全国非数学生竞赛题

第二届学生数学竞赛预赛试卷（非n设x(1a)(1a2 (1a2)，其中|a|1，求limxn解xnx(1a)(1a)(1a2 (1a2n)

n(1a2)(1a2 1

a2n

1(1a4)(1a4 n

11

1 1a2由于|a|1，可知lima2n0，limx 求limex1

1

n 1 x 1x2 1x x解limex1 =lim1 e1 x x x 1 1 x x 1xx x 1 =explimxx ( )1=e2x x2 设s0，求Inesxxndx(n1, )0解因为s0limesxxn0，

I1

1

n xndesx

xne s

s

ns

nn1

I sn

n!解因为∂r=x∂r=y r

x2，g(xy=fx2r

∂2

∂2 ∂g=− ′ ∂2 ′′ 2x2− ′ r3f(r)，∂x2=r6f(r)

f( ∂2 ∂2 ′′ ′

(r)+r3f(r求直线lxy0与直线lx2y1z3的距离1z 解直线l的对称式方程为lxyz.1

1 l11,10，l2421，两直线上的P1(000P2(2,13 aP1P2(2,1,3) l1l21,1,6).2 2 l1二（15分f(x在(,f(x)0,

f(x)0，

f(x0x0，f(x00f(x)0在(,恰有两个实根证 由

f(x0必有一个充分大的ax0，f(a)0f(x)0知yf(x)是凹函数，从而f(x)f(a)f(a)(x (xxf(f(a)(xa故存在baf(b)f(af(a)(ba) （6分

f(x0，必有cx0，f(c0f(x)0知yf(x)是凹函数，从而f(x)f(c)f(c)(x (xxf(f(c)(xc)故存在dcf(d)f(cf(c)(dc) （10分[x0,b][dx0]利用零点定理，x1(x0,b)，x2(dx0)使得f(x1)f(x2)0 （12分）下面证明方程f(x)0在(,只有两个实根.用反证法.f(x0在(,x1x2x3且x1x2x3.对f(x)在区间[x1,x2]和[x2,x3]上分别应用定理，则各至少存在一点ξ1（x1ξ1x2）和ξ2（x2ξ2x3使得f'(ξ1)f'(ξ2)0.再将f'(x)在区间[ξ1,ξ2]上使用定理，则至少存在一点η(ξ1ηξ2)，使f"(η)0.此与条件f(x)0.从而方程f(x)0在(,)不能多于两 （15分）2.f(x)0至少有两个实根

f(x0，必有一个充分大的ax0，f(a)0f(x在(,f(xfx在(,均连续.由日中值定理，对于xa有f(x)[f(a)f(a)(xa)]=f(x)f(a)f(a)(x=f()(xa)f(a)(xa)[f()f(a)](x=f()(a)(xa)其中aξx aηx.注意到f()0（因为f(x)0，f(x)f(a)f(a)(x (xf(a)0,故存在baf(b)f(af(a)(ba) （6分f(x1)0.即方程f(x)0在(x0,)上至少有一个根 （7分同理可证方程f(x)0在(,x0)上至少有一个根 （12分下面证明方程f(x)0在(,)只有两个实根.（以下同证 （15分三（15分y

x2tf(x)由参数方程y

(t1)所确定.d2y t2

du 在t1处相切.求函数(t d2 (22t)(t)2 (1t)(t)解因为 ， 2

2 22t

（3分由题设

d2 (1t)(t) ，故

，从而

4(1

4(1(1t)(t(t)3(1t)2，即(t1

(t)3(1设u(t，则有u1

u3(1t)1dt 1 e

1tdtC1(1t)3(1t)(1t)1dtC1(1t)(3tCy2 du 在t1处相切知(1)由曲线y(t)

(1 （11分e所以 (1)2，知C13t (t)(1t)(3tC)dt

3C1t

CtC1 1(13，知C2，于是(tt31t23)t2t1.…（15分 nn四（15分、设an0,Snak，k当1时，级 an收敛nn1nS当1，且Sn（n）时，级数发散Sn1证明令f(x)x1,x[Sn1,Sn].将f(x)在区间[Sn1,Sn]上用 日中值定存在Sn1Snf(Sn)f(Sn1)即S1S11)

f()(SnSn1

（5分（1）当1时， (1)an(1) 1.显 1 1S S

S （8分Sn1（2）当1时，因为an0Snnp n Snp Sk ak

1Sk npk n nS对任意n

n，

p

n Sn

pkn1

12

所以级数 发 （12分n1

当1

nan.

n发散及比较判别法

n发 （15分 n1S n1 五（15分l是过原点，方向为(α,βγ（其中α2β2γ2=1） ≤1（其中0<c<b<a，密度为1）绕l旋转 求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于方向(α,β,γ)的最大值和最小值解(1)l的方向向量为l(αβγ，P(x,y,z)的径向量为r，则点P到旋转轴l的距离的平方为d2=r2−(r⋅l)2=(1−α2)x2+(1−β2)y2+(1−γ2)z2−2αβxy−2βγyz−2αγ(2αβxy+2βγyz+2αγxz)dxdydz=

其中Ω=

z2≤1

⎨(x,y,

+2+ （2分 x2dxdydz=a πbc1−⎟dx

2+2≤1−

⎜⎝a2 b （或∫∫∫x2dxdydz=∫dθ∫dϕ∫a2r2sin2ϕcos2θ⋅abcr2sinϕdr= ΩΩΩ

ydxdydz ，∫∫∫zdxdydz （5分 Jl=∫∫∫ddxdydz

1−α2

(1β)b(1γ)c （6分 考虑目标函 V(α,β,γ)=(1−α2)a2+(1−β2)b2+(1−γ2)c2在约α2+β2+γ2=1 设日函数为L(α,β,γ,λ)=(1−α2)a2+(1−β2)b2+(1−γ2)c2+λ(α2+β2+γ2 （8分Lα2α(λ−a20Lβ2β(λ−b20Lγ2γ(λc20Lλ=α2+β2+γ2−1=解得极值点为Q(±1,0,0,a2)，Q(0,±1,0,b2)，Q(0,0,±1,c2

=4abcπ(a2+b2)；

4abcπ(b2 六（15分、设函数ϕ(xCv2xydxϕx)dy的值为常数C x4+C 设L为正向闭曲线(x2)2y21.证明 v2xydx+ϕ(x)dy= x+L求函数Cv2xydxϕx)dyC x4+C(1)设2xydx+ϕ(x)dyILLi12组成.LL x4+ LLL（LL的反向曲线）LL 原点的分段光滑闭曲线Cii1,2. 2xydx+ϕ(x)dy 2xydx+ϕ( x+ x+

2xydx∫ ∫ ∫L1— ∫ ∫ ∫L1 L

=

+

x4+y2

=II= （5分 (2)