2023年新高考数学大一轮复习专题39双曲线及其性质（解析版）

专题39双曲线及其性质

【考点预测】

知识点一：双曲线的定义

平面内与两个定点0E的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于田外|）的点的轨迹叫做双曲线

（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛必帆用_|“矶=2a（0<勿<忻图）｝

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=|耳目时，点的轨迹是以耳和心为端点的两条射线；当为=0时，点的轨迹是线段耳尼的

垂直平分线.

（3）2“>闺用时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件"忸居|>2a”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的值），注意

a2+Z>2=<?的应用.

知识点二：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

22

标准方程…＞。）与-与=1（。＞0,6＞0）

a~b~

W'

图形

*a

焦点坐标片（一c,0）,鸟（c,0）G（o,-c）,B（0,c）

对称性关于X,），轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A（-4,0），A（a,o）A（0,a）,A2（0,-a）

范围IM”

实轴、虚轴实轴1会为2a,虚轴长为2b

c1b2

离心率宣呼+"|）

人d歹br

人23年八a

令F——=0=y=±—x,令y-7y=0ny=±M，

渐近线方程ab-aab-b

焦点到渐近线的距离为人焦点到渐近线的距离为，

>1,点（%,%）在双曲线内

>1,点（七,%）在双曲线内

29（含焦点部分）

点和双曲线—（含焦点部分）

2

片b=1,点*0，%）在双曲线上22

的位置关系«b'=1,点（%,%）在双曲线上

<1,点（%,%）在双曲线外

<1,点（不，%）在双曲线外

共焦点的双22

---=1(_/<k<b2)；,,,,=1(a-<k<b2)

曲线方程(r+kh2-ka"+kb~-k

共渐近线的x2y2

__2L=^U^o)%一3="兄工°）

双曲线方程crb~

切线方程-^^=L(%%)为切点•^=1,(%0，%)为切点

a~b~a~b~

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为X0X,炉换成为），

切线方程

便得.

警-笔■=1,（%为双曲线

浑-警=1,（毛,%）为双曲线外一点

切点弦所在ab

a~b~

直线方程外一点

点（天,％）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为，3（工2，%），鼬=%.

则弦长|AB|=J1+公•._引=J伏片0），

弦长公式

忱-即=Ja+xJ-4中2=米，其中是消“y”后关于“X”的一元二次方程的

\a\

“V”系数.

2b2

通径通径（过焦点且垂直于耳居的弦）是同支中的最短弦，其长为2

a

双曲线上一点尸(七,%)与两焦点环,用构成的\PF{FZ成为焦点三角形，

设/耳?居=6,归£=「|尸乙|=0，则cos6=l-竺，

FpCl

焦点三角形

01.Csin(9,2b1(C%|,焦点祗轴上

S，=2但sm*l-cos/=1a/焦点在'轴上'

2

焦点三角形中一般要用到的关系是

［归用-|P/y=2a(2a>2c)

［闺用2=|叫2+归用2_2附归用COS4%

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线oa=6o离心率e=0。

等轴双曲线

两渐近线互相垂直o渐近线方程为y=±x=方程可设为x2-y2=A(AK0).

【方法技巧与总结】

(1)双曲线的通径

2b2

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为

(2)点与双曲线的位置关系

2222

对于双曲线。—4=1(a>6>0),点,%)在双曲线内部，等价于"-4>1.

abab

点P(x0,%)在双曲线外部，等价于营-苗<1结合线性规划的知识点来分析.

