递推数列通项公式的求法 副本

递推数列通项公式的求法副本第1页，共34页，2023年，2月20日，星期四1、等差数列的递推公式：

复习等差(等比)数列的递推公式2、等比数列的递推公式：第2页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型1定义法等差数列等比数列练习：第3页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型2求法：累加法例若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析式，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.第4页，共34页，2023年，2月20日，星期四1.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3•••an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2－a1)+

a1

=(n－1)+(n

－2)+•••+2+1+1演练：累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)第5页，共34页，2023年，2月20日，星期四练习：第6页，共34页，2023年，2月20日，星期四累加法第7页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型3求法：累乘法例若数列有形如an＝f(n)·an－1的解析关系，而f(1)·f(2)…f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.第8页，共34页，2023年，2月20日，星期四演练：累乘法

(形如an+1=f(n)•an型)2.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第9页，共34页，2023年，2月20日，星期四累乘法第10页，共34页，2023年，2月20日，星期四例类型4练习：第11页，共34页，2023年，2月20日，星期四已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.解析：解法一：∴数列{bn}为等比数列，又a1－3＝－2，第12页，共34页，2023年，2月20日，星期四第13页，共34页，2023年，2月20日，星期四点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bn＝an－3.(2)对数列递推式an＋1＝pan＋q，我们通常将其化为＝p，设bn＝an－A，构造数列{bn}为等比数列．第14页，共34页，2023年，2月20日，星期四4．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.求{an}的通项公式．解析：第15页，共34页，2023年，2月20日，星期四递推式如an＝pan－1＋rqn(n≥2，pqr≠0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn，类型5第16页，共34页，2023年，2月20日，星期四第17页，共34页，2023年，2月20日，星期四已知数列{an}满足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2.求an.解析：解法一：∵an＝4an－1＋2n,第18页，共34页，2023年，2月20日，星期四解法二：∵

an＝4an－1＋2n，∴令an＋λ·2n＝4(an－1＋λ·2n－1)，(n≥2)，得an＝4an－1＋λ·2n，与已知递推式比较得λ＝1，∴an＋2n＝4，又a1＋22－1＝4，∴{an＋2n}是首项为4，公比为4的等比数列．an＋2n＝4·4n－1，∴an＝4n－2n＝22n－2n.第19页，共34页，2023年，2月20日，星期四变式探究5．(2011年盐城模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，λ>0，得an＋1＝λan＋λn＋1＋2n＋1－λ·2n，所以数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.第20页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型六、递推式如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2，pq≠0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为an＋xn＋y＝p(an－1＋x(n－1)＋y)，再化为an＝pan－1＋(p－1)xn＋(p－1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列．(2011年济宁模拟)已知数列{an}中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….求数列{an}的通项．解析：∵点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，∴2an＋1－an＝n.①第21页，共34页，2023年，2月20日，星期四令an＋1＋x(n＋1)＋y＝(an＋nx＋y)，可化为2an＋1－an＋xn＋2x＋y＝0与①比较系数得x＝－1，y＝2.∴①可化为an＋1－(n＋1)＋2＝(an－n＋2)，第22页，共34页，2023年，2月20日，星期四变式探究6．(2010年丰台区模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)设bn＝an－n，求数列的通项；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∵bn＝an－n，∴bn＋1＝an＋1－(n＋1)，∴bn＋1＝4bn.又b1＝a1－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．∴bn＝4n－1.第23页，共34页，2023年，2月20日，星期四(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.第24页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型七、递推式如an＋1＝pan＋qan－1(pq≠0)型的数列通项的求法具体思路：等价转化为an＋1＋xan＝y(an＋xan－1)，利用其与an＋1＝pan＋qan－1恒等，求出x，y，得到一等比数列{an＋1＋xan}，得an＋1＋xan＝f(n)，进而化为例5的数列．在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求an.解析：由条件an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又因a2－a1＝3－2＝1，所以数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝2n－1.再用多式累加法可得：an＝a1＋＝2n－1＋1.第25页，共34页，2023年，2月20日，星期四变式探究7．(2011年漳州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列满足＝(an＋1)bn(n∈N*)，证明是等差数列．解析：(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a1＝1，a2＝3，第26页，共34页，2023年，2月20日，星期四∴是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)．(3)证明：∵＝(an＋1)bn，∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn，∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1.②②－①，得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn，即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0.③第27页，共34页，2023年，2月20日，星期四nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0.④④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0，即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)，∴是等差数列．第28页，共34页，2023年，2月20日，星期四类型八、倒数法求通项(1)对于递推式如an＋1＋pan＝qan＋1an(p，q为常数，pq≠0)型的数列，求其通项公式．具体思路：两端除以an＋1an得：＋p＝q，①若p＝－1，则构成以首项为，公差为－q的等差数列；②若p≠－1,转化为例3求解．第29页，共34页，2023年，2月20日，星期四(2011年保定