2022-2023学年湖南省部分学校高二年级下册学期3月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省部分学校高二下学期3月联考数学试题一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交补运算即可求解.【详解】，所以，故选：A2．命题“”的否定是（

）A．， B．，C．， D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用全称量词的命题的否定求解作答.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是：.故选：D3．已知，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据给定的条件，利用复数乘除法运算求出复数，即可判断作答.【详解】化为：，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B4．某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由图求得长轴长和短轴长，从而可得出，进而可得出答案.【详解】由图可知长轴长为，短轴长为，所以，，故焦距为.故选：C.5．已知函数，则的图象在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数，求导得：，则，而，因此，即，所以的图象在处的切线方程为：.故选：A6．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合，，若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，满足,综合以上可得，故选：C7．“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的,若石片接触水面时的速度低于,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(

)(参考数据:).A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,根据题意得,即,根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,由题意得,即,得.因为,所以,即.故选：C.8．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（

）A．216 B．288C．432 D．512【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合插空法、捆绑法列式计算作答.【详解】求不同的排法种数这件事需要5步：先排3位妈妈，有种方法；把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法；下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；所以不同的排法共有种.故选：C【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．二、多选题9．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用二项式定理结合赋值法计算、化简判断作答.【详解】令，对于A，，A正确；对于B，展开式的第项为，因此，B错误；对于C，显然展开式的所有奇数项系数均为负数，所有偶数项系数均为正数，因此，C正确；对于D，因为，则，D正确.故选：ACD10．已知是奇函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数在上的值域为C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度而得到D．函数的一个零点为，则【答案】AD【分析】根据辅助角公式化简，利用奇函数得，进而根据函数平移可得，根据的对称性即可判断A,根据角的范围即可求解值域判断B，根据平移可判断C,根据零点以及特殊角的三角函数值即可判断D.【详解】,由于为奇函数，所以，由于，所以，故，则，对于A,,故是对称轴，故A正确，对于B，当则所以，故B错误，对于C,，函数的图象向右平移个单位长度，故C错误，对于Ｄ，，故或，所以，故，故D正确,故选:AD11．已知点Q是圆C：上一动点，点，线段PQ的中点R的轨迹为E，则（

）A．的最大值为9B．过点P且与圆C相切的一条直线方程为C．轨迹E的方程为D．轨迹E与圆C的公共弦所在的直线方程为【答案】AD【分析】根据圆的性质求出最大值判断A；求出过点P的圆C的切线方程判断B；利用相关点法求出轨迹E的方程判断C；求出相交两圆的公共弦所在直线方程判断D作答.【详解】圆C：的圆心，半径，对于A，，A正确；对于B，显然直线与圆相切，当过点P与圆C相切的直线斜率存在时，设切线方程为，于是，解得，切线方程为，即，B错误；对于C，设点，因为R为线段PQ的中点，则点，而点Q在圆C上，因此，即，则轨迹E的方程为，C错误；对于D，由选项C知，轨迹E是以点为圆心，2为半径的圆，显然此圆与圆C的圆心距，因此轨迹E与圆C相交，两个方程相减得：，即，所以轨迹E与圆C的公共弦所在的直线方程为，D正确.故选：AD12．已知函数满足对任意，有，且，当时，，则（

）A．在上单调递增B．的一个周期为4C．的图象关于直线对称D．方程在内所有根的和为【答案】BC【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断作答.【详解】由得：，因此函数是周期函数，周期为4，B正确；，函数的图象关于直线对称，又，即，则函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称，也关于直线对称，所以的图象关于直线对称，C正确；当时，，显然，即函数在是奇函数，当时，函数在上都递增，则在上递增，函数在上递减，而函数在上递增，于是当时，在上递减，则在上也递减，所以函数在上单调递减，A错误；显然，而，因此时，，函数的周期为4，由得，，即有，而当时，，即，当时，，即，于是的零点当且仅当且，从而的零点为，所以方程在内所有根的和为，D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题13．直线与直线平行，则_________.【答案】##0.75【分析】根据给定条件，确定二直线的纵截距不等，由斜率相等列式求出a值作答.【详解】显然直线与直线的纵截距分别为，因此这二直线平行，当且仅当，解得，所以.故答案为：14．已知，则n的一个取值可能是__________.【答案】10（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用组合数公式化简不等式，并求解作答.【详解】不等式化为：，整理得：，而，解得，又，因此，所以n的一个取值可能是10.故答案为：1015．若，且，则的最大值为________.【答案】##【分析】将变为，则可将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由，且可得，则，当且仅当，结合，即时取等号，即的最大值为，故答案为：四、双空题16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为______；若，且平分，则______.【答案】

