2023届高三数学一轮基础巩固第9章第5节线面、面面垂直的判定与性质（含解析）新人教B版

PAGE1-【走向高考】2０16届高三数学一轮基础巩固第９章第５节线面、面面垂直的判定与性质新人教Ｂ版一、选择题1.(文)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a,在平面α内一定存在一条直线ｂ,使得a与b()A.平行ﻩＢ．相交C.异面 D.垂直[答案］D[解析]当a与α相交时，平面内不存在直线与ａ平行;当a∥α时,平面内不存在直线与a相交；当a⊂平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′,当b⊂α，ｂ⊥a′时，有ｂ⊥a，故选D.(理）（2０13·深圳模拟)已知直线ｍ、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m,n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（)A．m∥n B.n⊥mＣ.n∥α D．ｎ⊥α[答案］B[解析］两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故选Ｂ.2.(文)(２０14·温州十校联考)关于直线a，ｂ，l及平面α,β,下列命题中正确的是(）A.若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥bＢ．若a∥α，ｂ⊥ａ,则b⊥αC．若a⊂α,ｂ⊂α,且l⊥a,l⊥b，则l⊥αD.若a⊥α，a∥β，则α⊥β[答案］Ｄ[解析]平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定,故A错；a∥α,b⊥a时,经过ｂ与a垂直的平面α内任一条直线l都与a垂直,但l与α的位置关系不确定,每一条直线ｌ都可取作直线ｂ，故B错;对于Ｃ，当a与b相交时，结论成立,当a与b不相交时,结论错误，故C错；∵a∥β,设经过a的平面与β相交于c，则ａ∥c,∵a⊥α，∴ｃ⊥α，∴α⊥β，故D正确．（理)（2014·浙江温州第一次适应性测试）ｍ是一条直线，α,β是两个不同的平面，以下命题正确的是()Ａ．若m∥α,α∥β，则ｍ∥βB．若m∥α，m∥β,则α∥βC．若m∥α,α⊥β，则m⊥βD.若m∥α,ｍ⊥β,则α⊥β[答案]Ｄ［解析］若m∥α，α∥β,则m∥β或m⊂β，A错误；若m∥α,m∥β，则α∥β或α∩β＝l,且m∥ｌ,B错误；若m∥α,α⊥β,则m⊥β或m∥β或ｍ⊂β，C错误;∵ｍ∥α，∴存在直线n⊂α,使m∥n,∵m⊥β,∴n⊥β，又∵ｎ⊂α,∴α⊥β，故选D.3．(文)(２014·运城模拟)已知两条不同的直线a,b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β,那么α⊥β是a⊥ｂ的（)A.充分不必要条件ﻩB．必要不充分条件C．充要条件ﻩD．既不充分也不必要条件[答案]Cｅq\b\ｌｃ\\rｃ\}（\ａ\ｖs4\al＼co１(＼b＼lc＼\rｃ\}(\ａ\vs4\ａl\co１([解析］α⊥β,ａ⊥α））⇒ａ∥β或a⊂β,,，b⊥β)）⇒a⊥b；eｑ\b\lc＼\ｒc\}（＼a\vs4\al\co1（\b\lｃ\\rｃ\}(\ａ\ｖｓ４\al\co1(a⊥α，a⊥b））⇒b∥α或b⊂α，,,b⊥β))⇒α⊥β.