小学奥数系统总复习

z.奥数教学简介一、课程特色：1、教材与现行小学奥数教程同步；2、教材难度适中，表达科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。二、教学理念：通才教育和趣味教育。三、教学目标：以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩，培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力，进而开拓学生的思维，为学好奥数打下坚实的根底。如何学好奥数？1、直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“〞与“未知〞的联系，抓住问题的本质，迅速解题。2、倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。3、枚举法：奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举根本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。4、正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，则你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。5、巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过外表，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。6、整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体构造、局部与整体的在联系，“只见森林，不见树木〞，来求得问题的解决。第一讲第一题：时钟问题有一个始终每小时快20秒，它3月1日中午12点准确，下一次准确的时间是什么时间？〔5月30日12时〕答：一圈快20*12=240秒=4分，一共要快几圈才会正好对准标准时间12*60÷4=180〔圈〕，换算成是几日180*12=2160时=90日，3月1日中午12时+90日=5月30日12时第二题：几何问题如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．AB=BC=10，则阴影局部的面积是多少？(圆周率取3.14)答：第三题：和差倍问题春风小学原方案种树、柳树和槐树共1500棵，植树开场后，当种了树总数的3/5和30棵柳树后，又临时运来15棵槐树，这是剩下的3种树的棵数恰好相等，问原方案要栽植这三种树各多少棵？答：假设树、柳树和槐树棵树分别为：a、b和c，由题意可得：a+b+c=1500(1-3/5)a=b-30b-30=c+15易得到三种树分别为：825、360、315棵第四题：行程问题甲、乙二人进展游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开场游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒。问：〔1〕比赛开场后多长时间甲追上乙？〔2〕甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？答：〔1〕250秒；〔2〕4次。

如图，构造柳卡图，可见比赛开场250秒后甲追上乙，他们相遇4次。第五题：速算与巧算答：2/45第二讲【计算题】1．难度：****〔1〕计算：〔2〕〔结果写成分数形式〕【答案】2．难度：******次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数。请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？【答案】平均数的围是在85.35~85.45之间的数。这13个同学的总分最小为13×85.35=1109.55分，最大为13×85.45=1110.85分，每个同学的得分是整数，则总分也一定是个整数，所以这13个同学的总分为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分位为85.38分。第三讲【计算题】1．难度：****将15个一样的悠悠球分装到四个一样的纸盒中，要求每个盒子中至少装一个，且每个盒子装的数量都不一样，问共有_____种装法。【答案】因为2+3+4+5=14，所以最小两个加数只能为1和2；1和3；1和4；2和3四种情况：⑴15=1+2+3+9(2)15=1+3+4+7(3)无(4)15=2+3+4+6=1+2+4+8=1+3+5+6=1+2+5+7因此15个悠悠球放在不同纸盒里共有3+2+1=6种不同的装法。2．难度：*****将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到以下图，问图中共有多少个三角形？【答案】正立的：边长是1有：1+2+……+7=28边长是2有：1+2+……+6=21边长是3有：1+2+……+5=15…边长是7有：1个倒立的：边长是1有：1+2+……+6=21边长是2有：1+2+3+4=10边长是3有：1+2=3因此共有：28+21+15+10+6+3+1+21+10+3=118第四讲【几何问题】1．难度：****如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。【答案】2．难度：*****一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米。则，这个立体图形的外表积是多少平方厘米?【答案】采用“三视图〞的方法，立方体总外表积=(正面面积+侧面面积+上面面积)×2+遮挡局部的面积，正面面积=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，侧面面积=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，上面面积=5×5=25平方厘米，遮挡局部的面积=(2×2+1×1)×8=40平方厘米，所以总外表积=(35+35+25)×2+40=230平方厘米。第五讲【数论问题】1．难度：****九位数2012□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，则，这个九位数是多少？【答案】设原数为，是9的倍数和11的倍数，则一定是99的倍数。根据99的整除特征，两位一截后得到的两位数相加，是99的倍数，只能是99，所以，所以b=6，a=2。2．难度：*****四个连续自然数的乘积是11880，求此四个数。【答案】，把这些质因数搭配成4个乘数，并且要连续的，11比拟大，我们不妨从11入手，只能有8，9，10，11或是9，10，11，12，前者不成立。则这四个数是9，10，11，12。第六讲【应用题】1．一个农夫看见池塘里有一群鹅，他自言自语地说：“我如果有这些鹅，再加上这些鹅，然后再加上这些鹅的一半，又加上这些鹅的一半的一半，最后再加上我家里的5只，就正好是93只鹅。〞池塘里有鹅多少只。【解析】。2．教师买来120支铅笔分给四、五、六年级的同学，其中分给四年级，分给五年级，则六年级分到铅笔___________支.【解析】简单分数量率对应应用题，3．小明看?丁丁历险记?的连环画，第一天看了全书的还多4页，第二天看了余下的还多5页，第三天看了剩下的还多6页，第四天看了2页就将全书看完了。这本书一共有页【解析】典型复原问题，列综合算式即可，页4．陕北*村有一块草场，假设每天草匀生成。这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？【解析】每只羊每天吃草量为1份。新生草量：〔份〕原有草量：〔份〕250只羊可吃：〔天〕放牧这么多羊不对。最多放牧50只羊，因为每天新增草50份，刚好够50只羊吃。第七讲1．一箱苹果，按每千克1.6元卖，亏12元，按每千克2.1元卖，赚3元，要想不亏不赚，每千克应卖元.