(3)双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数匕；顶点到两条渐近线的距离为常数或；

C

性质2：双曲线上的任意点尸到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数名；

C

(4)双曲线焦点三角形面积为鼻(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)

tan—

2

(5)双曲线的切线

22

点在双曲线0-《=1(”>02>0)上，过点"作双曲线的切线方程为警-―=1.若点

abab~

在双曲线二一1=1(a>02>0)外，则点M对应切点弦方程为警一誓=1

ab"a"b"

【题型归纳目录】

题型一：双曲线的定义与标准方程

题型二：双曲线方程的充要条件

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用双曲线定义去转换

方向2：建立关于“和c的一次或二次方程与不等式

方向3：利用e=1^,其中2c为焦距长，2a=^PFt\-\PF^

方向4：坐标法

方向5：找几何关系，利用余弦定理

方向6：找几何关系，利用正弦定理

方向7：利用基本不等式

方向8：利用渐近线的斜率求离心率

方向9：利用双曲线第三定义

方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围匕-4，+8)

题型七：双曲线的简单几何性质问题

题型八：利用第一定义求解轨迹

题型九：双曲线的渐近线

题型十：共焦点的椭圆与双曲线

【典例例题】

题型一：双曲线的定义与标准方程

例1.(2022•全国•高三专题练习)"x2+(y—3>—Jf+(y+3)2=4表示的曲线方程为()

A.［一］=1(烂一2)B.［一］=1(於2)

C.=1(}<-2)D.—=1CV>2)

4545

【答案】c

【解析1根据两点间距离的定义，旧而二3）2_次+（丫+3）2=4表示动点（X,y）至|J（O,3）与（0,-3）的距离之

差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.

根据双曲线定义可知，。=2,c=3

所以从=32-22=5

由焦点在y轴上，所以

三=1,且到点（3,0）的距离比较大

所以yV-2

即曲线方程为1一3=1（”-2）

故选：C.

【方法技巧与总结】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a,b,c,即利用待定系数法

求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法

求方程.

例2.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线C：£=1的左、右焦点分别为尸2.双曲线C上有一

97

点尸，若归耳|=7,贝”尸用=.

【答案】1或13

2

【解析】因为双曲线C：三一上=1,

97

所以。=3,

所以仍用-伊媚|=2〃=6,

又因为忸耳|=7,

所以仍用=13或俨用=1,

故答案为：1或13.

例3.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点（4,46），则该双曲线

的标准方程为.

【答案】--^=1

416

【解析】根据题意知，2x4〉4g,所以点（4,4石）在渐近线方程y=2x的右下方，

22

所以该双曲线的焦点在X轴上，设标准方程为与-与=1,且a>0,b>0；

又2=2,所以6=2a；

a

01648,16484

又即nn二才=

解得/=4,从=16,

*2

所以双曲线的标准方程是工y

416

故答案为：-——=1

416

22

例4.（2022•全国•高三专题练习）与双曲线土一21=1有公共焦点,且过点（3&,2）的双曲线的标准方程为

164

【答案】--^=1

128

【解析】由双曲线（-：=1可得焦点坐标为（±2近⑼,

22

设所求双曲线的方程为0-2=1,（«>/>>0）,

ab

a2=12

由题意可得：示一手=,解得

从=8

a2+b2=20

22

所以双曲线的标准方程为：—-^=1,

128

故答案为：—-^=1.

128

20

例5.（2022•全国•高三专题练习）已知耳（-3,0）,6（3,0）分别是双曲线十方=1（〃>0/>0）的左、右焦点,

点尸是双曲线上一点，若归用+归国=6%且工的最小内角为,则双曲线的标准方程为（）

A//22

=1B.工-匕=1D.——y2=1

63368.

【答案】B

【解析】设点P为双曲线右支上一点，则|「用>|尸闾,

因为伊耳|-归闾=2〃，且闸+|P闻=6°,

所以|「用=而，|P闾=2”,

2c>2a冗

由题,因为内用=2c=6,则所以〃和为最小角,故

4〃>2/2~6

所以在△PKK中，由余弦定理可得，(甸一+(2。--(2。)：=@,解得〃=石，

2,4G2C2

所以8=#,

22

所以双曲线的标准方程为二-E=i.

36

故选：B

例6.(2022・河北石家庄•高三阶段练习)已知点A(-2,0)、8(2,0),将函数的图像绕原点顺时针旋转［得

到曲线C,在C上任取一点P,则||PA|-|PB||=()

A.25/2B.2C.72D.不确定

【答案】A

【解析】直线y=x与y=T联立得两交点的坐标为(1,1)、(T，T),这两点间的距离为J(l+1)2+(1+1)2=2交,

所以函数y=1的图像绕原点顺时针旋转£得到双曲线方程为=1,由双曲线定义得

X422

||PA|-|PB||=2&.