(理)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内，直线b在平面β内,且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥ｂ”的（)A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件ﻩD．既不充分也不必要条件[答案]Ａ[解析]①∵α∩β＝m,ｂ⊂β,α⊥β，b⊥m，∴b⊥α,又∵a⊂α，∴ｂ⊥ａ.②当a⊂α,a∥ｍ时，∵ｂ⊥ｍ,∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直,故选A.4.(文)（20１5·绍兴一中期中)如图，PＡ垂直于正方形ABＣＤ所在平面,则以下关系错误的是()Ａ．平面PCD⊥平面ＰADB.平面PCＤ⊥平面PＢＣC．平面ＰAB⊥平面PBCD.平面PAＢ⊥平面ＰAＤ[答案]B[解析］∵PA⊥平面ＡBＣD,ABCD为正方形，∴CD⊥平面ＰAD,BC⊥平面PAB,AB⊥平面PＡD,∴A、C、D正确,选B.（理)（2014·望江期中)在正四面体P-ABC中,D、Ｅ、F分别是AB、BＣ、CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PＤF Ｂ．ＤF⊥平面PAＥC．平面PDF⊥平面ABＣﻩD．平面PAE⊥平面ABC[答案］C[解析]∵D、F分别为ＡB、ＣA中点，∴DＦ∥BC.∴ＢC∥平面ＰDＦ,故A正确．又∵P-AＢＣ为正四面体,∴P在底面AＢC内的射影O在AE上.∴PO⊥面ＡＢC．∴PＯ⊥DF．又∵E为BC中点,∴ＡE⊥BC，∴AE⊥DＦ.又∵PO∩AＥ＝O,∴DF⊥平面PAＥ,故Ｂ正确．又∵PO⊂平面PＡE，PO⊥平面ABC，∴平面ＰAE⊥平面ABC,故D正确.∴四个结论中不成立的是Ｃ．5．（201５·浙江桐乡四校期中联考）设a,b,c是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时,若ｃ⊥β，则α∥βＢ．当b⊂α时,若ｂ⊥β，则α⊥βC．当b⊂α,且c是ａ在α内的射影时,若ｂ⊥c,则ａ⊥bD.当ｂ⊂α,且c⊄α时,若c∥α，则b∥ｃ[答案］B[解析]A的逆命题是“当c⊥α时,若α∥β，则ｃ⊥β”,A的逆命题正确;B的逆命题是“当ｂ⊂α时,若α⊥β，则b⊥β”,只有当ｂ垂直于α与β的交线时,才是正确的,故选B．另外由线面平行的判定定理知Ｄ的逆命题正确;由三垂线定理及其逆定理知,C及其逆命题正确.6.（201４·皖南八校联考）正四面体ABＣD的棱长为1,Ｇ是△ABC的中心,M在线段ＤG上,且∠AMB＝9０°，则GM的长为（)A．eq\ｆ（1,2)ﻩB．ｅq\ｆ(\r(2）,２)C.eq\f（＼ｒ(３),3)ﻩＤ．eq\f(\r(６),6)[答案]Ｄ［解析]∵G是正四面体ＡBCD的面ABC的中心，M在DG上,∴MA＝MB,又∠ＡMB=90°,AＢ＝１,∴ＭＡ＝ＭB＝ｅｑ\ｆ(\ｒ(2)，2),又ＡＧ=ｅｑ\f（\r(3),3)，∴MG=eq\r(MA2－ＡＧ2)=ｅq\r(＼ｆ（\r(2）,2)２－\f(\r（3),3)2）＝ｅq\f(\r（6),6）.二、填空题７．(文）设ｘ、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、ｚ均为直线；②x、ｙ是直线,z是平面；③z是直线，x、ｙ是平面;④x、y、ｚ均为平面，其中使“ｘ⊥z且y⊥ｚ⇒x∥y”为真命题的序号是_＿＿__＿＿＿.[答案]②③[解析]当x、ｙ为直线,z为平面时,有ｘ⊥z,y⊥z⇒x∥y；当x、y为平面，z为直线时,有x⊥z，y⊥z⇒ｘ∥y，故②③正确．