高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课

高等数学-第七章空间解析几何(jiěxījǐhé)与向量代数习题课第一页，共52页。一、向量的根本(gēnběn)概念1．向量(xiàngliàng)的坐标:2．向量(xiàngliàng)的模:方向余弦为:

设起点和终点,则

3．方向角：向量与三个坐标轴正向的夹角

Ⅰ向量代数第二页，共52页。4．单位向量：

5．向量(xiàngliàng)的投影：二、向量(xiàngliàng)的运算1．线性运算(yùnsuàn)（1）

（2）

2．数量积

〔1〕定义：〔2〕坐标表示：第三页，共52页。②分配律：

③结合律：

〔4〕向量(xiàngliàng)的夹角：〔5〕性质(xìngzhì)：2．向量(xiàngliàng)积〔1〕定义：〔3〕运算律：①交换律：

方向：垂直与确定的平面，且符合右手规则。第四页，共52页。③结合律：

（4）性质：

②分配律：

①反交换律：

〔3〕运算(yùnsuàn)律：〔2〕坐标(zuòbiāo)表示：第五页，共52页。一、平面(píngmiàn)与直线的方程1．平面(píngmiàn)方程:〔1〕点法式(fǎshì)方程：其中为平面的法向量，

为平面的

一定点。

〔2〕一般方程：（3）截距式方程：，其中

分别为平面在三坐标轴

上的截距。

2．点到平面的距离：

Ⅱ平面与直线、空间曲面与曲线第六页，共52页。3．直线(zhíxiàn)方程：〔1〕一般方程：〔2〕对称(duìchèn)式方程：其中为直线的方向向量，

为直线的一定点。

〔3〕参数(cānshù)方程：第七页，共52页。那么它们(tāmen)的夹角为：〔2〕两平面(píngmiàn)相交〔夹角〕设与平面的法向量分别为与

4．线、面之间的位置(wèizhi)关系：〔1〕两直线相交〔夹角〕设与的方向向量分别为与

第八页，共52页。〔3〕直线与平面相交(xiāngjiāo)〔夹角〕设直线的方向向量为,

平面的法向量为

则它们的交角：

那么(nàme)第九页，共52页。〔4〕线、面之间的平行(píngxíng)与垂直设直线与的方向向量分别为，

平面与的法向量分别为

☆☆☆☆☆☆第十页，共52页。二、空间(kōngjiān)曲面1．一般方程：

2．旋转(xuánzhuǎn)面：曲线同理可得面上的曲线绕轴旋转所得旋转面的方程及

绕轴旋转所得旋转面的方程。绕轴旋转所得旋转曲面方程为

绕轴旋转所成的旋转曲面

方程为

第十一页，共52页。三、空间(kōngjiān)曲线1．一般方程

2．参数(cānshù)方程3．空间曲线(qūxiàn)在坐标面上的投影曲线(qūxiàn)：（1）

在面上的投影曲线：

（2）

在面上的投影曲线：

（3）

在面上的投影曲线：

第十二页，共52页。向量代数(dàishù)典型例题【例1】已知两点和,求向量余弦和方向角。的模、方向解：

方向余弦为,,

方向角为,,

第十三页，共52页。【例2】确定的值，使向量与向量

相等。并求此时向量的模与方向余弦。

分析：向量相等(xiāngděng)的定义是向量坐标对应相等(xiāngděng)。解：由条件(tiáojiàn)得易得

即当时两向量相等。方向余弦为。

模为此时(cǐshí)向量为第十四页，共52页。【例3】已知都是单位向量，且满足，求.

分析：向量的坐标没给出，也没给出之间的夹角，无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。解：于是(yúshì)第十五页，共52页。求。【例4】已知向量两两互相垂直，且

分析：由于向量没给出坐标，只给出了模，注意

，并利用条件，

便可求出；或可不妨置

计算向量的模。于坐标系中解法(jiěfǎ)1：所以(suǒyǐ)第十六页，共52页。解法(jiěfǎ)2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设那么(nàme)于是(yúshì)【例5】已知向量与三向量

