2023届高三数学一轮基础巩固第2章第6节对数与对数函数（含解析）北师大版

PAGE1-【走向高考】2０1６届高三数学一轮基础巩固第２章第6节对数与对数函数北师大版一、选择题1．（文)函数y＝loｇ2x的图像大致是（)ＡＢCD[答案]C［解析]考查对数函数的图像．(理)函数f(x)＝２|log2x|的图像大致是（)[答案]C［解析]∵f（x）=2｜loｇ２x|＝eq＼b\ｌc＼{＼rc\(\ａ\vs４＼ａl\cｏ1(x,x≥１,，\f(1,ｘ），0<x<1,))∴选C.2．(文）若函数y＝f(x）是函数y=ax(a>０，且a≠1)的反函数，其图像经过点（ｅq\ｒ(a)，a),则f(ｘ)=(）Ａ.ｌｏg2x Ｂ.ｅq\ｆ（１，2x)Ｃ.eqloｇ\ｓ\do8(＼f（１,2))x D.x２[答案]Ｃ[解析]由题意知f(x)=lｏｇaｘ，∴a=logaaeq\s\up７（\f(1，2))=ｅq＼f(１,2)，∴ｆ（x)=ｅｑｌog＼ｓ\do8(\f(１，2))x,故选C.（理）若点(a，ｂ)在y=lgx图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是（)A．(eq\f(１,ａ）,b)ﻩB．(10ａ,１－b)Ｃ．(eｑ\f(１0,a)，b＋1) D.(a２,2b)[答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标,假设是，则点在图像上，若不是,则点不在图像上．由题意知b＝lga,对于A选项,lgeq＼ｆ（1，ａ）=-lga＝－ｂ≠b，对B选项lg（10a)=1+ｌgａ=1+ｂ≠1－对C选项lgeq\f(１0，a）=1－ｌga＝1－ｂ≠b+1，对D，lｇa2=2ｌga=2b，故（a2，2ｂ)在图像上.3.（2015·营口调研)函数f（ｘ)＝ｌogａx（ａ>０，a≠1),若ｆ(ｘ1)-f(x2)=1,则f(xｅq\o＼al(2,1))-f(xeq＼o＼al(2,2))等于()A.２ﻩB.1Ｃ.ｅｑ\f（1,２) D．ｌoｇa2［答案］A［解析]x1>0，x２>0，ｆ(xeq\o\ａl(２,1))-ｆ(xｅq＼o＼al(2,2))＝ｌｏｇaxｅｑ\o\al（2,1)－ｌogaｘeq\o\ａl(２,２)＝2(logaｘ1-ｌogaｘ2)＝2[f（x１)-f(x2)］=2．4．设2a=5b＝m，且eq\f(1，ａ)＋ｅq\f（1,ｂ)＝2,则m＝()Ａ．eq＼r(１０)ﻩB．1０Ｃ.20ﻩD.100[答案]A[解析]由２ａ＝５ｂ=m,则a=lｏg2ｍ,b＝log5ｍ,代入eq\f(1，ａ)＋eq\f（1,b)＝2得eｑ＼f(１,ｌog2ｍ）+ｅq\f(１,lｏｇ５m)=2，则ｅq＼ｆ（lg２,lgm)+ｅq\f(lｇ5，ｌｇｍ）=2，即ｅq\ｆ(lg２+lg5,lｇｍ)＝２，即lgm=eq\ｆ(1，２），则m＝eｑ\ｒ（10).５．已知函数f(x)满足:当x≥4时，f(x）=ｅq\b\ｌc\(\ｒc\）(\a＼vs４＼ａl\ｃｏ１(\f（1,2))）x;当x<4时，f(x)＝f（x+1)，则f(２+ｌog23)＝（）A.eq\f(1,24） B.eq＼ｆ（1,１2)C.eｑ\f（１，8) D.eq\f(3,８)[答案]A[解析]∵2<３<４=22，∴1＜ｌog２3<2，∴3<2+lｏg23＜4，∴f(2+lｏｇ23)＝f(3+lｏg23)＝f(loｇ22４）＝eq\b＼lc\(\rｃ\)（\a\vs４\al＼co１(\f(1,2)))ｌog224=2-log224=2loｇ２eq\ｓ＼up７（\ｆ(1,24))=eｑ\f(1，24)．６．(文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2ａ)＋ｆ(eｑlog\ｓ\ｄｏ8(\f(１,2))a)≤2f（1),则a的取值范围是()Ａ．[1,2] B.(0，eｑ＼f（1,2)］C.[eq＼f（1,2)，2］ﻩD.(0,2][答案]C[解析］因为eｑloｇ\ｓ\do８（\f(1，2)）a＝-lｏg2a且f（－x)＝f(x),则f(lｏｇ2a)＋f（ｅqlog\s\ｄo8(\f(1，2)）a)≤2ｆ(1）⇒f(ｌｏg２ａ)+f(－log2a)≤2f(１)⇒f(log2a又f(log2ａ)=ｆ(｜log2a|)且ｆ(x）在[０,＋∞)上单调递增，∴｜log２ａ|≤１⇒－1≤ｌｏｇ2a≤1,解得eq\f(１，２)≤a(理）若函数f(ｘ)＝log２(ｘ+1)且a>b>c>0,则eq\f（fａ，a）、eｑ\f(ｆｂ，ｂ)、eq\f(fc,c)的大小关系是()A．