故选：A.

例7.(2022•全国•高三专题练习)已知双曲线，一/-叱叱。)的离心率为石，左'右焦点分别为"，初

以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为尸.若।尸鸟1=2,则该双曲线的标准方程为()

【答案】A

【解析】因为离心率为6,所以6=£=产工=3+4=石，所以6=2。，因为1尸61=2,|阳-|呷=2”,

所以|P£|=2+2a,又IKEI=2c,且△2/而为以/名助为直角的直角.：角形，所以4+(2+24=(2靖，

即8+8〃+4/=4H，又,2=/+从=5〃，所以羽―a-1=0,解得。=1或。==(舍去)

所以双曲线的标准方程为：x2-^=l

故选：A

例8.(2022•全国•高三专题练习(理))已知双曲线的左，右焦点分别为耳(-3,0),F?(3,0),P为双

曲线上一点且||「用一|「用|=4,则双曲线的标准方程为()

【答案】A

【解析】由双曲线的定义可得c=3,2a=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,且焦点在x轴上，所以双曲

线的方程为：—-^=1.

45

故选：A.

例9.（2022・全国•高三专题练习（文））双曲线C的两焦点分别为（一6,0）,（6,0）,且经过点（-5,2）,则

双曲线的标准方程为（）

【答案】B

［解析］2a=17（-5+6）2+22-7（-5-6）2+221=4^5

所以〃=2石，又。=6,

所以〃=/一/=36—20=16.

所以双曲线的标准方程为^-d=1

2016

故选：B

例10.（2022•江苏•高三阶段练习）已知双曲线=-1=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳，K，过尸2且斜

a~a~

率为m的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若优用+04）.叱=0,则此双曲线的标准方程可能为（）

【答案】D

【解析】由题可知，

F,A=-F2FX+F2A,

若（M+KA）.f；A=0,

即为（名片+KA）-（-gf；+gA）=0,

22

可得伍=五£,

即有I和R鸟耳|=2c,

由双曲线的定义可知|前|-|伍卜加，

可得|AF]\=2a+2c,

由于过22的直线斜率为了，

24

所以在等腰三角形人百鸟中，tan/A6耳=-亍,

7

则cosNAK£=——,

74c2+4C2-（2〃+2C）2

由余弦定理得:COSZAFF=

2]25-2.2c.2c

化简得：3c=5a,

34

Hnj=—b;=­c

a5Cf59

可得a:0=3:4,A*%®

22

所以此双曲线的标准方程可能为：--^=1.

916

故选：D.

例H.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为耳（0,-5）,鸟（0,5）,双曲线上一点尸与£,

8的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为（）

A*2y'-IB犬＞'2_irX"1nJ产1

916169916169

【答案】C

【解析】由题意，c=5,2a=6na=3,则匕=护二7=4,结合条件可知，双曲线的标准方程为汇-二=1.

916

故选：C.

例12.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为耳（0,3）,6（0,-3）,P是双曲线上一点

且归用尸曰=4,则双曲线的标准方程为（）

【答案】C

2、

【解析】设双曲线的标准方程为与-二=1（。＞0,。＞0）,半焦距为c,

CTb~

则由题意可知C=3,2。=4,即。=2,故〃=仃2_/=9—4=5,

22

所以双曲线的标准方程为匕-'=1.

45

故选：c.

