专题8空间点直线平面之间的位置关系练习题教师版纸间书屋

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 B.①④ 【答案】（陕西省安康一中2019届期末）已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( 【答案】a∥b，与已知a，b为异面直线相.（省金昌一中2019届期中）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共 A.12 B.24C.36 D.48【答案】【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正122＝24( ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直αP，Q，R，则P，Q，R三点共②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面 【答案】αP，Q，Ra∥bab确定一个平面α，而lA，B两点在该平面上l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共βα，βa，lαβ重合，故这些直线共面，故②正7A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( 5B. 5 【答案】A1C1AB＝1，AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得 2×5×2×5×56（一中2019届期末）已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面【答案】【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，BCD7（海南省三亚一中2019中）如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，OB1D1的中点，直线A1CAB1D1M，则下列结论正确的是(，M，O三点共 B．A，M，O，A1不共，M，C，O不共 D．B，B1，O，M共【答案】【解析】连接A1C1，AC，则A1C⊂ACC1A1，所以MM∈平面MACC1A1AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线8（①AF⊥GC；②BDGC成异面直线且夹角为③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°. 对于①，由图形知AFGC异面垂直，故①正对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBDBG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正（省庆阳一中2019届质检）在正方体ABCD－A1B1C1D1中(1)求直线ACA1D所成角的大(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1EF所成角的大小【解析】(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，A1D∥B1C，从而B1C与AC所ACA1D所成的角.即直线A1DAC所成的(2)连接BD，在正ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，E，FAB，AD的中点，所以EF∥BD，所以即直线A1C1EF所成的角为（陕西省一中2019届期末）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，HB1DACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.证明如图，连接BD，B1D1∵BB1H∈B1D，B1D⊂BB1D1D，HBB1D1D，∵平面ACD1D1，H，O三点共线（山东青岛二中2019届高三模拟）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正)C.l1l4既不垂直也不D.l1l4的位置关系不确【答案】【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4l1∥l4AC.若取C1Dl4，则l1l4相交BAl4，则l1l4异面；取C1D1l4l1l4相交且因此l1l4的位置关系不能确（郑州一中2019届高三质检）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”.折起，使DF＝CE＝26，则五面体ABCDEF中异面直线AC与DE所成角的余弦值为( 24 24【答案】

2422【解析】如图，过点C作AB的垂线，H为垂足，BH＝1，CH＝37，AC＝12.同理，在等腰梯形CDFE中，对角线DE＝62.过点C作CG∥DE交FE的延长线于点G，四边形CDEG是平行四边形，DECG，连接AG，则异面直线AC与DE所成的角即直线AC与CG所成的角.2422AAT⊥EFEFT，则AT＝42，TG＝16，所以AG＝122.在△ACG中，AG＝122，AC＝12，CG＝DE＝62×12×62×12×624 24因为异面直线所成的角在0，2范围内，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为 24边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( 3333 2

C.3D.【答案】【解析】由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且＝2，AD＝1，OBC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，DO＝3.在△DOE

2×1×2×1×33

，故所求异面DOAB33 3314．（中学2019届高三调研）在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和326的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则32662623【答案】

【解析】C1C1G∥B1F，交CDGEHQ∥C1GCD延长线，C1D1于点H，Q，1B1Q，HFAD于点P，HQ∥B1F，所以Q，H，F，B1四点共面，易求得HD＝D1Q＝，由△PDH∽△PAF可419＋19＋＝＝2，

，在Rt△PED中

PD 15．（广西桂林中学2019届高三模拟）如图，在直二面角A­BD­C中，△ABD，△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是()CA1BE内某直线平B．CD∥平面CA1BE内某直线垂【答案】【解析】CE，当平面A1BEBCE重合时，BC⊂平面A1BE，所以平面A1BE内必存BC平行A，C在平面BCD内过BCD的平BF，使得连接EF，则当平面A1BE与平面BEF重合时，BF⊂CDA1BECBC⊥A1B，又A1B⊥A1EA1B为直线A1EBC的公垂线，所以32设A1B＝1，则经计算可得 3216．（海南加积中学2019届高三模拟）已知直三棱柱ABC­A1B1C15＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 5【解析】如图所示，将直三ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1AD1，B1D1AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以11111111111115，AD＝2.在△BDC中，∠BCD＝60°，BC＝1，DC＝2，BD＝12＋22－2×1×2×cos1111111111111＝3，

2×5×2×5×5形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为 1【解析】如图，连接DEFCO，取BEG，连接OG，CG，则OG∥BDOG＝BD，所以2为异面直线BDCF所成的角或其补角．设正ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝5，

5

BECDFEBE⊥DEBD＝DE2＋BE2＝6，

2 .易 2 5 52

.在△COG中，由余弦 2×2× 2×2×

30理得

2OC·OG

＝10，所以异面直线BDCF所成角的余弦10DE翻折成△A1DEMA1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是 ①BM是定②点M在某个球面上运动④存在某个位置，使MB∥平面1【解析】取DCF，连接MF，BFMF∥A1D2

A1D，FB∥ED由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球MF∥A1DFB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为AC∩CE＝C，则DE⊥平面ACE，所以DE⊥AE，与DA⊥AE，故③

MNMDD1NABCDMNP的轨迹的面积是 π【解析】DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，PMN的中点，连接DP，则1，所以点P在以D为球心R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的 S＝×4πR＝ 20．（云南第三中学2019届高三调研）如图所示，等腰直角三角形ABC中2，DA⊥AC，DA⊥ABDA＝1，且EDA的中点，求异面直线BECD所成角的余弦值【解析】如图所示ACF因为在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以所以∠BEF或其补角即为异面直线BECD5 5在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，所以 Rt△EAF中，AF＝AC＝AE＝ 22所以 22515在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，所以 212 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝BE＝ 2所以异面直线BE与CD所成角的余弦值 ABCD，M是线段ED的中点，则( A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直【答案】EOCD于O，连接ON，BDBM，ENEBD的中MMFODFBF，平面CDEABCDEOCDEO平面CDE，EOABCDMFEO

3,ON1,EN2，MF

3,BF5,BM

7，BMEN2.(2018·Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所

C.

D.【答案】11D(0，0，0)，A(1，0，0)，D(0，0，3)，B(1，1，3)，所以＝(－1，1155 550，3)，

DB1＝(1，1，3).cos〈AD1，DB1〉＝

2

，即异面直AD1DB155 55 223223252725272(2)(2017·卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直AB1与BC1所成角的余弦值为 3253255335331)C【解析】(1)取DD1中点F，连EF，AF，AE，EF∥DC，所以∠AEF为两异面直线所成的角．在525525AEF中，令正方体棱长为1

tan∠AEF＝

2(2)如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四ABCD－A1B1C1D1AD1，B1D1AD1∥BC1，所以∠B1AD1AB1BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，AB1＝11111111111115，AD＝2.在△BDC中，∠BCD＝60°，BC＝1，DC＝2，BD＝12＋22－2×1×2×cos1111111111111＝3，

2×5×2×5×5

4．(2017·卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( 【答案】BCDAB∥CD，M，QMQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQAB∥平面MNQ，同理可证，C