高中数学正弦定理

高中数学正弦定理课件第1页，共56页，2023年，2月20日，星期四第2页，共56页，2023年，2月20日，星期四1．1正弦定理第3页，共56页，2023年，2月20日，星期四第4页，共56页，2023年，2月20日，星期四第5页，共56页，2023年，2月20日，星期四二、解三角形1．解三角形时常用的结论(1)在△ABC中，A>B⇔⑤________⇔⑥________；(即在一个三角形中大边对大角)(2)a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(3)内角和定理：△ABC中，A＋B＋C＝⑧________.第6页，共56页，2023年，2月20日，星期四2．正弦定理的应用利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任意一边，求其他⑨________和⑩________；(2)已知两边和其中一边的对角，求⑪________，从而进一步求出其他的边和角．对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180°求得⑫________，再利用正弦定理求其余两边；对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现⑬________三种情况．第7页，共56页，2023年，2月20日，星期四友情提示：在△ABC中，如果已知边a，b和角A，解的情况讨论如下：一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．①A为锐角，如下图：a<bsinA

a＝bsinA

bsinA<a<b

a≥b

⑭________解⑮________解⑯________解⑰________解第8页，共56页，2023年，2月20日，星期四②A为直角或钝角，如下图．⑱________解⑲________解⑳________解________解第9页，共56页，2023年，2月20日，星期四归纳列表如下：第10页，共56页，2023年，2月20日，星期四第11页，共56页，2023年，2月20日，星期四1.正弦定理的推导方法对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导．如图，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系．第12页，共56页，2023年，2月20日，星期四第13页，共56页，2023年，2月20日，星期四第14页，共56页，2023年，2月20日，星期四另外，我们也可以从△ABC的外接圆来进行推导，如图．当△ABC为直角三角形时，如图①所示，其外接圆的圆心O位于Rt△ABC的斜边AB上，R为外接圆的半径．第15页，共56页，2023年，2月20日，星期四第16页，共56页，2023年，2月20日，星期四第17页，共56页，2023年，2月20日，星期四第18页，共56页，2023年，2月20日，星期四第19页，共56页，2023年，2月20日，星期四第20页，共56页，2023年，2月20日，星期四第21页，共56页，2023年，2月20日，星期四第22页，共56页，2023年，2月20日，星期四第23页，共56页，2023年，2月20日，星期四第24页，共56页，2023年，2月20日，星期四2．已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？利用数形结合和三角函数知识来分析．例如：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：方法一：可以作图，利用数形结合加以说明．如下表所示：第25页，共56页，2023年，2月20日，星期四第26页，共56页，2023年，2月20日，星期四第27页，共56页，2023年，2月20日，星期四具体解题时，作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．第28页，共56页，2023年，2月20日，星期四第29页，共56页，2023年，2月20日，星期四第30页，共56页，2023年，2月20日，星期四分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量．本题已知△ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形内角和公式求得角C，进而求出边c.第31页，共56页，2023年，2月20日，星期四第32页，共56页，2023年，2月20日，星期四第33页，共56页，2023年，2月20日，星期四[变式训练1]在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.第34页，共56页，2023年，2月20日，星期四第35页，共56页，2023年，2月20日，星期四[例2]

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b＝5，∠B＝30°，若c＝ ，解此三角形．第36页，共56页，2023年，2月20日，星期四第37页，共56页，2023年，2月20日，星期四分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧．第38页，共56页，2023年，2月20日，星期四第39页，共56页，2023年，2月20日，星期四第40页，共56页，2023年，2月20日，星期四

[例3]

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断．第41页，共56页，2023年，2月20日，星期四第42页，共56页，2023年，2月20日，星期四[变式训练3]在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．第43页，共56页，2023年，2月20日，星期四第44页，共56页，2023年，2月20日，星期四[例4]如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sinα＋cos2β＝0；(2)若AC＝DC，求β的值．第45页，共56页，2023年，2月20日，星期四分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决．第46页，共56页，2023年，2月20日，星期四第47页，共56页，2023年，2月20日，星期四第48页，共56页，2023年，2月20日，星期四第49页，共56页，2023年，2月20日，星期四第50页，共56页，2023年，2月20日，星期四解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解．第51页，共56页，2023年，2月20日，星期四[例5]

(2009·辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，

≈1.414，≈2.449)．第52页，共56页，2023年，2月20日，星期四分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力．求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题．在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性．解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.第53页，共56页，2023年，2月20日，星期四