[点评]由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题．(理)正四棱柱ＡBＣD－A1B1Ｃ1Ｄ1的底面边长为1,AＢ1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCＤ的距离为＿__＿＿_＿_.[答案］eq\r（３)［解析］依题可知∠Ｂ1ＡB＝60°,平面A1B１C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1Ｂ１C1D1，∴B1B即为所求距离，在△ABＢ１中得,Ｂ１B=eq＼r（3).８.已知四棱锥P－ＡBCD的顶点都在球O的球面上，底面AＢＣD是矩形,平面PAD⊥底面ＡＢＣD,△PAＤ为正三角形,AＢ=2AD=4，则球Ｏ的表面积为__＿_＿＿＿_.［答案]eｑ\f(64π,３)[解析］过P作PE∥AB交球面于E,连结BE、CE,则BE∥ＡP，CE∥DP，∴三棱柱APＤ－ＢEC为正三棱柱,∵△PAＤ为正三角形，∴△PＡD外接圆的半径为eｑ\f(2\ｒ(3)，3)，∴球O的半径R=eｑ\r（２2＋\f(2＼ｒ(３),3)2)＝eq\f(４，\r（3）），∴球O的表面积S=4πR2=ｅq＼f(6４π,3)．9．(2０15·唐山市海港中学月考）如图,正方体AＢＣD-A1Ｂ1Ｃ1D１的棱长为１，Ｅ,Ｆ分别为棱ＤD1,AＢ上的点.下列说法正确的是＿__＿_＿＿_.(填上所有正确命题的序号)①A1C⊥平面Ｂ1EF；②在平面A1B1Ｃ1D1内总存在与平面B1EF平行的直线;③△B1EF在侧面BＣC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时,平面B１EF截该正方体所得的截面图形是五边形;⑤当E,Ｆ为中点时,平面B１EF与棱AD交于点P，则AＰ＝eｑ\f(2，3).[答案］②③④⑤[解析］①BC⊥平面ABB1A１，Ａ1C是平面ＡBB1A１的斜线,A１B是A1Ｃ在平面ＡBB1A1内的射影,显然A1B与Ｂ1F不垂直，∴Ａ1C与B1F不垂直,∴①错；②∵平面Ｂ1EF与平面Ａ1B1Ｃ1D１相交于过Ｂ1的一条直线l,在平面Ａ1B1C1D1内总存在与l平行的直线ｍ，∴ｍ∥平面Ｂ1EF,∴②正确；③△B１ＥF的顶点B1，F在平面BＣC1B1内的正投影依次为B1,B,而E点的正投影Ｅ′落在ＣＣ1上,显然△ＢB1E′的面积为定值,∴③正确;④当E、F为中点时,由平面Ｂ1ＥF与对面ABB１A1和DCC1D1都相交，故交线平行,设M为Ｃ１D１中点,G为D1M中点，则EG∥DM∥B１Ｆ，∴平面B1EF与平面A1B1Ｃ1D1的交线为B1Ｇ,从而在ＡD上取点Ｐ,使AＰ＝2PD,则FＰ∥B1G,连接ＥP，得平面Ｂ1EF截正方体得到的截面图形是五边形GEＰFB1，∴④正确;⑤正确.三、解答题10.（文)如图,已知在直四棱柱AＢCＤ-A１B1C１Ｄ1中,ＡD⊥DC，AB∥DC，DＣ＝DD1=２AD＝2AB=2．（1)求证:DB⊥平面B1ＢＣＣ1;（２)设Ｅ是DC上一点，试确定E的位置,使得D1E∥平面Ａ１BD,并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，ＡD⊥DC,∴AB⊥AD,在Rｔ△ABD中，AＢ＝AD＝1,∴BD＝ｅq\r(２），易求BC＝eｑ\r(2),又∵CD=2,∴ＢD⊥BC．又BD⊥ＢB１,B1B∩ＢC=B，∴BD⊥平面Ｂ１ＢＣC1.（2)ＤC的中点即为E点．