2022年广东省高考考前临门一脚（广东卷）数学

2022年高考考前临门一脚（广东卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.复数，则()A. B. C. D.3．已知，，则()A． B． C． D．4.已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：营销费用x/万元2345销售额y/万元15203035根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为()万元万元万元万元5.已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（）A. B. C. D.6.若，则()A. B. C. D.或7．的展开式中，x7的系数为()A．5 B．7 C．10 D．158.已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数a的值为()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.若甲组样本数据，，…，的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是()A.a的值为-2 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的中位数一定相同 D.两组样本数据的极差不同10.下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，，则11.在正三棱柱中，D，E，F分别为，，的中点，，M为BD的中点，则下列说法正确的是()A.AF，BE为异面直线B.平面ADFC.若，则D.若，则直线与平面所成的角为45°12．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、（、不重合），设直线、分别与轴交于点、，则下列结论正确的是()A．、两点的横坐标之积为定值B．直线的斜率为定值；C．线段的长度为定值 D．三角形面积的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，且，则___________.14.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电了手表过行检测，每次拍取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.15.已知点，，若，则点P到直线l：的距离的最小值为____________．16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，且为数列的前n项和，求证：.18.（12分）某数学小组从气象局和医院分别获得了2019年1月至2019年6月每月20日的昼夜温差x（单位：℃，）和患感冒人数y（单位：人）的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线图.

参考数据：，，，.

参考公式：相关系数，线性回归方程是，.

（1）求y与x之间的线性相关系数r；

（2）建立y关于x的线性回归方程（精确到），预测昼夜温差为4℃时患感冒的人数（精确到整数）.19.（12分）如图，在四棱雉中，，，，平面平面PDC.（1）求证：平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.20.如图，三棱柱中，侧面是菱形，，．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．21.（12分）已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为，过点的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.当时，的面积为5.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l与y轴交于点M，且，求证：为定值.22.（12分）已知函数，.（1）求函数的单调区间和函数的最值；（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.答案1.答案：B2.答案：B3.答案：A4.答案：C5.答案：C6.答案：C7.答案：D8.答案：B9.答案：ABD10.答案：AD11.答案：BC12.答案：ABC13.答案：-714.答案：15.答案：##答案：4417.解析：（1）由题意知即比较系数得所以，所以.（2）由（1）得，所以.18.解析：（1）由已知得，

，

.

（2）由已知，得，，

，

关于x的线性回归方程为.

当时，.

昼夜温差为4℃时患感冒的人数约为4.19.答案：（1）见解析（2）解析：（1）取PC的中点M，连接DM，因为，所以，因为平面平面PDC，平面平面，所以平面PBC，所以.又，，所以平面PDC，所以.又，，所以平面ABCD.（2）取AB的中点Q，连接DQ，因为，，所以，由（1）易知，，故可以D为坐标原点，以DQ，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，.连接BD，易知，，又，所以，所以，又，，所以平面PAD，则平面PAD的一个法向量为.设平面PAC的法向量为，则即取，则为平面PAC的一个法向量.所以.易知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.20、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）取BC中点O，连接AO，，易证，再根据，得到，然后利用线面垂直判定定理证明；（2）以，，所在直线及其正方向建立空间直角坐标系，易知为平面的一个法向量，再求得平面的一个方向量，由求解.（1）解：取BC中点O，连接AO，，因为侧面是菱形，，所以因为，所以，且，所以平面，又因为平面，所以．（2），则，由（1）得平面，且平面，所以，即，所以，因为，所以，即BC，，OA两两垂直，以，，所在直线及其正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，，可取为平面的一个法向量，设平面的一个方向量为，，则，即，取，则，易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值．21.解析：（1）当时，，，可得.由双曲线的定义可知，，两边同时平方可得，，所以.①又双曲线的离心率为，所以.②由①②可得，，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）当直线l与y轴垂直时，点M与原点O重合，此时，所以.当直线l与y轴不垂直时，设直线l的方程为，由题意知且，将直线l的方程与双曲线方程联立，消去x得，，则.易知点M的坐标为，则由，可得，所以，同理可得.所以.综上，为定值.22.解析：（1），.当，即时，恒成立，在上单调递增.当，即时，令，则或；令，则，在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.，其定义域为，，当时，，在上单调递增