圆周运动实例分析与临界问题

圆周运动实例分析与临界问题【教学要求】1．知道非匀速圆周运动的特点；2．掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条件。3．会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。【知识再现】一、火车转弯问题由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使________略高于_________，从而_________和_________的合力提供火车拐弯时所需的向心力。铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：(1)火车在拐弯处运动的“规定速度’’即内外轨均不受压的速度vp=_________；(2)若火车实际速度大于vp，则___轨将受到侧向压力；(3)若火车实际速度小于vp，则___轨将受到侧向压力。二、“水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力．(1)杯子在最高点的最小速度vmin=____．(2)当杯子在最高点速度为v>vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v<vmin，则杯子不能到达最高点。知识点一竖直平面内的圆周运动竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况：1、“绳模型”——外轨、绳的约束（1）临界条件：小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，mg=mv临2/rv临=即v临是小球能通过最高点时的最小速度（2）能通过最高点的条件：v≥v临（3）不能通过最高点的条件v<v临。这种情况实际上小球在到达最高点之前就脱离了轨道2、“杆模型”——管、杆的约束（1）临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。（2）当0＜v＜时，杆对球的作用力表现为推力，推力大小为N=mg-m，N随速度增大而减小。当v＞时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T=m-mg(2)若qE>mg，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度：g′=（Eq-mg）/m．在该等效重力场中小球轨迹“最高点”（实际为问题中的最低点——即A点）的临界速度vB==(3)若qE=mg，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是vB>0。该类题的关键是求出等效重力mg′，找出等效重力场中的“等效最高点”——物理最高点，在“等效最高点”的速度v′=类型一水平面内的临界问题【例1】如图所示，两绳系一个质量为m=0．1kg的小球。两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为300和450。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g取10m/s2)导示:两绳张紧时，小球受力如图所示。当ω由O逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有Fx=Fsin300=mω12Lsin300Fy=Fcos300-mg=O代入数据得，ω1=2.40rad/s(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度ω2，则有Fx=F2sin450=mω22Lsin300Fy=F2cos450-mg=O代入数据得，ω2=3.16rad/s答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确受力分析。2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。3、只要物体做圆周运动．在任何一个位置和状态．都满足F供=F需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。类型二圆周运动中有关连接体的临界问题【例2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm，RB=30cm。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?导示:(1)当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mrBω02解得：=3.7rad/s(2)当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为FT则，对A：FfAm-FT=mrAω2对B：FfBm+FT=mrBω2又：FfAm=FfBm=kmg解得ω=4rad/s。(3)烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案：(1)3.7rad/s(2)4rad/s(3)A做圆周运动，B做离心运动1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相应的轨道的高度差h。弯道半径r/m660330220165132110内外轨高度h/m0.050.100.150.200.250.30（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=400m时，h的设计值。（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角α很小时，tgα≈sinα）。（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？（g取9.8m/s2）2．（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？（3）若m1=m2=m，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．答案：1、（1）0.075m；（2）v=15m；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径r和内外轨高度差h；