【解析】如果1千克按1.6元卖，4千克按2.1元卖，则刚好亏的和赚的抵消，平均每千克卖(1.6＋2.1×4)÷(1＋4)＝2(元).2．将一群人分为甲、乙、丙三组，每人都必在且仅在一组。甲、乙、丙的平均年龄分别为37、23、41。甲、乙两组人合起来的平均年龄为29；乙、丙两组人合起来的平均年龄为33。则这一群人的平均年龄为。【解析】甲、乙两组人的年龄比为〔29-23〕：〔37-29〕=3:4，乙、丙两组人的年龄比为〔41-33〕：〔33-23〕=4:5，所以甲、乙、丙三组人的年龄比为3:4:5，这群人的平均年龄为〔岁〕。3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形映的比例却提供了匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体下躯干〔由脚底至肚脐的长度〕与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，假设此比值越接近0.618，就越给人一种美的感受。如果*女士身高为1.60米，下躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋到达这一效果，则她选的高跟鞋的高度约为多少厘米。【解析】该女士下躯干高160×0.6=0.96米，设高跟鞋的高度为*米，从而，解得〔厘米〕〔厘米〕第八讲1．小王期末考试得了总分值，但教师在评讲试卷时小王突然发现在做一道数学填空题时，算到最后一个结果是一个数乘以8，再减去63，由于粗心，把乘法算成除法，把减法算成加法，但凑巧的是得数是对的，这道数学题得数是.【解析】设数为a，则有a×8－63＝a÷8＋63，求得a＝16，结果为16÷8＋63＝65。2．**红气球小学六年级同学参加运动会，每人都在长跑、短跑和接力三个工程中选择两项参加。参加长跑的有28人，参加短跑的有25人，参加接力的有33人。则，参加长跑和接力两项的有。【解析】容易计算一共有六年级学生〔28﹢25﹢33〕÷2=43人，所以参加长跑和接力的人有43-15=18。3、我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10个：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。将天干的10个流字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两行：……甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊…………子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅……例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。则公历2003年，干支幻年为年。请你阅读下面的故事：我国著名的数学家步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究东坡的文集，我翻看了一篇?赤壁赋?，?赤壁赋?是东坡哪一年写的？书上印的是1080年。东坡生于1037年，活了66岁。?赤壁赋?开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。我一看东坡写?赤壁赋?的年代是1080年，就知道一定是错的。〞请说明步青是通过怎样的“神机妙算〞得出这个结论的？并推算东坡是公历哪一年写的?赤壁赋?？【解析】因为[10，12]=60，所以干支纪年法每60年一循环，1982年是壬戌年，?赤壁赋?也是壬戌年写的，因此公历1982年与写?赤壁赋?的公历年相差应是60的倍数，但是1982-1080=902，902不是60的倍数，所以?赤壁赋?不是在1080年写的。1037+66=1103，在1037年至1103年间与1982相差60的倍数的只有1982-60×5=1082，所以?赤壁赋?是东坡1082年写的。第九讲1、〔***〕一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？【解析】如下表：次数此岸过河此岸1狼，白菜农民，羊〉2狼，白菜〈农民羊3狼农民，白菜〉羊4狼〈农民，羊白菜5羊农民，狼〉白菜6羊〈农民狼，白菜7农民，羊〉狼，白菜农民，羊，狼，白菜2、〔**〕有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？【解析】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29分钟．最后能够平安全部过河．第十讲1、〔***〕有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取一样数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴谁胜．如果都采用最正确方法，则谁将获胜？【解析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记〔0，0〕；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是〔1，0〕，〔2，0〕〔1，1〕；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙〔1，2〕；再往前逆推，当甲留给乙〔3，5〕时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙〔1，2〕．所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙〔3，5〕，甲必胜.2、〔***〕国王带着、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。大臣说：“我是质数，我应该住质数房！〞大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！〞他们闹得不可开交，最后只好请国王来评判。可国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？【解析】首先，在题目里大臣所说的是错误的，而大臣所说的是正确的。所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有、、、四位大臣可以住在质数房。所以，例如、、住奇数房，、、住质数房的安排方法就是正确的。由前面的分析，、必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，则一共有种不同的住法。第十一讲1、〔**〕假设干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒，再把盒子重新排了一下。小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？【解析】原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55共11个盒子。2、〔**〕向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为，所以，至少有1＋1＝2〔个〕学生的生日是同一天．第十二讲1、〔****〕“六一〞儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果〞，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉〞，则，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1个熟人，所以共有n个“抽屉〞．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0，1，2，……，n-2．