•:根小棒垂直，你有什么发现？片段呈现：师：请大家闭上眼睛，根据老师的描述来想象师描述具体操作：先摆一根红色小棒，再摆一根蓝色小棒与它平行，又摆一根蓝色小棒与它平行，后面摆的两根蓝色小棒的位置是什么关系？生先想象，再摆小棒验证自己的想象结果C师：能把你们的发现和大家说说吗？生9：我发现后摆的两根蓝色小棒互相平行。师：很好，那请大家再闭上眼睛，根据老师的描述来想象.师描述具体操作:先摆一根红色小棒，再摆一根蓝色小棒与它垂直,又摆一根蓝色小棒与它垂直，后面摆的两根蓝色小棒的位置是什么关系？生先想象，再摆小棒验证自己的想象结果师：现在你们又有什么发现？生小我发现后摆的两根蓝色小棒也是互相平行的。设计意图：两直线同时和第三条直线互相平行（垂直），这两条直线也互相平行，这是中学进一步学习平行公理和平行线的性质时要接触到的在小学阶段设计此活动,主要目的是增强学生的空间观念。由此可见，教学时想象、操作的过程必不可少。三、讨论.如何准确地把握教学起点？学生对平行和垂直的生活现象并不陌生，但对直线可以无限延长这些常识却因被表象掩盖而忽视。这节课需要做的是让学生在原有的认知基础I：体验在同一平面内.不相交的两条直线叫做平行线,相交里有一种特殊的叫做互相垂直.从而使学生的认识上升到思维的层面。在实际教学中，大部分学生将这么多的直线分为两类:看上去交叉的一类，看上去不交叉的一类。这样的情况在教师的预设之内,所以我们设计从无限延长的