高等数学概率 大数定律

高等数学概率大数定律第1页，共18页，2023年，2月20日，星期四

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.第2页，共18页，2023年，2月20日，星期四

与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律

研究大量的随机现象时，随机试验的次数n要足够大，因此常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:第3页，共18页，2023年，2月20日，星期四第五章第二节大数定律第4页，共18页，2023年，2月20日，星期四一、切贝谢夫不等式设随机变量有期望值和方差，则任给，有或证明：如果是连续型r.v.，其概率密度为，则第5页，共18页，2023年，2月20日，星期四切贝谢夫不等式的意义：给出了r.v.的分布未知时，事件“”的概率的一个估计。

切贝谢夫不等式的适用范围：（1）期望和方差已知（或易求得）；（2）估计落入内的概率。第6页，共18页，2023年，2月20日，星期四例1、已知正常男性成人的血液中，每毫升的白细胞数平均为7300，均方差为700，试估计每毫升血液中白细胞数在5200~9400之间的概率。解：设正常男性成人每毫升血液中白细胞数为，则第7页，共18页，2023年，2月20日，星期四

大量的随机现象中平均结果的稳定性

大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率

字母使用频率

生产过程中的废品率

……

第8页，共18页，2023年，2月20日，星期四二、大数定律1、依概率收敛：若存在常数a，使对于任何，有则称随机变量序列依概率收敛于a。第9页，共18页，2023年，2月20日，星期四切贝谢夫

2、切贝谢夫定律：设…是相互独立的随机变量序列，各有数学期望…及方差…并且对于所有i=1,2,…都有，其中l是与i无关的常数，则任给，有证明：因为…相互独立，所以第10页，共18页，2023年，2月20日，星期四由夹逼定理即得根据切贝谢夫不等式，对于任意，有即第11页，共18页，2023年，2月20日，星期四切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述

切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{}，如果方差有共同的上界，则与其数学期望

偏差很小的

概率接近于1.

随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是第12页，共18页，2023年，2月20日，星期四贝努里

引入i=1,2,…,n

作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.

设是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则

是事件A发生的频率第13页，共18页，2023年，2月20日，星期四

于是有下面的定理：3、贝努里大数定律或贝努里

设是n重贝努里试验中事件A发生的

次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，第14页，共18页，2023年，2月20日，星期四

贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.任给ε>0，

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.第15页，共18页，2023年，2月20日，星期四下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.4、辛钦大数定律辛钦

设随机变量序列…独立同分布，具有有限的数学期望,

i=1,2,…，

则对任给ε>0，

辛钦大数定律使算术平均值的法则有了理论根据.第16页，共18页，2023年，2月20日，星期四

例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n

较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.第17页，共18页，2023年，2月20日，星期四这一讲我们介绍