这样，“苹果〞数(n个小朋友)超过“抽屉〞数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：1，2，3，……，n-1．这时，“苹果〞数(n个小朋友)仍然超过“抽屉〞数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．2、〔**〕海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在厘米到厘米之间〔包括厘米到厘米〕，则，至少从多少个学生中保证能找到个人的身高一样？【解析】陷阱：以前的题根本全是2个人的，而这里出现4个人，则，就“从倍数关系选〞。认真思考，此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？在140厘米至150厘米之间〔包括140厘米到150厘米〕共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作11个抽屉，每个抽屉中放3个整厘米数，就要个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，则这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34个学生，才能找到4个人的身高一样．第十三讲1、〔**〕有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部平安过桥？【解析】小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：(分钟)，正好在桥倒塌的时候全部过河．(时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的)．2、〔**〕车间里有五台车床同时出现故障，第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率一样的修理工，⑴怎样安排才能使得经济损失最少？⑵怎样安排才能使从开场维修到维修完毕历时最短？【解析】⑴一人修17、20、30，另一人修18、25；最少的经济损失为：(元)．⑵因为(分)，经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟．第十四讲1、(2008年“迎春杯〞三年级组初赛)计算：．【解析】此题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．原式2、(2008年走美四年级初赛)．【解析】此题可以用凑整的方法来做，也可以直接用平方差公式来做．原式5.29试题1、(2008年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛)计算：．［分析］(法1)原式2、计算51.2×8.1＋11×9.25＋537×0.19【解析】稍着处理，题中数字就能凑整化简，原式＝51.2×8.1＋11×9.25＋〔512＋25〕×0.19＝51.2×8.1＋11×9.25＋512×0.19＋25×0.19＝51.2×8.1＋51.2×1.9＋11×9.25＋0.25×19＝51.2×10＋11×0.25＋11×9＋0.25×19＝512＋0.25×30＋99＝611＋7.5＝618.5第十五讲1、计算〔1〕2003×2001÷111＋2003×73÷37〔2〕412×0.81＋11×＋53.7×1.9【解析】〔＝2003×2220÷111＝40060〔2〕原式＝41.2×8.1＋11×〔9＋0.25〕＋〔41.2＋12.5〕×1.9＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25＝41.2×〔8.1＋1.9〕＋〔10＋2.5〕×1.9＋99＋11×0.25＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋〔11＋19〕×0.25＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.52、〔04年希望杯1试〕计算【解析】第十六讲1、(2008年“希望杯〞六年级第2试)________．［分析］用换元法．令，，则原式2、＿＿＿．【解析】原式．第十七讲1、计算______.【解析】原式．第十八讲1、〔※※〕大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【解析】大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，……，共有0本的话，有1种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55种可能．2、〔※※※〕用100元钱购置2元、4元或8元饭票假设干，没有剩钱，共有多少不同的买法?【解析】如果买08元饭票，还剩100元，可以购置4元饭票的数为0～25，其余的钱全部购置2元饭票，共有26种买法；如果买l8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0～23，其余的钱全部购置2元饭票，共有24种不同方法；如果买28元饭票，还剩84元，可购4元饭票0～21，其余的钱全部购置2元饭票，共有22种不同方法；……如果买128元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0～1，其余的钱全部购置2元饭票，共有2种方法．总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列．利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(种)．共有182种不同的买法．第十九讲1、〔※※〕题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？〔4级〕【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法．根据乘法原理，一共有30×40×45=54000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷2、〔※※〕五位同学扮成奥运会桔祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？〔6级〕【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120〔种〕．如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，则四人的排列方式共有4×3×2×1=24〔种〕；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72〔种〕．第二十讲1、〔※※〕一列往返于和方向的列车全程停靠个车站(包括和)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．〔4级〕【解析】(种)．2、〔※※〕用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？〔4级〕【解析】这是一个从个元素中取个元素的排列问题，，，根据排列数公式，一共可以组成(个)不同的四位数．6.7试题1、〔※※〕*校举行排球单循环赛，有个队参加．问：共需要进展多少场比赛？〔2级〕【解析】因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队都要进展一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在个队中取个队的组合问题．由组合数公式知，共需进展(场)比赛．2、〔※※〕从0、0、、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？