逻辑代数和逻辑函数化简

逻辑代数和逻辑函数化简第1页，共68页，2023年，2月20日，星期四

与逻辑4.1基本逻辑运算和复合逻辑运算或逻辑非逻辑数码0,1相反的逻辑状态第2页，共68页，2023年，2月20日，星期四1.与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。功能表4.1.1基本逻辑运算灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY第3页，共68页，2023年，2月20日，星期四真值表与逻辑的表示方法：000100011011功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY开关断用0表示,开关闭合用1表示灯亮用1表示,灭用0表示第4页，共68页，2023年，2月20日，星期四真值表逻辑函数式逻辑符号ABY&000100011011ABY见0为0全1为1第5页，共68页，2023年，2月20日，星期四2.或逻辑：决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表011100011011ABY开关断用0表示,开关闭合用1表示灯亮用1表示,灭用0表示第6页，共68页，2023年，2月20日，星期四真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥1

见1为1全0为0第7页，共68页，2023年，2月20日，星期四例：根据输入波形画出输出波形ABY1见“0”为“0”，全“1”为“1”见“1”为“1”，全“0”为“0”&ABY1>1ABY2Y2第8页，共68页，2023年，2月20日，星期四3.非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式逻辑符号非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY第9页，共68页，2023年，2月20日，星期四(1)与非逻辑

AB&4.1.2复合逻辑运算真值表000100011011ABYY1

1

1

1

0

见0为1全1为0逻辑函数式逻辑符号第10页，共68页，2023年，2月20日，星期四(1)或非逻辑

4.1.2复合逻辑运算真值表011100011011ABYY2

1

0

0

0

见1为0全0为1逻辑函数式逻辑符号AB≥1第11页，共68页，2023年，2月20日，星期四(3)与或(非)逻辑

(真值表略)AB&CD≥1与或非逻辑与或逻辑第12页，共68页，2023年，2月20日，星期四(4)异或逻辑(5)同或逻辑(异或非)AB=1011000011011AB=1=A⊙BABY4100100011011ABY5第13页，共68页，2023年，2月20日，星期四3.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB≥1第14页，共68页，2023年，2月20日，星期四国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥1第15页，共68页，2023年，2月20日，星期四或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：4.4.1逻辑代数的基本定律一、常量之间的关系(常量：0和1)

4.2逻辑代数的基本定律及规则第16页，共68页，2023年，2月20日，星期四三、与普通代数相似的定理交换律结合律分配律证明公式方法一：公式法第17页，共68页，2023年，2月20日，星期四证明公式方法二：真值表法

(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)

ABC0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等第18页，共68页，2023年，2月20日，星期四四、逻辑代数的一些特殊定理同一律A+A=AA·A=A还原律证明：德摩根定理AB0001101100011110110010101110011110001000相等相等德摩根定理第19页，共68页，2023年，2月20日，星期四五、若干常用公式推广推论分配律第20页，共68页，2023年，2月20日，星期四(5)即=A⊙B同理可证A⊙B第21页，共68页，2023年，2月20日，星期四六、关于异或运算的一些公式异或同或A⊙B(1)交换律(2)结合律(3)分配律=A⊙BA⊙B第22页，共68页，2023年，2月20日，星期四(4)常量和变量的异或运算(5)因果互换律如果则有证明第23页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.4.2逻辑代数的基本规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。第24页，共68页，2023年，2月20日，星期四第25页，共68页，2023年，2月20日，星期四例如：已知4.反演规则：求逻辑函数的反函数则

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变第26页，共68页，2023年，2月20日，星期四3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”

例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=1运算顺序：括号与或第27页，共68页，2023年，2月20日，星期四

4.3.1逻辑表达式4.3逻辑函数的表示方法及其转换4.3.2真值表4.3.3卡诺图4.3.4逻辑图4.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换4.3.5波形图第28页，共68页，2023年，2月20日，星期四完备函数的概念我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。

4.3.1逻辑表达式第29页，共68页，2023年，2月20日，星期四或与式与或非式一.逻辑表达式的类型与或式与非-与非式或与非式或非-或非式或非-或式核心第30页，共68页，2023年，2月20日，星期四标准与或表达式二.逻辑函数的标准形式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项第31页，共68页，2023年，2月20日，星期四1.最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。(