eｑ＼f（ｆa，a)>eq＼f(ｆｂ，b)＞eｑ＼ｆ（fc,ｃ)ﻩB.eq\f（fｃ,c)＞eq\ｆ(fb,ｂ)＞eq\ｆ(fa,a）C．ｅq\f(fb，ｂ)>eｑ\ｆ（fa，a)＞ｅq＼ｆ(ｆｃ,c)ﻩD．ｅｑ＼f(fa，ａ)>eq\f(fｃ,c)>ｅq＼ｆ（fb,ｂ)［答案]B[解析]∵eq\f(fａ,a)、eq\ｆ(fｂ,b)、eq\ｆ(fc,c)可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x）=log2(x+1)的图像及ａ>ｂ>c>0可知eq\ｆ(fc,c)＞eq\f(ｆb，b)>eq\f(fa,ａ)．故选B.二、填空题7．(201４·陕西高考)已知4a=２，lgｘ＝a，则x[答案]eq\r(10)[解析]本题考查指数与对数运算.4a＝2,∴ａ=ｅq＼f(１,２）,lgx=a＝eq＼f(1,2)，∴x＝eq\ｒ(1０).８．(2015·东营质检）已知函数f(ｘ)=eｑ\b\lc\{＼rc＼（＼a\ｖs４\al\co1(3x+1，ｘ≤０,log2x,x>0)）,则使函数f(x)的图像位于直线ｙ=1上方的x的取值范围是＿_______.［答案］{x｜－1<ｘ≤０或x＞2}[解析]当x≤０时，由３ｘ+１>1,得x+1>0，即x>-1．∴－1<ｘ≤０．当x>0时,由loｇ２x>1,得x>2．∴x的取值范围是{x|-1<x≤0或x>2}.9.函数y＝lｏg3(ｘ2-2x)的单调减区间是____＿__＿.[答案]（－∞,０)[解析］(等价转化法)令u=x2－2x,则y=log3u．∵y＝lｏg3u是增函数，u=x2-2x>０的单调减区间是(-∞，0)，∴y＝log3（x２-2x)的单调减区间是(－∞，０)．三、解答题１0.已知函数f（x)=logａ(ｘ＋１）－loga（1－x)，a>0且ａ≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(ｘ)的奇偶性，并予以证明；(3)当a>１时，求使f(x）>0的x的取值范围．[解析](1)f（x）=loga(ｘ+1)－lｏｇａ(1－x),则ｅq\b\lc＼｛\ｒc\（\a\vs4＼aｌ＼cｏ1(x＋１>0,,１-ｘ>0,))解得-1<x<1.故所求定义域为{x｜-1<x<1}．(2）f（ｘ)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x）的定义域为{ｘ|－１<x＜１}，且f(-ｘ)＝logａ（-x＋1)-ｌoｇa（1＋x)=-[lｏｇa(x＋1)－lｏｇa(１-ｘ）］=-f(x).故f(x）为奇函数．(３）因为当a>1时，f(x)在定义域{x｜－１＜x＜1}上是增函数，所以f(ｘ)＞0⇔eｑ\f(x+1，1-x)＞1.解得0<x<1．所以使ｆ(x)>0的x的取值范围是{ｘ｜0<x<1｝.一、选择题1．(２014·四川高考)已知b>0,lｏg5b＝a,ｌｇb=c，5d＝10,则下列等式一定成立的是（)A.d＝acﻩB．a＝ｃdC．c=aｄ D．d=ａ+c[答案]B[解析]B本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证.A中,d＝ｌoｇ51０，而ac=lｏg5ｂ·lgb＝eq\f（lgb,ｌｇ5)·lｇb=ｅq\f(lgb2,ｌｇ５)，∴A错.B中,cd=lgb·log51０＝lｇｂ·ｅｑ\ｆ（lg10,ｌｇ５)=ｅq＼f(lgｂ，lg5)＝log5b=a，选B．解题时要灵活应用换底公式等.2.（文)函数ｆ(x)＝ax＋ｌogａ（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则ａ的值为()Ａ.ｅｑ\ｆ（1，４)ﻩＢ.ｅq＼f（1，2)C．２ D．４[答案］B[解析]∵y=ａx与y＝loga（x+1)具有相同的单调性.∴f(x)＝ａx＋ｌoｇa(x＋1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1）=a,即a0＋loga1＋a1＋ｌｏga2＝a,化简得1+ｌoｇa2=０，解得a＝ｅq＼ｆ(1,2).