∵DＥ∥AB,ＤE=ＡB，∴四边形AＢＥＤ是平行四边形．∴ＡD綊BE.又AＤ綊A1D1，∴ＢE綊A1Ｄ１,∴四边形A１D１ＥB是平行四边形．∴Ｄ１Ｅ∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD,Ａ1B⊂平面A１BD，∴Ｄ1E∥平面A1BD.（理）在棱长为1的正方体ＡＢＣD－A1B1Ｃ1D1中，E，F,G分别为棱ＢＢ1，DＤ1和CC1的中点.(１)求证:C1Ｆ∥平面DEＧ;(２)求三棱锥Ｄ1－A1AE的体积;(3）试在棱CD上求一点M，使Ｄ1Ｍ⊥平面DEG．[解析］(１）证明:∵正方体ABCD－A１B1C1Ｄ１中，F，G分别为棱ＤD1和CＣ1的中点,∴DF∥GC1,且ＤF＝GC1.∴四边形DGC1F是平行四边形.∴C１F∥DＧ.又Ｃ１F⊄平面DＥG,DG⊂平面DEG,∴C1F∥平面DEG.(２)正方体ABCD－Ａ1Ｂ1C1D1中，有Ａ1D1⊥平面AA1E.∴A１Ｄ1是三棱锥D1－A1ＡE的高,A１D1=1.∴VD1-Ａ１ＡE=eｑ\ｆ(１,3)·S△A１AE·D1Ａ１＝eq\f(1,3)×eq\f(１，２）×1×1×1＝ｅq\f（1,６）．(3)当M为棱CＤ的中点时,有Ｄ1M⊥平面DEG.正方体ABCD－A1B1C1D1中，有ＢＣ⊥平面ＣDＤ１C1，又∵D1M⊂平面CDD1Ｃ1,BＣ∥EG,∴EG⊥D１M.又∵ｔan∠GDC=ｔａn∠MD1Ｄ=eｑ\f(1,2），∴∠ＧDC=∠MＤ1Ｄ,∴∠MD1Ｄ＋∠Ｄ１DG=∠GDＣ＋∠D1DG=90°,∴D1M⊥DＧ.又ＤG∩EG=G，∴Ｄ1M⊥平面DEG.一、解答题11．(文)如图所示,△ABC为正三角形，EC⊥平面AＢC,ＢD∥CE,EC=CＡ=2BＤ，M是ＥA的中点．求证：（1)DE=ＤA；(2)平面ＢＤＭ⊥平面ＥＣA.［证明](１)如图所示，取EＣ中点Ｆ,连接DＦ．∵EC⊥平面ＡBC，BＤ∥EC，∴BD⊥平面AＢC,∴BD⊥ＡB,∵BD∥EＣ,BD=eq\f（1,２)EC=ＦC,∴ＥＣ⊥ＢC.∴四边形ＦCBD是矩形，∴DF⊥EＣ.又BA＝BC=DＦ，∴Rt△ＤEFRｔ△ＡDB，∴DＥ＝DＡ.(2)如图所示，取AC中点N,连接MN、NB,∵M是ＥA的中点,∴MN綊eｑ＼f(1,2)EC.由BD綊eq\f（1,2)EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MＮBＤ是矩形，于是DM⊥MN.∵DＥ＝DA,M是ＥA的中点,∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而ＤM⊂平面BDＭ,∴平面ECA⊥平面BＤＭ.（理）(20１3·合肥第二次质检）如图，在几何体ＡBＤＣＥ中,AＢ＝AD＝2，ＡB⊥AＤ，AE⊥平面ＡBD.M为线段BD的中点，MC∥ＡＥ,AE＝MC＝eq\r(2）.(１)求证：平面BCD⊥平面CＤE;(2)若N为线段ＤE的中点，求证:平面AMN∥平面BEC．［解析](1)∵AB=AD=2，AB⊥AD,M为线段ＢD的中点,∴AM＝eｑ\f（1,2)BD＝ｅｑ\r（2),AM⊥ＢD.∵ＭC＝ｅq＼ｒ(2）,∴MC＝eq＼f(1,2）ＢD,∴ＢC⊥ＣD．∵ＡＥ⊥平面ＡＢＤ，MC∥ＡＥ，∴MＣ⊥平面ABD．∴平面ＡBＤ⊥平面CＢD,∴AＭ⊥平面CBD.又MC綊AE，∴四边形AＭＣE为平行四边形，∴EC∥ＡM,∴EC⊥平面ＣBD，∴BC⊥EＣ,∵EＣ∩CD=Ｃ，∴BC⊥平面CDE,∴平面ＢCＤ⊥平面CDE.（２）∵M为BＤ中点，Ｎ为ED中点，∴ＭN∥BE且ＢE∩EＣ=E,由(1）知EC∥AM且ＡM∩MN＝Ｍ,∴平面AMＮ∥平面BEC.1２．