〔这里每个数字只允许用1次，比方100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的〕．〔2008年“省身杯〞国际青少年数学邀请赛五年级〕〔4级〕【解析】假设三位数不含有0，有5×3×4=60〔个〕，假设含有一个0，有5×4×2=40个〕，假设含有两个0，有5〔个〕，所以共有60+40+5=105〔个〕．3、〔※※〕*班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12+23-5=30(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=60(人)．4、〔※※〕对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影局部表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20+25-10=35(人)，全班人数为：35+9=44(人)．第二十一讲1.有一个电子表的外表用2个数码显示“小时〞，另用2个数码显示“分〞。例如“21：32〞表示21时32分，则这个手表从“10：00〞至“11：30〞之间共有分钟外表上显示有数码“2〞.【解析】显示小时的数码不会出现2，只有分钟会出现。10点到11点分别有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11点到11点半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分钟。2.袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．【解析】如果没拿红球，则拿〔黄、白〕球的可能有〔1、5〕、〔2、4〕、〔3、3〕、〔4、2〕4种.如果拿1个红球，则拿〔黄、白〕球的可能有〔0、5〕〔1、4〕、〔2、3〕、〔3、2〕、〔4、1〕5种.如果拿2个红球，则拿〔黄、白〕球的可能有〔0、4〕、〔1、3〕、〔2、2〕〔3、1〕、〔4、0〕5种如果拿3个红球，则拿〔黄、白〕球的可能有〔0、3〕、〔1、2〕、〔2、1〕、〔3、0〕4种.可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18〔种〕．有18种.第二十二讲1.1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【解析】方法一：按插入乘号的个数进展分类：⑴假设插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：1×234，12×34，123×4．⑵假设插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：1×2×34，1×2×3×4，12×3×4。⑶假设插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：1×2×3×4。所以，根据加法原理共有3+3+1=7种不同的乘积．方法二：每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，在1、2、3、4这四个数中共有3个空所以共有：2×2×2=8去掉都不放的一种情况，所以共有：8-1=7〔种〕选择2、(2002年少年数学智力冬令营六年级试题)今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年〞〔年份的个位数字和千位数字一样，百位数字和十位数字一样〕从2000年到2999年之间共有〔〕个“对称年。【解析】2000年到2999年之间的“对称年〞个位为2，十位和百位数字一样，可以是0、1、2、…、9，共10个，所以从2000年到2999年之间共有10个“对称年〞.第二十三讲1、共有个四位数，其四个数字的乘积是质数．【解析】四个数的积为质数，其中只能有个质数，另外个数为，如，它可以排成四个符合要求的四位数：，，，。同样，，，，也都可以排成四个符合要求的四位数，因此共有个符合要求的四位数。2、给定三种重量的砝码〔每种数量都有足够多个〕，，，将它们组合凑成有种不同的方法〔每种砝码至少用一块。〕【解析】【分析】枚举。，，，，，，一共有种方法。第二十四讲1、在到〔含〕的所有正整数中，它的数码和可被整除的数共有多少个？【解析】把中的个位去掉，得到从中的一个数，各位数字和除以的余数为、、、、中的一种，之后添加个位数字使新生成的数的各位数字之和能够整除。不管的各位数字之和除以的余数是多少，个位数都有两种添加方法，所以从这个数中各位数字之和为的倍数的有〔个〕，减去一个，有〔个〕；从这个数中有和各位数字之和能被整除，所以从到所有正整数中，它的数码和可被整除的数共有〔个〕。2、在一个六边形纸片有个点，以这个点和六变形的个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【解析】设正六边形有个点，当时有个三角形，每增加一个点，就增加个三角形，个点最多能剪出个三角形．时，可剪出个三角形．注：设最多能剪出个小三角形，则这些小三角形的角和为．换一个角度看，会聚到正六边形六个顶点处各角之和为，故这些小三角形的角总和为．于是，解得．第二十五讲1、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，则由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进展选择时可以把0包含在)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，则满足条件的四位数有个．2、数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，，，．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【解析】我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋〞号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：111，111，111，111．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋〞号和不填“＋〞号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有21998种．第二十六讲比拟分数的大小同学们从一开场接触数学，就有比拟数的大小问题。比拟整数、小数的大小的方法比拟简单，而比拟分数的大小就不则简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母一样，分子一样以及分子、分母都不一样三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母一样的两个分数，分子大的那个分数比拟大；分子一样的两个分数，分母大的那个分数比拟小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母一样，化为第一种情况，再比拟大小。由于要比拟的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子〞。当两个分数的分母的最小公倍数比拟大，而分子的最小公倍数比拟小时，可以把它们化成同分子的分数，再比拟大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母〞，则这里讲的方法可以称为“通分子〞。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比拟大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比拟。有时分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比拟大小。5.