(理)已知x=lnπ,ｙ＝loｇ5２,z=e－eｑ\f(１，２),则()Ａ.ｘ<y<z B.ｚ<x<yC.z<y＜xﻩD.ｙ<z<x［答案]D［解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用.∵y＝log52=eｑ\ｆ(１,log2５)，z＝ｅ-ｅｑ\f(1，2)=ｅq\ｆ(1，\r(ｅ))且ｅｑ＼r（e）<2<log2５∴y<z＜１,又lnπ＞1，∴y<z<ｘ,故选Ｄ．二、填空题3.已知lgｘ＋ｌgy=2ｌg(2x-３y）,则ｌogeq＼f(3，2)eq\f（x,ｙ）的值为＿____＿__.［答案]2［解析]依题意，可得lg(xy）＝lg(2ｘ-３y)2，即ｘy=4x2-12xｙ+9ｙ2，整理得4(eq\f（ｘ,y)）2－13(eq＼ｆ(x，y))+９=0，解得eq\f(x,y)=1或eq\f（x,y）＝eq＼f(９，４）.∵x＞0，y＞０，2x-3y＞0,∴ｅｑ\f(x,ｙ）＝ｅq\ｆ(9,4),∴ｌogeq\f(3,2)eq＼ｆ（x，ｙ)＝2．４．(2０1４·兰州、张掖联考)函数f(ｎ)=logn+１(n＋2)(n∈Ｎ*)，定义使f（1)·ｆ(2)·f(3）·…·f(k)为整数的数k（k∈N*)叫做企盼数,则在区间［１,2013]内这样的企盼数共有____＿＿＿_个．[答案］９[解析]∵logn+1(ｎ＋２)＝eq＼f(lnn＋２,lnｎ+1），∴f(1）·f(２)·ｆ(3)·…·f(k）=ｅq＼f(lｎ３,ln2)·eq\f(ln４,ｌn3)·eq＼f(ln5,lｎ4)·…·eq\f(lｎk+２,lnk+１)＝eq\f（lnk＋2，ln２)＝ｌog２(k+2).∵1０24＝210,20４8＝211,且log24=2，∴使f（1)·f(2）·f（３）·…·ｆ(k)为整数的数有１0－1=9个.三、解答题５.已知函数f(ｘ)＝loga(2-aｘ)，是否存在实数a，使函数f(ｘ）在[0,１]上是x的减少的,若存在，求ａ的取值范围.[分析]参数ａ既出现在底数上,又出现在真数上，应全面审视对a的取值范围的制约．[解析]∵ａ>0,且a≠1,∴ｕ＝2-ax是x的减函数．又f(x）=ｌｏga(2-aｘ)在[０，１]是减少的，∴函数y＝loｇau是ｕ的增函数,且对x∈[0,1］时，u＝2-ａｘ恒为正数．其充要条件是ｅq\b\lc\{\ｒc\(＼a\vｓ4\aｌ\co１(a>1,2-ａ>0))即1<a<2.∴a的取值范围是(1,2)．6.（文)已知定义域为R的函数f(ｘ）为奇函数,且满足f(ｘ＋2)＝－f(ｘ)，当x∈[0,1］时，f(x)=2x－１．(1)求f(x)在［-1,0)上的解析式；（２）求f(eqｌog\s\do8(\ｆ（1，2))24）的值．[解析］（1)令ｘ∈[-1,0），则-x∈（０,1],∴f（-x)＝2－x-１.又∵f（ｘ)是奇函数，∴f(－x）＝-ｆ(x),∴-f（x)＝ｆ（－x)＝2-x-1，∴f(x）＝-eq\b\ｌc\(＼ｒc\)（\a\ｖs4\aｌ\cｏ１(＼f(１，2)))x＋1.（2)∵ｅqlog＼s\do8(\f(1,2）)24＝-ｌog224∈（-5，－４)，∴eqlog＼ｓ\do8(\f(1,２))2４+4∈（－1,0）,∵f(x＋2)＝－f(x),∴f(x＋4)=－f(ｘ＋２)＝f(x），∴f(x）是以４为周期的周期函数,∴f(ｅｑｌoｇ\ｓ\ｄo8(\f（１,２))２4）＝f(eqlog\s＼do8(\f(１,2))2４＋４)＝-ｅq\b\lc\(\rc\)(＼a＼vs4＼al\co1(\f（1,２)))eqlog\ｓ\ｄo8(\f(1，2)）24+4＋1＝－2４×eｑ＼f（1，16)＋1＝－eq\f(１，2)．(理）若f（x）＝x２－ｘ+b，且f(log2a)＝b，log２f（a)=2((1)求f(loｇ2ｘ)的最小值及对应的ｘ值;(2)x取何值时，f(lｏg2x)＞f（1),且ｌｏg２f(x)<f[解析](1）∵ｆ(x）＝x２－x＋ｂ,∴ｆ(log２a)＝(lｏg2a)２－ｌog2ａ由已知(ｌog2ａ)2-log2a＋b＝∴lｏg２ａ(loｇ2∵a≠１，∴lｏg2a＝1,∴ａ=2.又lｏg2f(a)=2，∴f(∴a