《平面与平面的位置关系(2)》示范课教案【高中数学】

《平面与平面的位置关系(2)》教学设计教学目标教学目标1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理；3.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题；4.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．教学重难点教学重难点教学重点：平面与平面垂直的判定定理与性质定理．教学难点：平面与平面垂直的判定定理与性质定理的推导及应用．教学过程教学过程一、新课导入情境：观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？答案：平面与平面相交．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为此，我们需要研究两个平面所成的角．设计意图：通过生活中面面相交的实例，给学生以面面相交的直观印象，为后面的学习作铺垫．二、新知探究问题1：如何刻画两个平面所形成的角呢？答案：引入平面与平面的夹角——二面角．一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．如图，以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α−AB−β或M−AB−N．问题2：笔记本电脑打开时，我们感到两个面板构成的二面角在逐渐变大，如何来刻画这个二面角的大小呢？答案：我们看到，随着张口的增大，∠MAN在逐渐增大．当二面角α−AB−β确定时，∠MAN也随之确定，故可用∠MAN一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．如图，OA⊥l，OB⊥l，故∠AOB就是二面角α−l−β的平面角．思考1：二面角的平面角的大小，与棱上点的选择是否有关？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，在l上任取一异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直．∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关．思考2：二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，∴AO⊥l，BO⊥l，又AO∩BO=O，AO⊂α，BO⊂β，∴l⊥平面ABO．思考3：二面角的平面角的取值范围是多少？答案：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成一整个平面．平面角是直角的二面角叫作直二面角．两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．【概念巩固】如图，在正方体ABCD−A（1）求二面角D'−AB−D的大小；（2）求二面角解：（1）在正方体ABCD−A'B'C'D'中，因此，∠D'AD为在Rt△D'AD中，∠D'AD=45°，（2）同理，∠A'AD因为∠A'AD=90°，所以二面角A问题3：除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？探究：为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？通过观察我们发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直．猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．下面证明猜想的正确性：已知：如图，AB⊂α求证：α⊥β．证明：假设α∩β=a，∵a⊂β，AB⊥β，在平面β内过点B作直线BC⊥a，则∠ABC是二面角α−a−β的平面角．而AB⊥BC，故α−a−β是直二面角，∴α⊥β．由此，我们就得到了：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：若l⊥α，l⊂β追问：你能举出生活中应用面面垂直的判定定理的例子吗？答案：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直．就是依据面面垂直的判定定理．问题4：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？答案：不一定，如下图：追问：如果两个平面垂直，满足什么条件时，一个平面内的直线垂直于另一个平面？猜想：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．已知：α⊥β，α∩β=l，AB⊂α，AB求证：AB⊥分析：因为AB⊥l，所以要证AB⊥β，只需在β内找一条与l证明：在平面β内作BC⊥l，则∠ABC是二面角α−l−β由α⊥β，又因为AB⊥l，且l∩BC=B，所以AB由此，我们就得到了：平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．符号语言：α⊥β，α∩β=l，AB⊂α，AB⊥l，注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，α⊥β；②“线在面内”，AB⊂α；③“线线垂直”，作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“线线垂直”．总结：在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：三、应用举例例1如图，在正方体ABCD−A'B'C'分析：要证明“面面垂直”，只要证明“线面垂直”，即将平面与平面垂直的问题转化为直线与平面垂直的问题．证明：在长方体ABCD−A'B'C∵BD⊂平面ABCD，∴AA'又∵AC⊥BD，AA'∩AC=A，∴∵BD⊂平面B'D'DB，∴平面总结：证明平面与平面垂直的两种常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：①定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线；②证线面：选择恰当的方法证明线面垂直；③证面面：根据面面垂直的判定定理证明．例2证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，求证：a⊂α．证明：设α∩β=c．过点P在平面α根据平面与平面垂直的性质定理，有b⊥因为经过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，即a⊂α．追问：能否用“反证法”证明？证明：过点P在平面α内作直线b⊥根据平面与平面垂直的性质定理，有b⊥假设直线b与直线a不重合，则a与b确定一个平面γ．设γ∩β=l，则有a⊥l，b⊥l．于是在平面γ内，过点P有两条直线a，b垂直于直线l，矛盾．因此，直线应用面面垂直的性质定理应注意的问题：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．设计意图：通过例题，掌握平面与平面垂直的判定和性质在解题中的应用，巩固所学知识，加深理解．四、课堂练习1.已知α，β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若m⊥β，l∥③若α∥β，m⊥α，l⊂β，则l⊥m；④若α∩β=m，l∥α，则l∥m.其中所有真命题的序号有．2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD．3.如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=4，AA′=32，M、N分别是A′C′、AC的中点，E在侧棱AA′上，且A′E=2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN参考答案：1.答案②③．①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，②∵m⊥β，l∥m，∴l⊥β，又l⊂α，∴α⊥β③∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又l⊂β，∴l⊥m，③正确；④若α∩β=m，l∥α，则l∥m或l、m异面，④错误．故真命题有②③．2.（1）连接AC、OE．∵底面ABCD是正方形，∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点．又点E是PC的中点，∴OE∥AP．又OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