(文)（2014·山东威海一模)如图所示，矩形ＡＢＣＤ所在的平面和平面ABＥF互相垂直，等腰梯形AＢEF中，AB∥EＦ，AB＝2，AD=AF=1,∠ＢAF＝６0°,O,P分别为ＡＢ,CB的中点,M为底面△OBF的重心.(１)求证:平面ＡDF⊥平面ＣＢF;(2)求证：PM∥平面AFＣ；(3)求多面体CＤ-AＦEB的体积V.[解析］(1)证明:∵矩形ＡＢCＤ所在的平面和平面AＢEF互相垂直,且CB⊥ＡB,∴CB⊥平面AＢEF．又ＡＦ⊂平面ABEＦ,∴CB⊥AF.又AＢ=2,ＡＦ＝1,∠BＡF=60°，由余弦定理知ＢＦ=eq\r(3），∴AF2＋BF2=AB2，∴得ＡＦ⊥BF.又BＦ∩ＣＢ＝B,∴AＦ⊥平面CFＢ.∵AF⊂平面ADF,∴平面ＡDF⊥平面CBF.(2)证明：连接OM延长交BF于Ｈ,则H为BF的中点,又P为CB的中点，∴ＰH∥ＣF.又∵CＦ⊂平面AFＣ，∴ＰH∥平面AＦC.连接PO，则PO∥ＡC，∵AＣ⊂平面AＦC，ＰO⊄平面AFＣ，∴PO∥平面AFC.又ＰO∩PＨ＝P，∴平面POH∥平面AFＣ，PＭ⊂平面PＯH，PM∥平面AＦC．(３)多面体CD－ＡFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F-ABＣD的体积之和.在等腰梯形ＡBEF中，计算得ＥＦ＝1,两底间的距离EE1＝eq\f（＼r(３),2)，∴VC-BＥF＝eq\f(1,3)Ｓ△BEF×CB=eq\f(1,3)×ｅq\f(1,2)×1×eｑ＼f（\ｒ（3)，2）×1=eq\f(＼r(３）,12）,VF-ＡBCＤ=eq\f(1,3)S▱ABCD×EE1＝eｑ\f(1,3)×2×1×eｑ\f(\r(３),2）=eq\f(\r（３）,3)，∴Ｖ＝VC-ＢＥF+ＶＦ-ABＣD＝eq＼f(5＼r(3)，1２).(理)(２0１4·山西太原模拟)如图,在三棱锥P－ＡBＣ中，ＰA＝PB=PＣ＝AC=4,AB＝BC=2eｑ＼r(2).(１)求证:平面ABＣ⊥平面APC；（２）求直线ＰA与平面PBC所成角的正弦值.［解析]（1)证明:如图所示，取AC中点O,连接OP,OＢ．∵PA＝PＣ=AＣ=4,∴OP⊥AC,且PＯ=4ｓｉｎ6０°＝2eq\r(３).∵BＡ＝BC=2eq\ｒ（２)，∴BＡ2+ＢC2=1６＝AＣ2,且BＯ⊥AＣ,∴BO＝ｅq\r(AB2-AO２）=2.∵PＢ＝4，∴ＯP2+ＯB２=１2+4＝16=PB２,∴ＯP⊥ＯB.∵ＡC∩ＯＢ=Ｏ，∴OP⊥平面ＡＢC.∵ＯＰ⊂平面ＰAC，∴平面AＢC⊥平面AＰC.(2)设直线ＰA与平面PBC所成角的大小为θ,A到平面PBC的距离为d，则siｎθ=eq\ｆ(d,AP)=eq\f（d,4).∵PＢ=PC＝４，BC＝2eq\r(2)，∴Ｓ△PBC＝eq\f(1,2)BC·ｅq\r(PB2－\f（BC，2)2)=eq＼f(１，２)×2ｅq\r(2)×ｅq\r（1４)=2eq\r(7)．由(1)知,ＶＰ-ABC＝eｑ＼ｆ（1,３)S△ＡBＣ·ＰO＝eq\f(8\ｒ(3),3),又VA-PBＣ=VP-AＢＣ,∴eq＼f(1,3)×2eq\ｒ(7)·d＝ｅｑ\f(８\ｒ(3),3），∴d＝eq＼f(4\r(21),７)，∴sｉnθ＝ｅq\f(ｄ，4)＝eq＼ｆ(\ｒ(2１），7),∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为eq＼ｆ（\r(２１)，7)．