2023届高三数学一轮基础巩固第9章第1节空间几何体及其直观图、三视图（含解析）新人教B版

PAGE1-【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第9章第1节空间几何体及其直观图、三视图新人教B版一、选择题1.（2013·保定调研)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是（)A.9 B.11Ｃ．13ﻩD.１5[答案］B[解析]由正视图、侧视图可知，几何体的体积最大时，底层有９个小正方体，上面有2个，共11个，最大体积为11，所以选B.2．(20１4·河南南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()[答案]Ｃ［解析]由条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，为虚线.故选C．３．(2014·江西师大附中期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．1 B．ｅq\f(1，3)C.eq＼ｆ(１,2) D.eq＼f(2，3)［答案]B[解析]由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为1×1＝１，则四棱锥的体积为ｅq＼f(1,3)×1×1＝ｅq\f(1,3）,故选Ｂ.４．(文)(２014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于(）A.1ﻩB.2C.3 D．4[答案］B[解析]根据三视图得如图所示的三棱柱，即底面ＡＢC是直角三角形的直棱柱.要想得到最大的球,只需球与三个侧面都相切.因为直角三角形中，6２＋82＝102,所以直角三角形AＢＣ的内切圆半径为r＝eq\ｆ（６+8－10，２)=２，故得到的最大球的半径为2．（理)(2０14·浙江理)某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（)A．9０ｃm２ Ｂ．１29ｃm2C.132ｃm2ﻩD．13８cm２[答案]Ｄ[解析]由题干中的三视图可得原几何体如图所示．该几何体由长方体和直三棱柱组成，长方体长、宽、高分别为6cm、４cm、3ｃm，直三棱柱底面三角形三边长为3cm,4cm,5cm，高为3cm.故该几何体的表面积S＝(2×４×6＋2×3×4＋３×6+3×3）＋(3×４+3×５+2×eｑ\f(1,2)×3×4)＝138(cｍ2）,故选D.5.(文)(2０14·新课标Ⅰ)如图,网格纸上小正方形的边长为１,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()Ａ.6eq\r（2）ﻩＢ.6C.4eq\ｒ(2) Ｄ.4[答案］B[解析］由三视图可知,该几何体是一个三棱锥S-ABＣ，底面ABＣ为等腰直角三角形,直角边长ＡB＝BC=4，侧面SＢC⊥底面ABＣ，侧面SBC是一个等腰三角形，底边BＣ=4,高ＳO＝４,故其最长的棱为SＡ,取BC的中点O,则SO⊥平面ABC，∴BO=２,ＡＯ＝eq＼r(AB2＋BＯ２)＝eｑ\ｒ(2０),∴SＡ=ｅq\r（AO2+SO2）=6,其直观图如图１．把该几何体放入正方体中如图２．(理)(２０15·江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学联考)如图三棱锥V-AＢC，VＡ⊥VＣ,AB⊥BＣ，∠VAC＝∠AＣB=3０°，若侧面VAC⊥底面ＡBC,则其主视图与左视图面积之比为（）A．４eq\r(3) Ｂ.４eq\r（7)C.ｅq\ｒ(3)ｅq＼r(7）ﻩD．eｑ\r(7)eｑ\r(３）[答案］A［解析]主视图为Rｔ△VAC，左视图为以△VＡC中ＡC边上的高VD为一条直角边，△ABC中AＣ边上的高BE为另一条直角边的直角三角形．