的数量积分别为3,5,4，

试求向量及与其同向的单位向量。

第十七页，共52页。解：依题意有

即

解得，

与同向的单位向量为

则分析：利用与每个的数量积，可得出关于

的联立方程组，解之便得结果。第十八页，共52页。【例6】已知和。求与

同时垂直的单位向量，并且求以

为两邻边的平行四边形面积。

分析：应用(yìngyòng)向量积构造与两个向量都垂直的向量；利用(lìyòng)向量积模的几何意义得平行四边形的面积。解：

与同时(tóngshí)垂直的单位向量为：平行四边形面积

第十九页，共52页。【例7】在坐标平面上求向量，它垂直于向量

并与向量有相等的模。

分析：先设出向量，再用两个条件确定其系数。

解：由已知条件,可设,

由已知条件有，

则于是则第二十页，共52页。【例8】已知向量，轴与三坐标轴正向构成相等锐角，求在轴上的投影。

分析：先求出轴上的单位向量，再利用向量投影公式。

解：设轴的方向余弦分别为，

由条件(tiáojiàn)及即轴上的正向单位向量为，于是(yúshì)得所以第二十一页，共52页。【例9】设向量，，其中，，

且。问：

（1）为何值时，

以与为邻边的平行四边形面积为6。

（2）为何值时，

分析：〔1〕用向量(xiàngliàng)垂直的充分必要条件；〔2〕用向量积的模的几何(jǐhé)意义。解：（1）当时

即，

亦即，时故当，时。

第二十二页，共52页。〔2〕平行四边形面积(miànjī)则，于是或

以与为邻边的平行四边形面积为6。

当或时，

第二十三页，共52页。直线与平面(píngmiàn)典型例题【例1】求平行于轴且经过两点的平面方程。

分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量的向量积求平面的法向量；

（2）由平面平行于轴的特殊条件，可采用平面的一般式，

设出不含的平面方程，再由已知两点确定平面方程的

待定系数。解法1:由已知点，确定向量,

轴上的单位向量，可确定所求平面的法向量

第二十四页，共52页。平面过点，则所求平面的点法式方程为

即

解法2：平面平行于轴，则平面方程中不含变量,于是可设平面(píngmiàn)方程为点在平面上，满足平面方程，即有

第二十五页，共52页。，得

那么平面(píngmiàn)方程为即

【例2】求经过两点且与平面

垂直的平面方程。分析：平面(píngmiàn)过两点，可采用平面(píngmiàn)的点法式，用两点确定的向量(xiàngliàng)与平面法向量(xiàngliàng)的向量(xiàngliàng)积可求出平面的法向量(xiàngliàng)。第二十六页，共52页。，平面过向量，所以，。

已知平面的法向量为，

因为，所以，可取

那么(nàme)所求平面的点法式方程为即

解：设所求平面的法向量为，已知平面过点

第二十七页，共52页。【例3】过点且在三坐标轴上截距相等的平面方程。

分析(fēnxī)：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用的点确定(quèdìng)三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为，

将已知点的坐标代入方程确定参数，有

所求平面(píngmiàn)的截距式方程为。或写为一般式方程。

解得第二十八页，共52页。【例4】求与平面平行，且与之距离

为3的平面。

分析：所求平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn)平行，法向量相同，可先设出平面方程(fāngchéng)的一般式，再由条件定系数。解：所求平面与平面平行，两者的法向量(xiàngliàng)相同，故可设所求平面的方程为已知平面上有点，该点到所求平面的的距离为3，即

可解得或

第二十九页，共52页。代入所设平面(píngmiàn)方程得所求平面(píngmiàn)的方程为或【例5】求过点且与平面和平行

的直线方程。

分析(fēnxī)：直线过一点，由直线的对称式，只需求直线的方向向量(xiàngliàng)，直线的方向向量(xiàngliàng)分别与两平面的法向量(xiàngliàng)垂直，可用向量积求出直线的方向向量。

第三十页，共52页。可取(kěqǔ)直线过点，则所求直线方程为

解：设所求直线的方向向量为，两已知平面

的法向量为，的法向量为，

则，。

第三十一页，共52页。解：已知直线上点在所给平面上，该点坐标满足

平面方程；解之得。

【例6】已知直线在平面，

求的值。分析(fēnxī)：直线在平面上，那么直线上的点都在平面上、直线的方向(fāngxiàng)向量与平面的法向量垂直。与平面的法向量

应相互垂直，即。则有

关系式

其次，直线的方向向量

第三十二页，共52页。求平面的法向量(xiàngliàng)与两者分别垂直，平面的法向量(xiàngliàng)可用向量(xiàngliàng)积求得。【例7】求过点且通过直线