［点评]由第(１)问知ＯB、OＰ、AC两两垂直,故可以O为原点，OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，用向量法解答第（2)问.１3.(2014·四川绵阳二诊)如图所示，四边形AＢCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AＦE＝60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AＦ＝FE=AB＝ｅq\f(１,２)ＡD＝2，点G为AC的中点．(1)求证:ＥG∥平面ABF；(２）求三棱锥B-AEＧ的体积；(3）试判断平面ＢＡE与平面DＣE是否垂直?若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.[解析](1)证明：取AB中点M,连ＦM,GM.∵G为对角线AＣ的中点，∴GＭ∥AD,且GＭ=ｅq＼f(1,2)AＤ.又∵FE綊eq＼f(１,２)AD，∴GM∥FE且ＧM=ＦE.∴四边形GMＦE为平行四边形,∴EG∥FM.又∵EG⊄平面ABF,ＦM⊂平面ABＦ,∴ＥG∥平面ABＦ.(2)作EＮ⊥AD，垂足为N，由平面AＢCD⊥平面AＦEＤ，平面ＡBＣＤ∩平面AFED＝AD,得EＮ⊥平面ABCD,即ＥＮ为三棱锥Ｅ－ABG的高.∵在△AEＦ中，ＡF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60°,EF∥ＡD知∠ＥAD=6０°，∴EN＝AＥsｉn6０°＝eq\r(3).∴三棱锥Ｂ-ＡEG的体积为V=eq＼ｆ(1,3）·S△ABG·EN=eq\f(1，3)×2×eｑ\ｒ（3)=ｅq＼f(２\ｒ(3),3).(3)平面BAE⊥平面ＤCＥ.证明如下:∵四边形AＢＣＤ为矩形,且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AＦＥD，∴ＣD⊥ＡE.∵四边形ＡFED为梯形，ＦE∥ＡD,且∠AFE=６0°,∴∠FAＤ=１2０°.又在△ＡED中，ＥＡ＝2，AＤ＝4,∠EAD＝6０°，由余弦定理,得ＥＤ＝2eq＼ｒ(３），∴EＡ２+ED2＝AD2,∴EＤ⊥AE.又∵EＤ∩CD=D,∴AE⊥平面DCＥ.又AE⊂平面BAE，∴平面BAＥ⊥平面DCE.１4．（文)(20１4·甘肃张掖月考)如图所示，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，Ｇ为AC上一动点.(１)求证：BD⊥FG；（２)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD,并说明理由;(3)如果ＰA=AB=2，求三棱锥B－ＣDＦ的体积．[解析](1)证明:∵PA⊥平面ABCＤ,四边形ABＣD是正方形，其对角线BD,ＡC交于点E,∴ＰＡ⊥BD,AC⊥BＤ.∴BＤ⊥平面AＰＣ.∵ＦＧ⊂平面ＰAＣ,∴BD⊥FG.(2)当G为ＥC的中点,即AＧ=ｅq\f(３,4)AC时，FＧ∥平面PBD.理由如下:连接PＥ.∵F为ＰC的中点，G为ＥＣ的中点，∴FＧ∥PE.∵ＦG⊄平面PBＤ,PE⊂平面ＰBD，∴FG∥平面ＰBＤ.(3)三棱锥B-CDF的体积为VB－CDF＝VF－BCＤ＝eq\f（１,3)×eq\ｆ(1，2)×2×２×1＝ｅq\f(2,３)．(理)(2０1４·唐山一中月考)如图,三棱柱AＢC－A１B1C１中,ＢＣ⊥侧面ＡA1C1C,AC＝BＣ=１,CC1=2,∠ＣAA1＝eq\f(π,3),Ｄ、Ｅ分别为AA１、A1C的中点．(1）求证:A１C⊥平面AＢC;(２)求平面BDE