设AC＝x,则VＡ=eq\f（\r(3），２)x，VC=eｑ＼ｆ(1,２)ｘ，∴VD＝eq\f(\ｒ(3),４)x,BＥ=eq\f(\r(3)，4)ｘ，则S主视图Ｓ左视图＝(ｅq＼f（１，2）·eｑ\f(\r(3),2)x·eq\f（1，2）x）（eq\f(1,2)·ｅq\f(＼r（３),４)ｘ·ｅq\f(\r(3)，４)x）＝４eｑ\r(3),故选A.6.（2015·忻州一中测试)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为()A．eq\f(9,２) B．3C.4ﻩD.eq＼f(3\ｒ(10），2)[答案]Ａ[解析］由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，且切去棱台的下底面直角三角形的直角边长为１，其直观图如图.∴截面为等腰梯形,且两底边长分别为ｅq＼r(2),2eq＼r（2)，腰长为ｅq\r(5)，∴梯形的高为eq＼r（5－\f(1,2）)＝ｅｑ＼f(３\ｒ(２),2），∴截面面积S＝eq\ｆ（\r(2)＋２\r（2)，2)×ｅｑ\f(3\r(2)，2）＝eｑ\f(9,2),故选A．二、填空题7．(文)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cｍ),其中正（主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是___＿＿_＿＿cm3.[答案]eq\f(３,2)[解析］依据三视图知,该几何体的上、下底面均为矩形,上底面是边长为1的正方形,下底面是长为２，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形,其直观图如图所示,易知该几何体是四棱柱ABCD－A１B1Ｃ１D1，其体积V=Ｓ梯形ABCD·AA1＝ｅq＼f（1+2×１,２)×1=eq＼ｆ(3，2)cm3.(理)(201３·长春三校）在三棱柱ABＣ-Ａ′Ｂ′C′中，已知AＡ′⊥平面ABＣ，AＡ′=2，BC=2ｅｑ\r(３)，∠BＡC＝eq\f(π,2)，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的体积为＿＿___＿__．[答案]eq\f（32π,３）[解析]如图，依题意可知,球心O到平面ABC的距离为eｑ＼f(1,2)AA′＝1，平面ＡBC所在圆的半径为eq＼f（１,2）BC=ｅq＼r(3)，则球的半径为eｑ\r(12+\r(3）2)＝２,则球的体积为eｑ\f（4,3）×π×23=eq\f（3２π，3）.［解法探究]一般地，在题设条件中有两两垂直的三条线段时,常考虑长方体进行补形.∵AＡ′⊥平面ABC,∠BAＣ＝90°，∴可将三棱柱ABＣ－A′B′C′补成长方体ABEC-A′B′E′C′，则此长方体内接于球;设球半径为Ｒ，则2R=eｑ＼r(AＢ2＋ＡC2＋ＡA′2)＝eq\r(BC2+ＡA′２)＝eq\r(２\r(３)2＋22)=４，∴Ｒ=2，∴V球=eｑ\f(４,３)πR3=eq＼f(3２π,３）.8．在棱长为1的正方体ＡBCＤ－A1Ｂ１C１Ｄ１中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交ＣC1于F，得四边形BFD1E,给出下列结论：①四边形ＢＦＤ1E有可能为梯形；②四边形BFＤ1Ｅ有可能为菱形;③四边形BFＤ１E在底面AＢCＤ内的投影一定是正方形；④四边形BFＤ1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BＦD1E面积的最小值为eq＼ｆ（\ｒ(６),２)．其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号）[答案]②③④⑤[解析]∵平面AＤD1A1∥平面ＢCＣ1Ｂ1，平面BFD１E∩平面ＡDＤ１A1=D1E,平面ＢFD1E∩平面BCC１B1=BF，∴D1E∥BF；同理BE∥ＦＤ１，∴四边形ＢＦD１E为平行四边形,①显然不成立；当E、F分别为AＡ1、CC1的中点时,易证BＦ=FD１=D１Ｅ＝BＥ，∴EＦ⊥BD1，又EF∥AC,AＣ⊥ＢD，∴EF⊥ＢD,∴ＥF⊥平面BB1D1Ｄ，∴平面BFD1E⊥平面ＢＢ1Ｄ１Ｄ,∴②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为ＡＡ1、ＣC1的中点时,四边形ＢFD1Ｅ的面积最小，最小值为eq\f(\ｒ(６),2).