例13.（2022.全国•高三专题练习）已知双曲线C：W-g=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为小鸟，一条渐近

a~b~

线方程为y=0x,过双曲线C的右焦点&作倾斜角为？的直线/交双曲线的右支于A,B两点，若

的周长为36,则双曲线C的标准方程为（）

2292*>->

AA.-厂----»-=11B口.-厂-----y-=11C八.x2---）厂-=11D门.厂----y2=11

244222

【答案】C

【解析】因为双曲线C：1-1=l（a>0/>0）的一条渐近线方程为y=0x,

ab“

22_

所以b=J5a，则双曲线方程为一；—工=1(“>0),耳(一^tz,0),7^(>/3tz,O),

a2a

所以直线/为y=tan((x-J5a)=G(x-Ga),

设人(士,3),8(々,女)，

Z_JL=1

由百2a2,得/-63x+ll〃=o,

y=x/3(x-x/3a)

则X]+毛=6ga,%%=11万,

所以|=4i+3-"区+马y一以m=27108a2-44a2=16a,

因为|A用=|Ag|+2a,忸制=怛闾+%，

所以|A£|+|B耳|=|/闿+忸可+4a=|AB|+4a=20a,

因为4B的周长为36,

所以|A耳|+|明|+|明=36,

所以204+16a=36,得a=l,

2

所以双曲线方程为/一2v_=1,

2

故选：C

例14.（2022•全国•高三阶段练习（理））与椭圆C:，+（=l共焦点且过点（1,6）的双曲线的标准方程为（）

A.x2--=\B.）3-2f=l

3?

22。

C.=1D.--x2=\

223

【答案】C

【解析】椭圆C的焦点坐标为（0,±2）,设双曲线的标准方程为，■-/=1（4>0力>0）,

由双曲线的定义可得2。=/+（6+2丫_业+（后-2y=（#+亚）-（"-亚）=20,

ci=y/2,c=2,：.b=\lc2—a1=V2»

因此，双曲线的方程为£-==1.

22

故选：C.

22

例15.（2022•全国•高三专题练习）的、尸?是双曲线。-方=1（“>0/>0）的两个焦点，抛物线y2=46x的

TT

准线/过双曲线的焦点准线与渐近线交于点A,ZFtF2A=^,则双曲线的标准方程为（）

A.-=1B.炉-汇=1

1616

C.x2-^-=lD.--/=1

44'

【答案】C

【解析】抛物线V=46x的准线方程为x=-不，

则°=逐，则耳卜石,0）、6（石,0）,

h

不妨设点A为第二象限内的点，联立J，a,

x=-c

X=-CZ,X

可得be,即点A-c，t,

y=—kaJ

Ia

TT

因为Af；_L6K旦/月64=^,则△EKA为等腰直角三角形，

且|A用=忻闾，BP—=2c,可得>=2,又由c=7^/=笛+从，

aa

2

解得”=l,b=2,因此，双曲线的标准方程为寸-二=1.

4

故选：C.

例16.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线C:七-2=l（a>0,b>0）满足2=且与椭圆上+《=1有

«-b-a2123

公共焦点，则双曲线C的方程为（）

C.--亡=1D7-4='

54

【答案】A

【解析】由椭圆的标准方程为《+工=1,可得合=12-3=9,即c=3,

123

因为双曲线C的焦点与椭唁+：=1的焦点相同，所以双曲线C中，半焦距

又因为双曲线C：4-4=l(a>(U>0)满足2=或，即万=正”,

a"b-a22

2

又由即/+a=9,解得/=*可得02=5,

所以双曲线C的方程为三-J.

45

故选：A.

例17.(2022,全国•高三专题练习)求适合下列条件的双曲线的标准方程:

⑴顶点在X轴上,焦距为1。，离心率是:

(2)一个顶点的坐标为(0,2),一个焦点的坐标为(0,一石卜

(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为y=；3x,实轴长为12；

(4)渐近线方程为丫=??》，焦点坐标为(-5>/2,0)和(50,0).

【答案】(1)^-^=1:

⑵二-/

4

⑶

3664

,2

【分析】

根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程.

e—c—5

(1)由题设，”5且a4,则a=4,^2=c2-a2=9,

乂顶点在X轴上，故双曲线的标准方程为=

169

(2)由题设，〃=2"=逐，则匕2=。2_/

=1,

又一个焦点为（0,-石），故双曲线的标准方程为=

--—•1-]

（3）由题设，。=6,又焦点在y轴上，令双曲线的标准方程为36b2,

3369

又一条渐近线方程为y=即^=而，则从=64,

22

所以双曲线的标准方程为汇-t=1.

