2014考研数学9月模底试题(数学一)

2014考研数学9月模底试题(数学一)一、选择题（1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设，则当时，是的（）（A）等阶无穷小（B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小（2）下列结论中正确的是（）(A)与都敛.（B）与都发散.(C)发散，收敛.(D)收敛，发散.（3）设函数具有连续二阶偏导数，且满足条件及，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）设,,,其中，则（）(A).（B）.(C).(D).（5）设可微函数满足，，则（）（A）是的极小值（B）是的极大值（C）是曲线的拐点（D）不是的极值，也不是曲线的拐点（6）设是连续函数，是的原函数，则（）（A）当是奇函数时，必为偶函数；（B）当是偶函数时，必为奇函数；（C）当是周期函数时，必为周期函数；（D）当是单调增函数时，必为单调增函数．（7）设均为n阶方阵，且满足，其中为n阶单位矩阵，则（）（A）（B）（C）（D）（8）已知矩阵经初等行变换，化为，则必有（）（A）（B）（C）（D）线性无关（9）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.41b0.1已知随机事件与相互独立，则（）(A)=0.2,b=0.3(B)=0.4,b=0.1(C)=0.3,b=0.2(D)=0.1,b=0.4（10）设随机变量不相关，则下述选项不正确的是（）（A）（B）（21）（本题满分13分）线性方程组（i）与（ii）有公共的非零解，求的值和全部公共解．（22）（本题满分13分）设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，，.(=1\*ROMANI)求矩阵B,使得；（=2\*ROMANII）求矩阵A的特征值；（=3\*ROMANIII）求可逆矩阵P,使得为对角矩阵．（23）（本题满分13分）设，相互独立，服从区间上的均匀分布，服从参数为的指数分布，求的概率密度函数．（24）（本题满分13分）某公司新近生产了某种电子元件5套，其中甲等品3套．现有宏达与茂源两家企业先后来购买这种元件，宏达购买1套，源茂购买2套，设，分别表示宏达和源茂购买到的甲等品套数．求：(I)与的联合分布律；(II)与的相关系数．

数学一9月模底试卷参考答案详解一、选择题（1～10小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）B【详解】所以选B．【重点提示】【重点提示】要善于利用等价无穷小的替换，如当时，，等都是等价无穷小，也是比较常用的等价无穷小．（2）D【详解】=，积分收敛，=，积分发散.【重点提示】【重点提示】直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形。（3）B【详解】把两边对求导，有，再求导，有a再把两边对求导，有b由a与b得【重点提示】【重点提示】本题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时，。（4）A【详解】在区域上，有，从而有由于在上为单调减函数，于是因此，故应选(A)．【重点提示】【重点提示】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较、与在区域上的大小．（5）A【详解】因为可微，所以连续，则，因为，所以所以是的极小值【重点提示】【重点提示】注意当时，是的驻点，此时，若，则在处取得极小值，反之则在处取得极大值．若，则不是极值点．（6）A【详解】设，是连续函数，所以可导，且．若为奇函数，则，此时为偶函数．【重点提示】【重点提示】直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来一一排除，如等．（7）A【详解】：把两边同时转置，得，则与互为逆矩阵，则．【重点提示】【重点提示】本题属于基本题型，直接利用概率基本公式求解即可．（8）A【详解】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵，显然有，所以．【重点提示】【重点提示】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的基本性质．（9）B【详解】由题设，知，又事件与相互独立，于是有【重点提示】首先所有概率求和为1，可得,其次，利用事件的独立性又可得相关等式．由此可确定a,b的取值．即【重点提示】首先所有概率求和为1，可得,其次，利用事件的独立性又可得相关等式．由此可确定a,b的取值．（10）C【详解】因为不相关，所以相关系数，从而，，．【重点提示】【重点提示】注意不论如何都得不到，这个等式绝对不成立．二、填空题（11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）【详解】【重点提示】【重点提示】本题属于基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，若在某变化过程下，，则如当时，，等都是等价无穷小．（12）【重点提示】直接积分即可.本题虽属于基本题型，也可先变形，再积分求解．【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为【重点提示】直接积分即可.本题虽属于基本题型，也可先变形，再积分求解．（13）【详解】原方程可写为．令，则，代入原方程，得，分离变量得．两边积分得：即（其中C为任意常数）．【重点提示】【重点提示】这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可分离变量方程的复合形式，解分离变量方程的方法必须掌握．（14）【详解】由题设，有,得，但题设，故【重点提示】【重点提示】４个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定．当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性．（15）0【详解】，解得：又因为A可对角化，所以A的属于特征值的线性无关的特征向量有2个，即有非零解．所以，而，所以．【重点提示】【重点提示】容易先求出A的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到的秩不是满秩，再通过行列式为0来求解的值．（16）【详解】因为，所以与相互独立，又，则，所以．【重点提示】【重点提示】如果，所以与相互独立，这是判断独立的一种方法。相互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征的变化．三、解答题（17~24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）【详解】由已知条件可得，，，，所以==【重点提示】【重点提示】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性．（18）【证明】(I)设，则在上连续，且，，由介值定理可知存在，使，即．(II)设，则在上连续，在内可导，且又由罗尔定理可知，存在，使得即．【重点提示】【重点提示】先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题，其中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造．（19）【详解】（I）由题意可知总利润函数，令，解得。又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最大利润为，即为所求．（II）由题意得．此时可引入拉格朗日函数，令，解得，。所以当时可获得最大利润，且最大利润为，【重点提示】【重点提示】先求出总利润函数，再通过导数为0来求极值，求出最大利润。在第（II）问中，由于总产量固定为30不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值．（20）【证明】设，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且，由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减．又，=，所以F(1)=0.因此时，，由此可得对任何，有【重点提示】【重点提示】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论．对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论．（21）【详解】因为线性方程组（i）、（ii）有公共的非零解，所以它们的联立方程组（iii）有非零解，即（iii）系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得，所以．且．此时可解方程组，得，即为（iii）的一个非零解．又，所以构成（iii）的基础解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解为（其中k为任意常数）【重点提示】【重点提示】若方程组有非零解，系数矩阵的秩小于n（n为未知数的个数），求解线性方程组是非常重要的一个知识点．（22）【详解】（=1\*ROMANI），可知．（=2\*ROMANII）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.，得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为（=3\*ROMANIII）对应于，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系，；对应于，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系令矩阵，则又因为，令矩阵=，则P即为所求的可逆矩阵．【重点提示】【重点提示】利用(=1\*ROMANI)的结果相当于确定了A的相似