９.(2015·开封四中期中)已知正△ABC三个顶点都在半径为２的球面上，球心Ｏ到平面ABＣ的距离为１,点E是线段AB的中点,过点Ｅ作球Ｏ的截面,则截面面积的最小值是________．[答案］eｑ\ｆ(9π,4)[解析］∵球O的半径为2，O到平面ＡBC的距离为１，∴△ABＣ外接圆的半径为eq＼r(3），∴AB＝3，过点E作球O的截面,当截面面积最小时，截面圆以ＡB为直径，其面积Ｓ＝π·(eq\f(3,2）)2＝eq\f(9π,4)．三、解答题10.(文)(２0１3·广州调研)已知四棱锥Ｐ－ＡBＣD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,如图分别是四棱锥P－ABCＤ的侧视图和俯视图．(１)求证：AD⊥PＣ；(２)求四棱锥P-ABCD的侧面PAＢ的面积.[解析](1)由俯视图可知点P在平面ABCD上的射影是线段CD的中点E,如图,连接ＰE，则PE⊥平面AＢCD．∵AD⊂平面ABCＤ,∴AD⊥PＥ．∵ＡD⊥CD,ＣD∩ＰＥ＝E，CＤ⊂平面PCD,ＰE⊂平面ＰCD,∴AD⊥平面ＰCＤ.∵PＣ⊂平面PCD，∴AＤ⊥PC.(2)依题意,在等腰三角形PCD中,PC=ＰＤ=3，DE＝EC＝2,在Rt△PED中,PＥ=eq\ｒ(PD2－DE2）=ｅq\ｒ(5).过点E作ＥF⊥AB,垂足为Ｆ,连接PF，∵PＥ⊥平面ABCＤ，ＡB⊂平面AＢCD，∴AB⊥ＰＥ．∵ＥF⊂平面PEF，PE⊂平面PＥF，EＦ∩PE＝E,∴AB⊥平面ＰEＦ.∵PF⊂平面ＰEF,∴ＡＢ⊥ＰF.依题意得EＦ＝AＤ=2．在Rt△PEF中,ＰF＝eｑ＼r(PＥ2＋ＥF２)=3，∴△PAＢ的面积S=ｅq\f(1,２)·ＡB·PF=6.∴四棱锥P－ABCD的侧面PAＢ的面积为6.(理)如图甲,在三棱锥P-ＡBＣ中,PＡ⊥平面ABC，AC⊥ＢＣ,D为侧棱PC上一点，它的正（主)视图和侧(左）视图如图乙所示.（1)按照三视图的要求,画出三棱锥的俯视图；(2)证明：AＤ⊥平面PBC;（3)在∠ACB的平分线上确定一点Ｑ,使得PＱ∥平面ABＤ，并求此时ＰＱ的长.[解析](１)如图.(２）∵ＰA⊥平面ABＣ，∴ＰA⊥BC,又AC⊥BC，AC⊂平面PAC,ＰＡ⊂平面PAC，AＣ∩PA＝Ａ，∴ＢC⊥平面PAC，又∵AD⊂平面PAC,∴AD⊥BC．又由三视图知，PA=AC=4,D为PC中点,∴AD⊥PC，又∵BC∩PC=C.BC⊂平面PBC，ＰC⊂平面ＰBＣ，∴AD⊥平面PBC．(3）取AB的中点O,连接CO并延长至Q，使ＣQ＝2ＣO，点Q即为所求.∵O为CＱ中点，Ｄ为PC中点，∴PQ∥OD，又∵ＰQ⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,∴PQ∥平面ＡBD，连接AQ，BＱ，四边形ＡＣBＱ的对角线互相平分，∴ACＢQ为平行四边形，∴AQ＝4.又∵ＰA⊥平面AＢC,∴PA⊥AQ，在Rｔ△ＰAＱ中，ＰQ＝eq\r(PＡ２＋AQ２)=eq＼r(42＋42)＝4eq\ｒ(2).一、选择题1１.(2０13·新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16＋８π B．8＋８πＣ.16＋１6πﻩＤ．８＋１6π[答案]A[解析］该几何体是一个组合体,其中上面是一个长、宽、高分别为４,２,２的长方体，下面是底面半径为2,高为4的半圆柱,故体积V＝Ｖ上+V下=4×２×2+eq\ｆ（1,2）×π×2２×4＝1６＋8π.1２．(2014·安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCＤEF中,已知ABCD是边长为１的正方形,且△ADE,△BＣＦ均为正三角形,EF∥AB,EＦ＝2，则该多面体的体积为(）A.