3664

,2

^__£=1

（4）由题设，。=5夜且焦点在x轴上，令/从

又渐近线方程为y=?二X,则2而/+/=02=50，

所以〃2=32,加=18,故双曲线的标准方程为二一上=1

3218

例18.（2022.全国•高三专题练习（理））根据下列条件，求双曲线的标准方程:

（1）。=4,经过点A1,一生胆；

29

Q）与双曲线会上1有相同的焦点’且经过点6"物

=\(h>0)

【解析】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为16b2

把点A的坐标代入，可得从=-考x劳<0,不符合题意;

当焦点在y轴上时,设所求标准方程为=l(fe>0),

16b2

把A点的坐标代入，可得^=9,故所求双曲线的标准方程为工-土=1.

169

22

综上，所求双曲线的标准方程为士-土=1.

169

22

------=1（-4<A<16）

（2）设所求双曲线的方程为16-24+2,

1Q4

因为双曲线过点（3立,2）,所以77、一57=1，解得a=4或-14（舍）.

16-24+A

所以双曲线的方程为二-二=1

128

题型二：双曲线方程的充要条件

例19.（2022・四川内江•模拟预测（理））“〃加<0”是“如2+江=]为双曲线，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为方程=1表示双曲线，所以〃?〃<（）,

又当以〃<0时，方程的2+〃y2=]表示双曲线，

因此“讥<0”是“方程皿二+江=1表示双曲线”的充要条件.

故选：C

【方法技巧与总结】

土+上-=1表示椭圆的充要条件为：m>O,n>O,m^n；

mn

22

三+二=1表示双曲线方程的充要条件为：刖<0；

mn

22

土+汇=1表示圆方程的充要条件为：m=n>0.

mn

22

例20.（2022・广东•高三阶段练习）“M2”是“方程」一+工=1表示双曲线”的（〉

25-kk-9

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

22

【解析】•・•方程―一+工=1为双曲线，・・・（25-幻（左一9）<0,

25-kk-9

尤2v2

，A<9或左>25,・,.“<2”是“方程‘一+」=1为双曲线”的充分不必要条件，

25-kk-9

故选：A.

例21.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）若曲线C的方程为二+—J=1（机>0）,则（）

m2-m

A.当机=立时，曲线C表示椭圆，离心率为5

22

B.当机=6时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为y=土且x

C.当"?=1时，曲线C表示圆，半径为1

D.当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4

【答案】BC

Bx2,y2a1

【解析】选项A,机='时，曲线方程为了十丁T,表示椭圆，其中从=：,则02=/一从=],

2--22

_c_1_V6

离心率为a^33>A错；

选项B,,”=G时曲线方程为《-y2=i表示双曲线，渐近线方程为E-V=o,即y=±YIx,B正确；

333

选项C,加=1时，曲线方程为f+y2=i,表示圆，半径为1,c正确；

2-m2>0

选项D,曲线C表示椭圆时，0</<1或1<加2<2，

m202一机2

时，a2=2-/n2»b2=nrc2=a2-b2=2-2m2e（0,2）,

1<加2<2时，a2=m2,b2=2-m2,c2=a2-b2=2m2-2e（0,2）,

所以/£（0,2）,即CE（0,&）,无最大值.D错.

故选：BC.

例22.（多选题）（2022•重庆八中模拟预测）曲线C的方程为二二+上=1,则下列说法正确的是（）

16+29+4

A.存在实数力使得曲线C的轨迹为圆

B.存在实数2使得曲线C的轨迹为椭圆

C.存在实数4使得曲线C的轨迹为双曲线

D.无论；I（2>-16且2H-9）取何值，曲线C的焦距为定值

【答案】BCD

【解析】对于A,因为16+2>9+/1,所以不存在实数2使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；

对于B,当16+/IX）口.9+4>0时，即;l>-9时，上=1表示椭圆，所以存在实数2使得曲线C的

16+49+4

轨迹为椭圆，故B正确；

/、/、2V2

对于C,当（16+X）（9+4）vO,即一16<4<-9时，■^Y—+^^=1表示双曲线，故C正确;

16+29+4

•>2

对于D,当我―9时，一三+"7=1表示椭圆，此时椭圆的d=16+2-（9+2）=7,所以曲线C的焦距为

16+29+2

定值；

当_16<2<-9时，+上=i表示双曲线，此时双曲线的。2=16+4+[-（9+#]=7,所以曲线C的焦

距为定值；故D正确，

故选：BCD.

