地球物理计算方法2018秋第一章插值

地球物理计算方法

地球物理与信息技术学院课堂情况反馈上节课讲了些什么？绪论：误差分析插值方法：泰勒插值复习误差限、相对误差限、有效数字三者关系

近似值（观测值）：

绝对误差限与有效数字关系：

相对误差限与有效数字关系：

已知有效数字：

已知相对误差限：复习2位3位4位5位ABCD提交为了使的近似值x的相对误差小于0.1%，问至少取几位有效数字？单选题2分误差的传播病态问题与条件数什么是病态问题？复习避免误差危害若干原则避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；避免两相近数相减；防止大数吃小数；简化计算步骤，减少运算次数。复习以下说法中正确的有：ABCD提交高精度运算可以改善问题的病态性经过四舍五入得到的近似数都是有效数字计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的解对数据的微小变化高度敏感是病态的多选题2分复习问题（插值问题）数值方法（泰勒插值）误差分析（余项定理）什么是插值问题？

复习什么是插值问题？已知：求：在此区间上任意点的近似值;

称为插值节点；x’称为插值点；

称为样本值；复习插值问题的解决思路？

复习插值问题的解决思路？构造一个简单函数解析表达式，近似求解；（1）构造一个简单函数p(x)来替代未知（或复杂）函数f(x);（2）用p(x’)的函数值作为f(x’)的近似值；复习

从几何上看，插值法就是找曲线y=p(x)，使其通过给定的n+1个点，并用它近似已知曲线

.复习已知：复杂函数在点的函数值，求：附近另一点的函数值。泰勒插值：问题：方法：泰勒多项式：在x=x0,pn(x)与f(x)具有相同的i阶导数值（i=0,1,…,n）。复习泰勒插值：误差分析：泰勒余项定理其中，在与之间。复习利用泰勒展开将非线性问题线性化是数值计算方法中的一种重要思想！17第1章插值方法18几何意义19几何意义20计算机中对于三角函数、指数函数、对数函数等初等函数的计算都是通过泰勒插值的方法实现的。21泰勒插值存在的问题：1.函数f(x)必须存在n+1阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比较大；2.要求h为一个小量（即x在x0附近），若h较大，则计算的误差就很大。1、插值概念2、拉格朗日插值3、牛顿插值4、埃尔米特插值5、分段插值6、样条插值7、最小二乘曲线拟合22232、Lagrange插值问题提出:已知函数y=f(x)在n+1个节点x0,x1,x2,..xn，上的函数值y0,y1,y2,..yn，求任意一点x’的函数值f(x’),函数y=f(x)可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值f(x’)。24解决方法构造一个n次代数多项式pn(x)函数来替代未知（或复杂）函数y=f(x),则用pn(x’)为函数值f(x’),的近似值。设构造pn(x)即是确定n+1个多项式的系数25构造pn(x)的依据当多项式函数pn(x)也同时过已知的n+1个节点时，我们可以认为多项式函数pn(x)逼近于原来的函数f(x)。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：26系数矩阵的行列式V为范德蒙行列式：故当n+1个点的横坐标x0,x1,x2,..xn互不相等时，方程组系数矩阵的行列式V不等于零，故方程组有唯一解。即有如下结论：当n+1个点的横坐标x0,x1,x2,..xn互不相等时，总能够构造唯一的n次多项式函数pn(x)，使pn(x)也过这n+1个点。27系数求解当n很大时，通过求方程组方法得到系数ai的工作量很大；求系数的新构造方法：（1）Lagrange插值方法（2）牛顿插值方法281.2Lagrange插值公式xx0x1yy0y1如果已知函数y=f(x)的值如表所示。求：构造一次多项式p1(x),在插值节点上，满足p1(x)=f(x)1、线性插值：29直线的两点式表达式：一次多项式插值基函数：一次多项式插值系数：

y0，

y130几何意义：x0x131例：已知，，求解：得：322、Lagrange抛物线插值xx0x1x2yy0y1y2如果已知函数y=f(x)的值如表所示。求：构造二次多项式p2(x),在插值节点上，满足p2(x)=f(x)33可以像推导一次插值那样，得出抛物线插值多项式：该二次多项式由抛物线插值基函数li(x)(i=0,1,2)线性组合而成，基函数怎么定义？应该满足：34可以得出基函数的表达式：把插值基函数代入,就构成了Lagrange抛物线插值多项式函数：35几何意义：x0x1x236例：已知，，,求得：解：构造2次多项式函数p2(x),使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：373、Lagrangen次插值

已知函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,x2,..xn，上的函数值y0,y1,y2,..yn，利用这些数据可以构造出代数插值多项式pn(x)。为此仿照抛物线Lagrange插值多项式的方法，求出相应的n次多项式函数38抛物线插值基函数的求法，xi节点上n次插值基函数可写成：39拉格朗日公式特点：1.把每一点的纵坐标yk单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式相似；40流程图411.3、插值余项1、余项定理pn(x)近似f(x)，设产生的截断误差为：或Rn(x)为n次多项式pn(x)的余项，具体的表达式？42余项定理：当函数f(x)足够光滑即满足以下条件：1、f(x)在区间[a,b]上连续；2、f(x)具有直至n+1阶导数，则总存在相应的点，对一点，使得：其中：（证明略……）43当n=1时，线性插值余项为当n=2时，抛物插值余项为44（1）插值点x离插值节点越远，越大，Rn(x)余项越大；余项公式特点：（2）f(x)要足够光滑，插值效果越好。插值的外推过程是不可靠的，内插优于外推。45地球物理中的插值问题：中国大陆地表热流分布（二维）462、误差估计办法由余项公式，虽然存在，但的值难以确定，办法：估算出在区间[a,b]上的上界M，即：则可以得到截断误差的范围：47估算前面例题的线性插值的截断误差，例：根据余项公式,有48估算前面例题的抛物线插值的截断误差？例：根据余项公式,有49下列关于拉格朗日插值方法的说法中错误的是：由N个不同的插值节点可以唯一确定一个N次的拉格朗日插值多项式函数拉格朗日插值基函数只与插值节点有关，与节点处函