ｅq＼ｆ(\r(2),3）ﻩＢ.eｑ\f(\ｒ（3),3)C．ｅq\f(4,3)ﻩD．ｅq\f（3,２)［答案]A[解析]方法一:如图所示，分别过Ａ，B作EF的垂线,垂足分别为G,Ｈ,连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为eq\f（1,２)，直三棱柱柱高为1，AG=eｑ\r（12-\f(1,2)2)＝eｑ\f(\r（３）,2)，取AＤ中点Ｍ,则MＧ＝eｑ＼f(\ｒ（２),2)，∴Ｓ△AGD＝eq\f(1,２)×１×eｑ＼ｆ(\r(2),2)＝eq\f（\r（２),4),∴V＝eq\ｆ(\r(２）,4)×1+2×(eｑ\f(1,３)×eq\ｆ(\ｒ(2）,4)×eq\f(1,2)）＝eq\f(\r(2),３).方法二:如图所示,取ＥF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P－ＡEＤ和三棱锥P-ＢCＦ都是棱长为1的正四面体,四棱锥Ｐ-ABＣＤ为棱长为1的正四棱锥．∴V＝eq\f(1,３)×12×eq＼f(＼r(2),2）+2×eq\f(１,3)×eq\ｆ(\r(3),4）×eq＼f（\r（6)，３)＝eq＼f(\r(２），3).１3．（2０14·新课标Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cｍ),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃｍ,高为６cｍ的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()Ａ.eq＼f(17，２７）ﻩＢ．eq\f(5，9）C．eｑ\f（10，27） D．eq\f(1,3）［答案]C[解析]由三视图可知，该零件是由两个圆柱组合而成，两个圆柱的体积之和V＝V1+V2=π×２２×4+π×３2×２＝3４π.底面半径为3cｍ,高为６cm的圆柱体毛坯的体积V＝π×3２×6＝５4π,所以切削掉部分的体积为54π－3４π=20π,故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为ｅq\f（20π,5４π)=eｑ\f(10,27)，故选C.１４．(文)(2014·北京)在空间直角坐标系O-ｘｙz中，已知A(2,0,0)，B（2，２,0),C(0,2,0),D(1,1,eq\r(2)),若S1、S２、S3分别是三棱锥D-AＢC在xOy、yＯｚ、ｚOｘ坐标平面上的正投影图形的面积,则(）A．S1=Ｓ2＝S3ﻩB.S2＝Ｓ１且S２≠S3C．S3=S1且S3≠Ｓ2ﻩD．S3=S２且Ｓ3≠Ｓ1[答案]D[解析]如图，在空间直角坐标系中，S1＝eｑ\f(1,２)ＡB·BＣ＝2，S２＝eｑ\f(１,2）AB·DE＝eq＼r（2)，Ｓ3＝eｑ\f(1，2）ＢC·DE＝eq＼r（２),∴S1>S２＝Ｓ3，故选D.(理）(2015·四川遂宁中学月考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2πﻩB.８－πC．8-eｑ\f（π,2) D.8-eq\ｆ（π,4)[答案]B[解析]由三视图可知，该几何体是将一个棱长为2的正方体截去两个相等的柱体,柱体是底面半径为１的圆柱的ｅq\f（1,4），故体积Ｖ=２3-(eq＼ｆ(1,4)π·12)×2×２＝８-π.二、填空题15.（201３·武汉武昌区联考）已知某几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为_＿__＿__＿.[答案]26π[解析］由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6,高为2eq\ｒ(3)的圆台，则几何体的全面积Ｓ＝π×12＋π×32+π×(1+3)×ｅq\r(2\r（3）2＋22）＝26π.16．（20１4·福州模拟)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是＿_＿_＿_＿_.