高等数学二重积分的计算法

高等数学二重积分的计算法第1页，共50页，2023年，2月20日，星期四于是在直角坐标系下可用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为若f（x，y）在有界闭区域D上可积，则积分值与区域D的分割方式及点的取法无关。一、利用直角坐标系计算二重积分第2页，共50页，2023年，2月20日，星期四设曲顶柱体的底可表示为:［X－型］积分区域其中函数、在区间上连续.1.［X－型］积分区域：第3页，共50页，2023年，2月20日，星期四则X型区域的二重积分可按如下累次积分计算第4页，共50页，2023年，2月20日，星期四同样,曲顶柱体的底可表示为［Y－型］2.［Y－型］积分区域：第5页，共50页，2023年，2月20日，星期四则Y型区域的二重积分可按如下累次积分计算第6页，共50页，2023年，2月20日，星期四

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第7页，共50页，2023年，2月20日，星期四若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第8页，共50页，2023年，2月20日，星期四化二重积分为累次积分的步骤：1.确定积分区域是X-型还是Y-型若都不是则分块2.确定积分限；3.分别进行积分。第9页，共50页，2023年，2月20日，星期四注意1若D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}为矩形区域第10页，共50页，2023年，2月20日，星期四注意2如果D既是x-型区域，又是y-型区域，将二重积分化为两种不同顺序的累次积分，结果相同.但实计算时，可能影响计算的繁简，甚至于影响到能否“积出”。因此，化二重积分为累次积分时，应注意积分次序的选择。第11页，共50页，2023年，2月20日，星期四主要题型:1.改变积分顺序(给出抽象函数)2.纯计算二重积分(给出具体的函数和区域)3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算(几个常见的函数)5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来)—利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积)4.被积函数中带绝对值第12页，共50页，2023年，2月20日，星期四1.改变积分顺序(给出抽象函数)第13页，共50页，2023年，2月20日，星期四解积分区域如图第14页，共50页，2023年，2月20日，星期四解积分区域如图第15页，共50页，2023年，2月20日，星期四0y

x2a2a例3改变积分换序aD:解0x2aD1D2D3第16页，共50页，2023年，2月20日，星期四练习:改变积分顺序第17页，共50页，2023年，2月20日，星期四2.纯计算二重积分(给出具体的函数和区域)第18页，共50页，2023年，2月20日，星期四11y=x20y

xD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3

先对x积分（从左到右）...y=x...例5：计算第19页，共50页，2023年，2月20日，星期四例7.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,第20页，共50页，2023年，2月20日，星期四3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算(几个常见的函数)第21页，共50页，2023年，2月20日，星期四解第22页，共50页，2023年，2月20日，星期四解第23页，共50页，2023年，2月20日，星期四4.被积函数中带绝对值第24页，共50页，2023年，2月20日，星期四例10解先去掉绝对值符号，如图第25页，共50页，2023年，2月20日，星期四5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来)—利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积)第26页，共50页，2023年，2月20日，星期四解曲面围成的立体如图.第27页，共50页，2023年，2月20日，星期四第28页，共50页，2023年，2月20日，星期四例13求两个垂直的底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第29页，共50页，2023年，2月20日，星期四二、利用极坐标系计算二重积分在平面上取定一点O，由O出发引一条射线Ox，并取定一个长度单位和计算角度的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点M的位置就可以用OM的长度r和从Ox到OM的角度

来刻划，称为M在这个极坐标系中的极坐标，O点称为极坐标系的极点，Ox称为极轴。xrMO第30页，共50页，2023年，2月20日，星期四第31页，共50页，2023年，2月20日，星期四二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征:积分域在极点外第32页，共50页，2023年，2月20日，星期四区域特征如图第33页，共50页，2023年，2月20日，星期四二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征:积分域的边界过极点第34页，共50页，2023年，2月20日，星期四极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征:极点在积分域内第35页，共50页，2023年，2月20日，星期四0y

x2a..解例1.第36页，共50页，2023年，2月20日，星期四此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0y

xD:变换到极坐标系..例2计算第37页，共50页，2023年，2月20日，星期四2R区域边界：x=0.0y

x即r=2Rsinr=2Rsin例3.第38页，共50页，2023年，2月20日，星期四0y

x12

y=xD...例4第39页，共50页，2023年，2月20日，星期四解例5.a-a0第40页，共50页，2023年，2月20日，星期四y0x第41页，共50页，2023年，2月20日，星期四练习第42页，共50页，2023年，2月20日，星期四解xy0第43页，共50页，2023年，2月20日，星期四例12第44页，共50页，2023年，2月20日，星期四解第45页，共50页，2023年，2月20日，星期四第46页，共50页，2023年，2月20日，星期四第47页，共50页，2023年，2月20日，星期四解第48页，共50页，2023年，2月20日，星期四.xy01D第49页，共50页，2023年，2月20日，星期四作业P951(2),(4);2(1),(