的平面方程。

分析：直线上一点及点可确定(quèdìng)一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点及已知点在所求平面上，

两点构成向量，直线方向向量；

所求平面(píngmiàn)方程为即

所求平面的法向量，，于是可取

第三十三页，共52页。【例8】已知两直线

求过且平行于的平面。

分析：所求平面过直线，则过直线上点，由平面的点法式，

关键是求出平面(píngmiàn)的法向量，有两种方法：〔1〕用向量积得出(déchū)与两直线的方向向量都垂直的向量；〔2〕先设出平面的法向量(xiàngliàng)，再由条件定系数。解法1:直线上的点在所求平面上；又所求平面的

法线向量与已知二直线的方向向量、

都垂直，从而可取第三十四页，共52页。于是所求平面(píngmiàn)方程为即

解法2：设所求的法向量为过直线上的点

的方程为已知二直线的方向向量为、，

因为(yīnwèi)平面过，所以，又因为，所以，则有

解得

取则。

平面(píngmiàn)方程为：即

第三十五页，共52页。【例9】求直线与直线

的夹角。

分析：关键是求出直线的方向向量，可用向量积求得。

解：直线的方向向量是，而直线的方向

向量分别与两向量，垂直,则可取

从而直线与直线的夹角的余弦为因此(yīncǐ)第三十六页，共52页。【例10】求过点，垂直于直线且平行于

平面的直线方程。

可用向量积求。

分析：由本题的条件知，求直线的方向向量垂直于已知

直线的方向向量，也垂直于已知平面

的法向量解：设所求直线的方向向量为，已知直线的方向

向量,已知平面的法向量为，，，所以，，故可取

已知第三十七页，共52页。从而所求直线(zhíxiàn)的方程为即

【例11】*已知直线及点，

求点到直线的距离。

分析(fēnxī)：要想求出点到直线的距离，需求过该点与直线垂直相交的直线和直线的交点〔即垂线足，或称为(chēnɡwéi)投影〕，得出交点即可求出。

第三十八页，共52页。过点做垂直于已知直线的平面，其法向量即是的方向向量，则平面方程为

即

再求已知直线与平面的交点，取已知直线上点

，得直线的对称式方程为

解：已知直线的方向向量为

第三十九页，共52页。化为参数方程为，将已知直线的参数方程代入平面方程

得，则

故有交点(jiāodiǎn)，因此(yīncǐ)所求的距离为注：求点到直线距离、过一点(yīdiǎn)作与直线垂直相交的直线、点在直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程根本相同。第四十页，共52页。【例12】通过二平面与的交线及

点的平面方程。

分析：所求平面过点，由点法式方程，只需求出平面的

所求平面上，又交线上的一点与已知点所

向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件(tiáojiàn)定其坐标。又可利用(lìyòng)过交线的平面束。确定的向量在所求平面上，两者可确定所求平面的法解法1：设两个平面的交线为，方向向量为，已知两平面

的法向量为，，因为

法向量。所给两个平面的交线

（方向向量）显然应该在

第四十一页，共52页。点满足两已知平面方程，故该点在两平面交线上，

该点与点所确定的向量

平面上。则所求平面的法向量为在所求那么所求平面(píngmiàn)的方程为即

可取(kěqǔ)第四十二页，共52页。解法2：同解法1交线的方向向量为，

设求平面的法向量为，则，，于是(yúshì)有，得

取，则

那么(nàme)所求平面的方程为即

第四十三页，共52页。解法3：过交线的平面束的方程是即

点不在交线上，故平面束中过点的

平面唯一。将的坐标代入平面束方程：

可得

于是(yúshì)求平面的方程为即

第四十四页，共52页。【例13】求直线在平面

上的投影的直线方程。分析(fēnxī)：应考虑过直线的平面束中有一个平面与平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。解：过直线(zhíxiàn)的平面束方程为即其