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2【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率；②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果.【详解】依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，，联立方程组得，则，．因为，所以，．因为直线的方程为，所以直线与抛物线的准线的交点为，所以直线的斜率为0．②因为平分，所以，所以．因为，所以，即所以，得．故答案为：①0；②2.五、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点D在AC边上，.(1)求AD的长；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出b，再利用余弦定理求出，然后利用等腰三角形性质求出AD长作答.（2）用三角形面积公式求出，再利用同高的两个三角形面积关系求解作答.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，，而点D在AC边上，，在等腰中，.（2）由（1）知，，因此，在中，由三角形面积公式得：，所以的面积.18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q.已知，，，.(1)求，的通项公式(2)当时，记，求数列的前n项和.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；（2）由题设有，应用错位相减法求Tn．【详解】（1）由题意知，解得或所以或（2）因为，所以.因为，所以，两式相减得，故19．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖，减少碳排放具有深远的意义，广大消费者对环保也是非常支持，但新能源车的售价却是制约消费者购买新能源车的重要因素.现从2021年某地销售的汽车（含新能源车和传统燃油车）中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格（单位：万元）分为五组：，，，，.统计后制成如下频率分布直方图.(1)求选取的1000台车中，销售价格的中位数以及销售价格在内的车的台数；(2)从选取的1000台车中各选取销售价格在和内的车，分别记为A组和B组，发现A组和B组中新能源车恰好都是2台，现从A组和B组中各随机抽取2台，记这4台车中新能源车的台数为X，求.【答案】(1)万元，700；(2).【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出a，再求出中位数及销售价格在内的车的台数作答.（2）求出A组和B组的车辆台数，再利用古典概率求出作答.【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得，数据在的频率依次为，显然销售价格的中位数，则有，解得，销售价格在内的频率为，则，所以销售价格的中位数为万元，销售价格在内车的台数为700.（2）由（1）知，在1000台车中，销售价格在和内的车分别有300台和400台，于是A组和B组的车辆台数分别为3和4，所以.20．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形为矩形，平面平面ABCD，G为AB的中点，.(1)线段AD上是否存在一点M，使得平面？请说明理由；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)存在，为AD的中点，理由见解析.(2).【分析】（1）取AD中点M，连接，证明，再利用线面平行的判定推理作答.（2）以点B为原点，建立空间直角坐标系，再借助空间向量求解作答.【详解】（1）点M为线段AD的中点，有平面.连接，因为G为AB的中点，O为正方形ABCD的中心，则，在矩形中，，于是，即四边形为平行四边形，，而平面，平面，所以平面.（2）在矩形中，，而平面平面，平面平面，平面，从而平面，在正方形中，，即直线两两垂直，以点B为原点，射线的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，令，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，因此，显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21．在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足直线与的斜率之积为5，动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过原点O作直线，直线l与曲线C相交于A，B两点，将直线向左、右分别平移个单位长度，（）个单位长度得到直线，，且直线，与曲线C分别相交于点E，F和点M，N，试判断是否存在实数t，使得成立.若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）设点，利用斜率坐标公式结合已知列出方程，再化简作答.（2）设出直线的方程，再分别求出直线，的方程，并分别与曲线C的方程联立，利用弦长公式结合已知求解作答.【详解】（1）设点，显然，依题意，，整理得：，所以曲线C的方程为.（2）显然直线不与x轴重合，设直线的方程为，由得，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，则，即，，因此，依题意，直线的方程为：，直线的方程为：，由消去x并整理得：，，设，则，于是，由消去x并整理得：，，设，则，于是，假定存在正实数，使得成立，由得：，整理得，因此，而，解得，所以正实数，使得成立，实数.22．已知函数(1)若，求不等式的解集；(2)若存在两个不同的零点，，证明：.【答案】(1);(2)详见解析.【分析】（1）由的单调性及可求解；（2）根据函数存在两个不同的零点，得，，将所证不等式