高等流体力学第二章

高等流体力学第二章第1页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.1欧拉质量守恒质量守恒定理

上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，质量守恒定理在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。由雷诺输运定理，第2页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.1欧拉质量守恒定常流动和不可压缩流体的连续方程

对于定常流动，，连续方程可简化为，对于不可压缩流体，，连续方程可简化为，第3页，共37页，2023年，2月20日，星期四流体质点可沿线或线流动，此时其密度保持为常数或，因此，但，。2.1欧拉质量守恒

密度分层流动不可压缩流体上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。密度分层流动第4页，共37页，2023年，2月20日，星期四均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体不可压缩流体均质流体密度不是x、y、z的函数密度也不是t的函数在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。物质导数定义式均质不可压缩流体2.1欧拉质量守恒第5页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.1欧拉质量守恒第二雷诺输运定理

证明：根据连续方程，又于是，第6页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.2动量守恒定理第7页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.2动量守恒定理积分形式的动量方程

系统的动量，作用在系统上的质量力作用在系统上的表面力由动量定理得积分形式的动量方程系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。第8页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.2动量守恒定理微分形式的动量方程

第9页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.2动量守恒定理用张量表示法表示动量方程

方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。用张量表示法表示动量方程，第10页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.2动量守恒定理

守恒形式的动量方程

并矢是二阶张量。第11页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.3能量方程第12页，共37页，2023年，2月20日，星期四对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统内能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。

热力学第一定理2.3能量方程第13页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.3能量方程

积分形式的能量守恒方程

任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为系统总能量，，e为单位质量流体的内能；单位质量流体的动能表面力作功功率，质量力作功功率，传热功率，热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统的传热功率，所以积分号前加负号根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，第14页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.3能量方程

微分形式的能量方程

第二雷诺输运定理高斯定理第15页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.3能量方程

机械能方程

动量方程上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，即方程两边都乘以，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘，第16页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.3能量方程

内能方程

上式左边表示内能的变化率，第一项是当地变化率，第二项是对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右边是引起内能变化的动因，第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传热功率。总能量方程减去机械能方程第17页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.4Navier-Stokes方程

第18页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.4Navier-Stokes方程

N-S方程

s是应变率张量动量方程，本构方程第19页，共37页，2023年，2月20日，星期四不可压缩流体(动力粘性系数为常数)

2.4Navier-Stokes方程

第20页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.4Navier-Stokes方程

欧拉方程（）

第21页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.5能量方程第22页，共37页，2023年，2月20日，星期四称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，在一切流体和一切流动中总大于零。

2.5能量方程

内能方程

，表示表面力作功功率，可包括两部分：压缩功功率，表示流体体积变化时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的；导热功率第23页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.5能量方程

能量方程其它形式

内能方程，

连续方程，

于是内能方程可改写为，

热力学关系式，

则内能方程可变换为，

或上两式分别是以熵和焓表示的能量方程第24页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.6牛顿流体的基本方程组第25页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.6牛顿流体的基本方程组基本方程组

以上方程包括7个标量方程，7个未知量：uj，ρ，p，e，T，方程组是封闭的。方程中出现的λ,μ,κ等参数均可认为是p和T的函数。对完全气体，状态方程和内能公式可分别写为，。通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示基本方程组包括连续方程，N-S方程，能量方程及状态方程和内能公式，第26页，共37页，2023年，2月20日，星期四当密度ρ为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。

2.6牛顿流体的基本方程组

不可压缩流体（动力粘性系数μ为常数）

第27页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.7边界条件第28页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.7边界条件

流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出初始条件和边界条件。初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两边的物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。

初始条件和边界条件第29页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.7边界条件

曲面上的表面张力

表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。为表面张力系数。当分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强一般不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。作两个垂直于界面曲面切平面而且相互正交的平面，它们和界面曲面交线的曲率半径分别为R1、R2，则曲面两侧压强差可表示为p1-p2第30页，共37页，2023年，2月20日，星期四2.7边界条件

液液分界面的边界条件

动力学边界条件作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，上式中指向介质1，R1、R2的曲率半径中心在指向一侧时取正值，、分别是介质1、2的应力张量。是表面张力系数。将上式分解为法向和切向分量，分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。介质2介质1第31页，共37页，2023年，2月20日，星期四

2.7边界条件

液液分界面的边界条件

运动学、热力学条件界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件），界面两侧温度和热流量相等，介质2介质1第32页，共37页，2023年，2月20日，星期四液固分界面边界条件2.7边界条件固壁静止时，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，因此应放弃动力学边界条件，第33页，共37页，2023年，2月20日，星期四液气分界面边界条件2.7边界条件由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响，应当放弃速度边界条件而采用应力边界条件，设为大气压强，为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为液气第34页，共37页，2023年，2月20日，星期四自由面的运动学边界条件2.7边界条件液气边界最典型的是水与大气的分界面，即自由面。自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，设其方程为，假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面流体质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。第35页，共37页，2023年，2月20日，星期四上式用到点的自由面法向单位矢量。自由面上点在t

时刻的法向速度为，