高中人教B第二册案：6.1.4　乘向量含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：6.1.4数乘向量含解析6.1.4数乘向量素养目标·定方向课程标准学法解读1。理解数乘向量的定义及几何意义．2．了解数乘向量的运算律．3．会判定向量平行、三点共线．1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．必备知识·探新知知识点向量的数乘运算定义：实数λ与向量a的积是一个__向量__,这种运算简称数乘向量,记作λA．规定：（1)当λ≠0且a≠0时，|λa｜＝|λ||a｜，且①当λ＞0时,λa的方向与a的方向__相同__；②当λ＜0时,λa的方向与a的方向__相反__．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__0__．思考：(1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？(2）若把|λa|＝｜λ|｜a|写成|λa｜＝λ｜a｜可以吗?为什么?提示：(1）数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向．（2）不可以，当λ＜0时不成立．知识点向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则λ（μa)＝__（λμ）__a；特别地，我们有(－λ）a＝－(λa）＝λ（－a)．思考：这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么?提示：不能,数乘向量中的λ,μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立．知识点向量共线的条件如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．思考：“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b＝λA．”成立吗？提示：不成立，若a＝0,b≠0，则λ不存在．关键能力·攻重难题型探究题型数乘向量的定义┃┃典例剖析__■典例1设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有__②③__．①｜－λa|≥｜a|；②a与λ2a方向相同;③|－2λa｜＝2｜λ｜·｜a｜．［分析]根据数乘向量的概念解决．[解析]当0＜λ＜1时，｜－λa｜＜｜a|，①错误；②③正确．规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．┃┃对点训练__■1．若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为__x＞eq\f(1，2)__．［解析]由向量数乘定义可知，2x－1＞0，即x＞eq\f（1，2)．题型数乘向量的运算┃┃典例剖析__■典例2下列各式化简正确的是__②③__．①－3×2a＝－5a;②eq\f(1，2)a×3×(－2)＝－3a;③－2×eq\o(AB,\s\up6（→)）＝2eq\o（BA，\s\up6(→)）；④0×b＝0．［分析]根据向量数乘的运算律解决．[解析］因为－3×2a＝－6a，eq\f(1,2）a×3×（－2)＝－3a,－2×eq\o(AB，\s\up6（→）)＝－2eq\o（AB，\s\up6（→)）＝2eq\o（BA,\s\up6(→）），0×b＝0。所以，①④错误,②③正确．规律方法：λa中的实数λ称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘,作为新向量的系数．┃┃对点训练__■2．化简下列各式．(1）4×(－eq\f（1，8）)a；(2)－2×eq\f(1，2)×(－3a)．［解析]（1)4×(－eq\f（1，8))a＝－eq\f(1，2)A．(2）－2×eq\f（1,2)×(－3a）＝3A．题型数乘向量的应用┃┃典例剖析__■角度1判断向量共线典例3已知a＝2e,b＝－4e，判断a，b是否平行，求｜a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向．[分析]利用数乘向量的定义解决．[解析］因为b＝－4e＝－2（2e）＝－2a，所以a∥b,且2｜a|＝|b｜,即｜a|∶|b｜＝1∶2。向量a，b反向．母题探究:把本例条件改为“a＝2e，b＝3e，”其他条件不变，试判断a与b是否平行，求｜a|∶|b｜的值；若a∥b，说明它们是同向还是反向．［解析］因为b＝3e＝eq\f（3,2)(2e)＝eq\f(3，2)a，所以a∥b，且eq\f(3，2）｜a|＝|b|，即｜a｜∶|b｜＝2∶3。向量a，b同向．角度2判断三点共线典例4已知eq\o（AB,\s\up6（→）)＝e，eq\o（BC,\s\up6（→）)＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．[分析]利用数乘向量的定义解决．［解析］因为eq\o（BC，\s\up6（→）)＝－3e＝－3eq\o（AB，\s\up6(→）),所以eq\o（AB,\s\up6(→)）∥eq\o（BC,\s\up6(→）)，且有公共点B，所以A，B,C三点共线,又因为BC＝3AB,且向量eq\o(AB，\s\up6（→）），eq\o(BC,\s\up6（→））反向,如图，所以点A是线段BC的三等分点．规律方法：数乘向量的应用(1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥A．(2)如果存在实数λ,使得eq\o（AB,\s\up6(→））＝λeq\o(AC，\s\up6（→)）,则eq\o（AB，\s\up6（→)）∥eq\o(AC，\s\up6（→)),且AB与AC有公共点A,所以A,B，C三点共线．┃┃对点训练__■3．分别指出下列各题中A，B,C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比．(1)eq\o（AC，\s\up6(→））＝3eq\o(BC，\s\up6(→))；(2）eq\o（AC，\s\up6（→))＝－eq\f（1，3）eq\o(AB，\s\up6（→）)．［解析］(1）因为eq\o（AC,\s\up6（→））＝3eq\o（BC，\s\up6(→)),所以eq\o（AC，\s\up6（→))∥eq\o（BC,\s\up6（→))，又有公共的点C,所以A，B，C三点共线，且AB＝2BC，即AB∶BC＝2∶1．（2）因为eq\o（AC，\s\up6(→))＝－eq\f(1，3)eq\o(AB,\s\up6（→)),所以eq\o(AC，\s\up6（→））∥eq\o(AB,\s\up6（→）)，又有公共点A，所以A,B，C三点共线，且AB＝eq\f(3,4)BC，即AB∶BC＝3∶4．易错警示┃┃典例剖析__■典例5若点C在线段AB上，且eq\f（AC,CB)＝eq\f（3，2），则eq\o(AC，\s\up6(→))＝__eq\f(3,5)__eq\o(AB,\s\up6（→)），eq\o(BC,\s\up6(→))＝__－eq\f(2，5)__eq\o(AB,\s\up6(→))．[错解]eq\f（3,5)eq\f(2,5）设AC＝3k，则CB＝2k,所以AB＝5k，故eq\o（AC,\s\up6(→))＝eq\f(3，5）eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\f(2,5)eq\o（AB，\s\up6(→))．［辨析]解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性．［正解]因为C在线段AB上，且eq\f(AC,CB）＝eq\f(3,2)，所以eq\o（AC,\s\up6(→）)与eq\o(AB,\s\up6（→))方向相同，eq\o(BC，\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6（→）)方向相反，且eq\f（AC，AB)＝eq\f(3,5)，eq\f(BC，AB）＝eq\f（2，5），所以eq\o(AC,\s\up6(→)）