[答案]1[解析]由斜二测画法的规则可知①正确；②错误,是一般的平行四边形；③错误，因为平行投影保持平行性，所以等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误.三、解答题1７．(文)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:ｃｍ).(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.［解析］（1)如图.(2)所求多面体体积Ｖ＝V长方体-Ｖ正三棱锥=4×4×６-ｅｑ\ｆ(1,3)×ｅq\b＼lc\(\rc＼)(\a＼vs4\ａl\co1(\f(１,2）×2×２)）×２＝ｅq\f（284,3）(cm3).（理)(2015·东北三省四市联考)已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1)求证:BN⊥平面C1B１N;(2)求直线C1N与平面CNＢ1所成角的正弦值．[解析](1)证明：由三视图可知BC⊥平面ＡBB1N，以B为原点,BA,BＢ1，BC所在直线为x，y,z轴建立空间直角坐标系,则有B(0,0,0),Ａ（４,0,0），N(４，４，0),B1（０，８，０)，C(0,0，4),C1(０,８,４），ｅｑ＼o（BＮ,\ｓ＼uｐ6（→))=(４,4,０），eq\o(Ｂ1N，\s＼up6(→))=(4，－4,０）,C1Ｎ=(4,-4，－４)，则有eq\o(BN,＼ｓ＼ｕp6（→)）·eq\o(B1N,\s\ｕp６(→)）=０,ｅq\ｏ(ＢN,＼s＼ｕp６（→))·eq\o(C1Ｎ,\s\ｕｐ6(→））＝0且B１N∩C1N=N,∴ＢＮ⊥平面Ｃ1B１Ｎ.(2)设平面CNB１的法向量n=(x,y,z）,则n·ｅq\o(ＣN,\s\up6(→)）=0,n·eq\o(CB1,\s\uｐ6(→))=0,又∵ｅq＼o(ＣN,\s\ｕp6(→)）=(4,４,-4）,eq＼o(CB1,＼s\up6(→))＝(0，8,-4),∴eq\ｂ\lｃ＼{\rc＼(\ａ\vｓ4＼al\co１(4ｘ+4y－4ｚ=0,,8ｙ-４z=0，))令y＝１,得平面CNB1的一个法向量为n＝（１,1,２），设C1N与平面CNB1所成的角为θ,则sｉnθ＝ｅq\ｆ(｜\o(Ｃ1N,\s\ｕｐ6（→）)·n|，｜\o(C1N，＼s＼up6(→）)||ｎ｜)＝eｑ\f(\ｒ(2),3)，∴直线C1N与平面ＣNB１所成角的正弦值为eｑ\f(\r(2)，3）.１8.(文)(2014·陕西文)四面体ABＣD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AＢ,BＤ，DC，CＡ于点E,F，Ｇ,H.(１)求四面体ＡBCD的体积；(２)证明：四边形ＥＦGH是矩形.[解析］(1）由该四面体的三视图可知,BD⊥DC，ＢＤ⊥AＤ,AＤ⊥DC，ＢD＝CD=２，AD=１,∴ＡD⊥平面ＢDＣ，∴四面体体积V=eq\f(1,３)×eq＼f(1，２)×2×2×1＝eq\ｆ(2,3)．(2)∵BC∥平面EFGH，平面EFＧH∩平面ＢＤＣ＝ＦＧ，平面ＥFＧH∩平面AＢC=EH,∴ＢC∥FG,ＢC∥EH，∴FG∥ＥH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EＦ∥HG，∴四边形EＦGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC．∴AＤ⊥BC，∴EF⊥ＦG.∴四边形ＥFＧH是矩形．(理)(20１4·广东六校联考）已知几何体A-ＢCＥD的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.（1）求此几何体的体积Ｖ的大小;(２）求异面直线ＤE与AＢ所成角的余弦值;(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQ⊥BQ,并说明理由．[解析］（1)