2变量共有

4个最小项)(

4变量共有

16个最小项)(

n变量共有

2n

个最小项)……(

3变量共有

8个最小项)第32页，共68页，2023年，2月20日，星期四对应规律：1

原变量

0

反变量2.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；ABC

001ABC

101(2)任意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为1。第33页，共68页，2023年，2月20日，星期四3.最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1

反变量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7第34页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.最小项标准表达式任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。[例]

写出下列函数的标准与或式：[解]或m6m7m1m3第35页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.3.2真值表ABCY00000101001110010111011100010111优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。4.3.3卡诺图ABC010001111011110000优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。第36页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.3.4逻辑图ABYC&&优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&≥1第37页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.3.5波形图输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形ABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。第38页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换一、真值表函数式逻辑图[例]

设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。(1)真值表函数式将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011100010111第39页，共68页，2023年，2月20日，星期四函数式化简(2)函数式逻辑图ABY&C&≥1第40页，共68页，2023年，2月20日，星期四真值表函数式二、逻辑图0110ABY00011011BA&&&&第41页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.4

逻辑函数的化简法4.4.1关于逻辑函数化简的几个问题1.化简的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少卡诺图法代数法4.化简的方法化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。第42页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.4.2逻辑函数的代数化简法一、并项法:[例][例]（与或式最简与或式）公式定理第43页，共68页，2023年，2月20日，星期四二、吸收法：[例][例][例]第44页，共68页，2023年，2月20日，星期四三、消去法：[例][例]第45页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.4.3逻辑函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图：最小项方格图(按循环码排列)G2

G1G0B2B1

B0000000001001010011011010100110101111110101111100第46页，共68页，2023年，2月20日，星期四二变量的卡诺图(四个最小项)ABAB0101AB01011.变量卡诺图的画法第47页，共68页，2023年，2月20日，星期四三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：用几何相邻表示函数各个最小项逻辑上的相邻性.逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7第48页，共68页，2023年，2月20日，星期四五变量的卡诺图：四变量的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项第49页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.逻辑函数的卡诺图表示法1）根据变量个数画出相应的卡诺图；2）将函数化为最小项之和的形式；3）在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例]ABC010001111011110000第50页，共68页，2023年，2月20日，星期四二、利用卡诺图化简逻辑函数几何相邻：相接—紧挨着相对—行或列的两头相重—对折起来位置重合逻辑相邻：例如两个最小项只有一个变量不同化简方法：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过6个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。第51页，共68页，2023年，2月20日，星期四1.卡诺图中最小项合并规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946第52页，共68页，2023年，2月20日，星期四(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810第53页，共68页，2023年，2月20日，星期四(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n个相邻最小项合并可以消去n个因子总结：第54页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.用卡诺图化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例]ABCD000111100001111011111111[解]第55页，共68页，2023年，2月20日，星期四ABCD000111100001111011111111画包围圈的原则：(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈第56页，共68页，2023年，2月20日，星期四[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式多余的圈注意：先圈孤立项利用图形法化简函数第57页，共68页，2023年，2月20日，星期四利用图形法化简函数[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式第58页，共68页，2023年，2月20日，星期四[例]用图形法求反函数的最简与或表达式[解](1)画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2)合并函数值为0的最小项(3)写出Y的反函数的最简与或表达式第59页，共68页，2023年，2月20日，星期四[练习]用图形法将下列函数化简为最简与或式。（1）画函数的卡诺图（2）合并最小项：画包围圈（3）写出最简与或表达式ABCD000111100001111011111111[解]11第60页，共68页，2023年，2月20日，星期四4.4.4具有约束的逻辑函数的化简一、约束的概念和约束条件(1)约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的

升、降、停命令。A=1

表示升，B=1

表示降，C=1

表示停。ABC的可能取值(2)约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件第61页，共68页，2023年，2月20日，星期四(3)约束条件：(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。约束项：约束条件：或4.约束条件的表示方法(1)在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。例如，上例中

ABC的不可能取值为第62页，共68页，2023年，2月20日，星期四二、具有约束的逻辑函数的化简[例]化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图，顺序为：ABCD0001111000011110先填1

0111000000(2)合并最小项，画圈时╳

既可以当