四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题数学(理工类)-含解析

PAGE四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题数学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】故选2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则A.2B.C.1D.【答案】C【解析】是纯虚数，，计算得出故选3.下列各组向量中，可以作为基底的是A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】选项中，零向量与任意向量都共线，故错误；选项中，不存在实数，使得，故两向量不共线，故正确；选项中，，两向量共线，故错误；选项中，，两向量共线，故错误；故选4.下列说法中正确的是A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D.设随机变量服从正态分布，则【答案】D【解析】中抽样方法为系统抽样，故错误；中线性回归方程必过样本中心点，故错误；:若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,故错误；故选5.执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是A.2B.1C.D.【答案】A【解析】输入，，令，则原式当时，几何意义指到原点距离有，解得代入原式故选11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨令则当时，在时单调递增，当时不恒大于，不成立当时在时恒成立当时在单调递减，在单调递增，令，，在单调递减，在单调递增，故当时且时综上的取值范围是，故选点睛：本题考查了导数的应用，在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量的取值范围12.设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则A.是常数列B.不是单调数列C.是递增数列D.是递减数列【答案】D【解析】根据题意得，…，，又曲线的最低点为，则当时，则所以是递减数列，故选点睛：本题根据题意总结出最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中，的系数是_____________.（用数字作答）【答案】【解析】由题意可知，展开式的通项为则的展开式中，含的项为，所以的系数是14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.【答案】乙【解析】(1)假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲所说与乙相矛盾（2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙15.设函数，则满足的的取值范围是_____________.【答案】【解析】（1）当时，解得，即(2)当时，，满足题意(3)当时，恒成立综上的取值范围是点睛：本题考查了分段函数求解不等式问题，尤其注意当时的解析式，结合分段函数进行分类讨论，求出解析式即可求得不等式解集16.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是_____________.【答案】【解析】以所在直线为轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图:由题意可知，，，，设，则故，当时取得最小值点睛：本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表示，设出点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于的一个一元二次函数的最值问题即可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：根据题意求出当时，求出的表达式，然后验证当时是否成立(2)先给出通项，运用分组求和法求前项和解析:（1）数列满足当时，，∴当时，，即当时，满足上式，∴数列的通项公式（2）由（1）知，18.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，点在边上，，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）运用正弦定理进行边角互化，即可求出的值（2）运用余弦定理求得，计算得，再解三角形即可求出结果解析:（1）∵，∴由正弦定理知，，∵∴，于是，即，∵，∴（2）由（1）和余弦定理知，∴，∴∵在中，，∴，∴19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据表1和图1即可完成填表，再由将数据代入计算得即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足，代入即可求得结果解析:（1）根据表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得∵，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.（3）由题知，∴.20.已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（1）求，的值；（2）设，求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：根据题意得当时，代入得由切线方程知，联立解得，的值（2）表示，求导然后分类讨论当时和当时两种情况解析：（1）由切线方程知，当时，，∴∵，∴由切线方程知，∴（2）由（1）知，∴，当时，当时，，故单调递减∴在上的最大值为②当时∵，，∴存在，使当时，，故单调递减当时，，故单调递增∴在上的最大值为或又，，∴当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为当时，当时，，故单调递增∴在上的最大值为综上所述，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为点睛：本题考查了导数的几何意义，通过求导计算出在某点处的切线方程，从而可以计算出参量的值，第2问在计算最值时需要进行分类讨论，需要注意在第一次讨论过程中不知两断数量的大小，这里再一次进行讨论21.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：当时，；（2）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）要证明不等式成立，构造设，求导，利用单调性即可证明，从而证明整个不等式组（2）结合（1）问结论得当时无零点，当时，利用导数求得其单调性当时，，单调递减，当时，，单调递增，然后求得，从而得到两个零点解析：（1）证明：设，则，令，得当时，，单调递减当时，，单调递增∴，当且仅当时取等号，∴对任意，∴当时，，∴当时，∴当时，（2）函数的定义域为当时，由（Ⅰ）知，，故无零点当时，，∵，，且为上的增函数∴有唯一的零点，当时，，单调递减当时，，单调递增∴的最小值为由为的零点知，，于是∴的最小值，由知，，即又，∴在上有一个零点，在上有一个零点∴有两个零点，综上所述，的最小值为1.点睛：本题考查了证明函数不等式成立及函数零点问题，在证明不等式成立问题时构造新函数，利用导数求导，结合单调性即可证明，在解答零点问题时虽求不出具体的零点的值，但是根据条件和计算能够判断函数值与零的大小关系，然后利用零点的存在定理解答本题22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知直线上一点的极坐标为，其中.射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.【答案】（1），；（2）1【解析】试题分析：(1)根据题意将直线参数方程先转化为普通方程，然后再改写为极坐标方程，圆的方程亦是这样完成(2)将其转化为极坐标运算，从而求得长度解析：（1）直线的普通方程为，极坐标方程为曲线的普通方程为，极坐标方程为（2）∵点在直线上，且点的极坐标为∴，∵，∴∴射线的极坐标方程为，联立，解得∴点睛：本题考查了极坐标与参数方程之间的转换，以及利用极坐