假设两个真分数的分母与分子的差相等、则分母〔子〕大的分数较大；假设两个假分数的分子与分母的差相等，则分母〔子〕小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进展比拟。有以下几种情况：〔1〕对于分数m和n，假设m＞k，k＞n，则m＞n。〔2〕对于分数m和n，假设m-k＞n-k，则m＞n。前一个差比拟小，所以m＜n。〔3〕对于分数m和n，假设k-m＜k-n，则m＞n。注意，〔2〕与〔3〕的差异在于，〔2〕中借助的数k小于原来的两个分数m和n；〔3〕中借助的数k大于原来的两个分数m和n。〔4〕把两个分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个分数不容易比拟大小，新分数与其中一个分数容易比拟大小时，就可以借助于这个新分数。比拟分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母一样，分子大的分数大；分子一样，分母小的分数大〞这一根本方法。练习11.比拟以下各组分数的大小：答案与提示练习1第二十七讲工程问题〔一〕顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/时〞等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。1.单独干*项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效2.*项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，则乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？〞这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12天。3.单独完成*工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开场三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了4.一批零件，师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，则完成任务时师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开场是空池，翻开放水管1时后又翻开排水管，则再过多长时间池将积有半池水例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后15分钟两人相遇。第二十八讲1．难度：*****请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【解析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3。首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7。可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有个。所以满足条件的五位数共有个。2．难度：****如下图，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【解析】1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到一点〔如C、D点〕只能向前或者向上。2、题问的是经过C点，或者D点；则A到B点就可以分成两条路径了A--CB；ADB，则也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题--A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．3、ACB，则C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了．AC，最短路径用标数法标出，同样CB点用标数法标注，然后相乘ADB，同样道理．最后结果是735+420=1155条．

第二十九讲1．难度：*****在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有2(n-1)个交点．这些交点将第n条切割线分成2(n-1)段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了2(n-1)，所以在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成。2．难度：****在一个六边形纸片有60个点，以这60个点和六边形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【解析】设正六边形有n个点，当n=1时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，n个点最多能剪出6+2(n+1)=2(n+2)个三角形．n=60时，可剪出124个三角形．注：设最多能剪出*个小三角形，则这些小三角形的角和为．换一个角度看，会聚到正六边形六个顶点处各角之和为，故这些小三角形的角总和为．于是，解得*=124．第三十讲1．难度：*****在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题。从50个偶数中取出2个，有(种)取法；从50个奇数中取出2个，也有(种)取法。根据加法原理，一共有1225+1225=2450(种)不同的取法。【小结】在此题中，对两个数的和限定了条件。不妨对这个条件进展分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化。2．难度：****10个三角形最多将平面分成几个局部？【解析】设n个三角形最多将平面分成个局部．n=1时，=2；n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有个2交点，三条边与第一个三角形最多有23=6〔个〕交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个局部分成2个局部，从而平面也增加了6个局部，即．n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有〔个〕交点，从而平面也增加了12个局部，即：．……一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有个交点，从而平面也增加个局部，故特别地，当n=10时，，即10个三角形最多把平面分成个272局部．第三十一讲1．难度：**学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【解析】被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题。由组合数公式知，。所以共有20种不同的选法．2．难度：*****校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进展，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进展单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进展单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进展2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进展多少场比赛？【解析】第一阶段中，每个小组部的6个人每2人要赛一场，组赛场，共个8小组，有场；第二阶段中，每个小组部4人中每2人赛一场，组赛场，共4个小组，有场；第三阶段赛2+2=4场