《直线与平面的位置关系(3)》示范课教案【高中数学】

直线与平面的位置关系(3)教学目标教学目标1.借助长方体，通过直观感知，得出斜线在平面内的射影及直线与平面所成的角的概念；2.会求简单的直线与平面所成的角；3.理解并掌握三垂线定理及其逆定理．教学重难点教学重难点教学重点：直线与平面所成的角的概念，三垂线定理及其逆定理．教学难点：会找出直线与平面所成的角，能运用三垂线定理及其逆定理进行相关的证明．教学过程教学过程一、新课导入回顾：直线与平面有几种位置关系？线面垂直属于哪一类？事实上，直线与平面垂直是直线与平面相交的特例．那么，直线与平面相交又该如何从数学的角度进行刻画呢？设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，为后面的学习作铺垫．二、新知探究问题1：如果一条直线与一个平面垂直，这条直线就叫做这个平面的垂线，如果一条直线与一个平面相交，但不垂直，这样的直线该如何命名？观察：如图所示的长方体ABCD−A1B1C1D1，A答案：A1B，A1C，A1一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．上图中，∠PQP1就是直线PQ与平面如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角．如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角.追问：直线与平面所成的角的取值范围是多少？答案：0°，问题2：如图，直线PQ与平面α所成的角为∠PQP1，l是平面α内经过点Q的任意一条直线，则∠PQP1答案：∠PQP1小于直线PQ作P1H⊥l于点H，连接∵PP1是平面α的垂线，∴又P1H∩PP1=P1，∴于是，sin∠PQP显然，PH>PP1，所以而∠PQH，∠PQ总结：直线与平面相交时(不包含垂直)，直线与平面所成的角，是直线与平面内经过斜足的直线所成角中最小的角．思考：到目前为止，我们学了哪些证明线面垂直的方法呢？答案：（1）定义法：一条直线与一个平面内的任意一条直线垂直，则这条直线与该平面垂直．（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．（3）推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．三、应用举例例1如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a⊂α，a⊥BC．求证：分析：因为AB⊂平面ABC，所以只要证明a⊥平面ABC证明：∵AC⊥α，a⊂α，∴又a⊥BC，AC∩BC=C∵AB⊂平面ABC，∴a结论：如果平面内的一条直线与该平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线垂直于该斜线．（三垂线定理）例2如图，已知∠BAC在平面α内，P∉求证：点P在平面α内的射影在∠BAC证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA．在Rt△PAE和Rt△PAF∠PAB=∠PAC，∴Rt△PAE≌Rt△PAF．∴∵PO⊥α，AB⊂又AB⊥PE，PO∩PE=P而OE⊂平面PEO，∴AB⊥OE．同理，在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA，∴Rt△从而∠EAO=故点P在平面α内的射影在∠BAC思考：在上述证明过程中，由AB⊥PE，推导得出AB⊥OE的过程答案：如果平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么这条直线与该斜线在该平面内的射影垂直．（三垂线定理的逆定理）思考：你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗？答案：如下图，四面体A1−设计意图：通过例题，掌握线面垂直的判定和性质在解题中的应用，并得出三垂线定理及三垂线定理的逆定理．四、课堂练习1.若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内（）A.不存在与l垂直的直线B.只存在一条与l垂直的直线C.存在无数条直线与l垂直D.以上都不对2.如图，在正方体ABCD−A（1）求直线AA1与平面ABCD（2）求直线AA1与平面BC（3）直线A1B在平面（4）直线A1C在平面3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，参考答案：1.∵直线l不垂直于平面α，∴l在α内或l∥α或l与α①当l在α内或l∥α时，显然在α内存在无数条直线与②当l与α斜交时，α内也存在无数条直线与l垂直，如图，长方体中，A'B与底面ABCD斜交，底面ABCD中有无数条直线与A故选C．2.（1）因为直线AA1⊥平面ABCD，所以直线AA1与平面ABCD（2）因为直线AA1//平面BCC1B1，所以直线（3）直线A1B在平面ABCD内的射影是直线（4）直线A1C在平面ADD3.∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1AD是D∵侧面ADD1A1即D1A与底面ABCD所成的角为五、课堂小结1、直线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．2、三垂线定理及其逆定理：三垂线定理：如果平面内的一条直