高中人教B第二册案：5.3.2　事件之间的关系与运算含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：5.3.2事件之间的关系与运算含解析5.3。2事件之间的关系与运算素养目标·定方向课程标准学法解读1。了解事件的包含与相等的含义及概率关系．2．理解事件和(并)、积(交）运算的含义及其概率关系．3．理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式．4．会进行事件的混合运算．通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点事件的包含与相等（1）包含关系一般地,如果事件A__发生__时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作A⊆B(或B⊇A）．用图形表示为：(2)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“__A与B相等__”，记作A＝B．思考：如果两个事件相等,则这两个事件的样本点有什么关系?提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同．即:A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点．知识点和事件与积事件（1）事件的和(并)给定事件A，B，由__所有__A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并),记作A＋B（或A∪B）．事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示．(2）事件的积（交)给定事件A，B，由A与B中的__公共样本点__组成的事件称为A与B的积(或交），记作AB（或A∩B）．事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示．思考:“A∩B＝∅”的含义是什么？提示:在一次试验中，事件A、B不可能同时发生．知识点事件的互斥与对立给定事件A，B，若事件A与B__不能同时__发生，则称A与B互斥,记作AB＝∅(或A∩B＝∅）．互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥（即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝__P（A）＋P(B）__．若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然__事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：eq\o（A,\s\up6(－）)，则：P(A)＋P(eq\o（A,\s\up6（－）））＝__1__．关键能力·攻重难题型探究题型事件关系的判断┃┃典例剖析__■典例1在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝｛出现1点}，事件C2＝｛出现2点｝，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝｛出现4点}，事件C5＝{出现5点},事件C6＝{出现6点｝，事件D1＝｛出现的点数不大于1},事件D2＝{出现的点数大于3｝，事件D3＝｛出现的点数小于5｝，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件;(2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解析]（1)因为事件C1，C2,C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5,C6,D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6;事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．(2）因为事件D2＝{出现的点数大于3｝＝{出现4点或出现5点或出现6点｝，所以D2＝C4∪C5∪C6（或D2＝C4＋C5＋C6）．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．规律方法：事件间运算方法1．利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．2．利用Venn图，借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．┃┃对点训练__■1．某市体操队有6名男生,4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生},事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生｝，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝｛选出的3人中既有男生又有女生｝．问：(1)事件D与A,B是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件?[解析］（1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．（2）对于事件C,可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生,故C∩A＝A．题型互斥事件与对立事件的判断┃┃典例剖析__■典例2从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中,任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌";(3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[解析］（1）是互斥事件,不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃"是不可能同时发生的,所以是互斥事件．同时,不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件,当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9"这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件．规律方法：互斥事件、对立事件的判定方法（1）利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．（2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．①事件A与B互斥,即集合A∩B＝∅;②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝∁IB或B＝∁IA．┃┃对点训练__■2．从一批产品中取出3件产品，设A＝｛3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品｝，C＝｛3件产品不全是次品},则下列结论正确的是__①②⑤__(填写序号）．①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立;⑤B与C对立．[解析］A＝｛3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝｛3件产品全是次品｝，C＝{3件产品不全是次品｝包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件,也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤．题型互斥事件概率加法公式的应用┃┃典例剖析__■典例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0。3,0。1。计算这个运动员在一次射击中：(1）射中10环或9环的概率;（2）至少射中7环的概率．［解析］设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E,则P（A)＝0.1，P(B)＝0。2，P(C)＝0。3，P(D)＝0。3，P（E）＝0。1．（1)∵A,B互斥,∴P（A＋B）＝P(A)＋P(B）＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3．（2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，∴P（F）＝1－P（E）＝1－0。1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D）＝0。9，即至少射中7环的概率为0。9．规律方法：（1）公式P（A∪B)＝P（A）＋P（B），只有当A，B两事件互斥时才能使用,如果A，B不互斥，就不能应用这一公式．(2）利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．┃┃对点训练__■3．甲、乙两人下棋,和棋的概率为eq\f(1,2），乙获胜的概率为eq\f（1，3)，求：（1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．［解析］(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1，2）－eq\f（1,3）＝eq\f（1，6)．(2）法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜"“和棋"这两个互斥事件的并事件，所以P（A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2）＝eq\f（2,3)．法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)＝1－eq\f(1，3）＝eq\f(2,3）.即甲不输的概率是eq\f（2，3)．易错警示┃┃典例剖析__■典例4抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1，6），记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3",求P（A＋B)．［错解]设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1,C2,C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5,B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P（C2)＝P（C3）＝P(C4）＝P(C5)＝P（C6)＝eq\f（1,6）．则P(A)＝P(C1∪C3∪C5）＝P(C1）＋P(C3）＋P（C5）＝eq\f(1，6）＋eq\f(1，6）＋eq\f(1,6）＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2）＋P（C3）＝eq\f(1,6）＋eq\f(1,6)＋eq\f(1，6）＝eq\f(1，2)．故P（A＋B）＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1，2）＋eq\f(1，2)＝1．[辨析]错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数"与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时,事件A，B同时发生，所以不能应用公式P（A∪B）＝P（A）＋P(B)求解．[正解]记事件“出现1点"“出现2点"“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A