例23.（多选题）（2022•湖南•长郡中学高三阶段练习）己知曲线C：nve+ny^m-X,则（）

A.当机=”=2时，C为圆B.当根="=1时，C为抛物线

C.C不可能为椭圆D.C可能为双曲线

【答案】ABD

【解析】当机=〃=2时，C为圆/+炉=；,A正确；

当帆=〃=1时，C为抛物线丁=->,B正确；

当“1=2,〃>0口.〃*2时，C为椭圆2x?+”y2=1,C错误；

当机=2,〃<0时，C为双曲线2X2+〃）2=I,D正确.

故选：ABD.

22

例24.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）已知曲线C：工+工=1,则下列说法正确的是（）

k-\5-k

A.若曲线C表示双曲线，则%>5

B.若曲线C表示椭圆，贝！|lv攵<5且Zw3

C.若曲线C表示焦点在X轴上的双曲线且离心率为2叵，则％=7

3

D.若曲线C与椭圆二+f=1有公共焦点，则k=4

42

【答案】BCD

22

【解析】对于A：若曲线C：」+上=1表示双曲线，则（"1）（5—2）<0,解得左>5或故A错

k-\5-k

误；

对于B：若曲线C：上+上=1表示椭圆，则5-/>0,解得l<k<5旦人W3,故B正确;

k—15—kIe-t

k-\*5-k

对于c：若曲线c表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为2叵a2=k-\

则

3h2=k-5

所以c2=a2+"=2k-6,则e2=<=竺二=解得k=7,故C正确;

a2k-l3

对于D：椭网二一+2—=1的焦点为（土应，0,

42

a2-k-l>

若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线,则&>5,则02=2%-6=2，解得k=4（舍去）;

b2=k-5>0

a2=k-l>0

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则<从=5-后>0,则3cz<5,则C、2=2&-6=2,解得后=4,符合题

k-\>5-k

意，故女=4,故D正确;

故选：BCD

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

例25.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线21=1的两个焦点为有，F2,P为双曲线右支上一点.若

24

4一

\PFt\=-\PF2\9则△BP乃的面积为（）

A.23B.24

C.25D.26

【答案】B

【解析】由双曲线的定义可得|PF/|TPg|=；|PF2|=2a=2,

解得|尸产2|=6,故|PBI=8,

又尸/尸2|=10,故△PEK为直角三角形，

因此S叱=3『下川尸尸2|=24.

故选：B.

【方法技巧与总结】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即|P^|=2a,在焦点三角形面

积问题中若已知角，则用5许4=g|尸用」尸用sin。，归用一归曰=2a及余弦定理等知识；若未知角，

则用SAP和=^c-\y0\.

例26.（2022.全国•高三专题练习）已知尸是双曲线上-y2=l的右焦点，若直线y=依,>0）与双曲线相交

于A,B两点，且NAEBN120。，则A的范围是.

【答案】悍书

【解析】--/=1

3

/.a2=3,b2=1焦点在x上

=3+1=4

•1■焦点坐标为E（—Z0）,F（20）

由双曲线的对称性可得=设B（x2,y2）,

---y2=1

又3,k>Q,

、y=H

又,|AF|_|A同=|A尸卜忸目=2g,

AF|2+|SF|2-2\AF\\BF\=12,

又,M=j+=[~r2收

+女2,1—3公

而+|BF|2-2\AF\\BF\COSZAFB,

SAFti=^\AF\\BF\sinZAFB,

当NAFB=120时，=|AF|2+\BF(-2\AF\\BF\cosZAFB=\AFf+\BF(+|AF||