第七章全部机械零件的可靠性设计

主讲人：程西云机械零件可靠性设计原理与方法第一页，共一百零四页。零件的可靠性设计1.应力分布类型和分布参数的确定2.强度分布类型和分布参数的确定第二页，共一百零四页。7-1应力分布类型和分布参数的确定要计算零件的可靠度，首先必须建立零件工作应力和强度的数学模型，列出极限状态方程，同时明确应力和强度的分布和分布参数。零件断面上的工作应力通常主要有载荷、作用位置和时间、断面尺寸或特征、材料物理性质、工作条件等因素，可用一元函数来表示：s=f(F,A,p,t,e)(7-1)

第三页，共一百零四页。一、实验测定分析法将零件或试件进行进行加载实验，测得一批应力数据，然后，用概率论和数理统计知识对数据进行处理，确定应力分布类型和分布参数。

第四页，共一百零四页。二、蒙特卡罗随即模拟法蒙特卡罗法是通过对应力函数中的随即变量，在计算机上进行随即模拟或统计实验，求得应力分布和分布参数的近似解。第五页，共一百零四页。三、解析综合法

主要过程：1.名义应力的确定名义应力是依据材料力学、弹塑性理论、断裂力学、有限元法、摩擦学及失效理论等知识来确定，建立数学模型，计算受载状态下零件承受的应力。例如直齿圆柱齿轮名义接触应力为：（7-2）第六页，共一百零四页。三、解析综合法Ft为节圆上的圆周力；b为工作齿宽；d1为主动齿轮节圆直径；U为齿数比，+用于外啮合，-用于内啮合；ZE为综合材料系数，取决于两齿材料的弹性模量和泊松比ZH为节点区域系数。第七页，共一百零四页。2.计算应力的确定名义应力是在机器稳定和理想工作条件下求出的，需加以修正，应力修正系数一般有：载荷系数、应力集中系数、温度影响系数、介质系数等。（7-3）其中K为载荷系数，包括工况系数KA，动载系数KV和载荷分布不均系数。三、解析综合法第八页，共一百零四页。三、解析综合法3.应力分布类型和分布参数的确定由（7-3）知，确定计算应力的分布和分布参数，需指定载荷、载荷系数、几何尺寸等随即变量的分布和分布参数。1）载荷分布和分布参数统计数据表明，多少静载荷服从正态分布，即使不是或不完全是，也可用正态分布作估计，这样偏于安全。对于作用时间短，数值很高的瞬时载荷，第九页，共一百零四页。三、解析综合法实践表明，这种载荷服从极值分布。对于不稳定载荷，为了获得载荷的分布，需要在各种工况下的载荷参数进行大量测量记录，利用计算机和专用的数据处理仪进行数据分析，得出一些代表性的载荷谱。对于静强度计算，载荷的均值按零件危险断面上的最大载荷取值，对疲劳强度按等效载荷取值。载荷的标准差一般通过实验来确定或按载荷情况根据经验估计，般取均值2%-9%。第十页，共一百零四页。2）几何尺寸的分布和分布参数统计表明，各种几何尺寸均较好的服从正态分布。可以假定尺寸的偏差三、解析综合法第十一页，共一百零四页。例如测得一圆柱体直径d=50±0.08mm，则均值，标准差。从统计学的观点看，认为在一千个这样的圆柱体中，尺寸落在50±0.08mm的范围内有997个，落在范围外的不超过3个。上试还可用于载荷、应力等标准差，称为“3σ法则”，对于工程分析，足够精确。三、解析综合法第十二页，共一百零四页。所以，零件断面上的工作应力是一个多元函数s=f(s1,s2,...sn)。如果应力随机变量的变异系数<0.10，每一个随机变量相互独立，且都不起主要控制作用，由中心极限定理知，综合的应力函数基本服从正太分布，即f(s)~N(µs,σs)。对于静载荷，应力主要取决于载荷和尺寸，所以应力也服从正态分布。三、解析综合法第十三页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定强度是抵抗失效的极限工作能力，于材料性质、热处理方式、应力种类以及许多影响因素（应力集中、表面质量、尺寸大小等）有关。强度可用一元函数来描述：r=f(r1,r2,...rn)齿轮的许用接触应力为：σHlim为接触疲劳极限应力，ZN为接触强度寿命系数，ZW为工作硬化系数，SHmin为接触强度最小安全系数，一般取1。第十四页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定一、确定强度分布和分布参数的程序主要是实验测定法、蒙特卡罗随即模拟法和解析综合法。1.确定与应力相同的失效判据，建立函数关系式；2.确定名义强度的分布和分布参数；3.确定修正系数的分布和分布参数；4.综合成强度分布和分布参数。第十五页，共一百零四页。二、国内外发表的材料强度分布数据大量资料表明，材料的静强度，如屈服极限、强度极限都较好服从正态分布。7-2强度分布类型和分布参数的确定第十六页，共一百零四页。第十七页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定第十八页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定第十九页，共一百零四页。第二十页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定三、取用现有手册中强度数据手册中查出的强度值一般是平均值，金属的变异系数一般小于0.10，最大不超过0.15，通常取0.10，即σr=0.10µr。如查得某金属屈服极限σs=324MPa，则取µσs=324MPa，σσs=0.10*324=32.4MPa。如果许用应力为[σ]=120-160MPa，按3σ原则，取期望和标准差为µ[σ]=1/2(120+160)=140MPa,σ[σ]=(160-120)/6=6.67MPa。第二十一页，共一百零四页。四、近似估算强度的分布参数1.静强度的分布参数在缺乏实验数据时，可近似估计µr=k1σ0σr=k1S0σ0为材料拉伸机械特性的均值，即强度极限σB的均值和屈服极限σs的均值，可从手册中查得；S0为材料拉伸机械特性的标准差，也可用上述原则取；k1为修正系数，k1=ε1/ε2。ε1为转换系数，ε2为考虑制造中的不均匀性及内部缺陷的影响系数。第二十二页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定2.疲劳强度的分布参数如查不到合适的数据时，可估算σr疲劳极限的分布参数。µσr=k1k2σ-1σσr=k1k2S-1σ-1为对称循环下材料的疲劳极限；S-1为σ-1标准差k1为考虑不同应力循环特性的疲劳极限的修正系数；k2为影响疲劳强度的其他系数，如表面加工系数、尺寸系数等。第二十三页，共一百零四页。K为有效应力集中系数，可查设计手册。η为材料应力循环不对称的敏感系数，对碳钢，低合金钢η=0.2，对合金钢η=0.3。第二十四页，共一百零四页。五、强度修正系数手册和实验数据通常都是名义强度，还需用适当的修正系数进行修正，一般可假定他们都服从正态分布。1.应力集中系数有效应力集中系数Kσ的均值和标准差可按下式计算7-2强度分布类型和分布参数的确定第二十五页，共一百零四页。其中为应力集中敏感系数的均值；为应力集中敏感系数的标准差；为理论应力集中系数，设为常数；第二十六页，共一百零四页。2.尺寸系数尺寸系数一般都是统计数据，下表给出了结构钢的尺寸系数ε。7-2强度分布类型和分布参数的确定第二十七页，共一百零四页。3.表面质量系数对于强度极限σB≤1470MPa的钢，其表面质量系数β的均值及标准差σβ如下表所示。β值一般以磨光试件为基准，其中β=1。7-2强度分布类型和分布参数的确定第二十八页，共一百零四页。7-2强度分布类型和分布参数的确定从上述方法可以看出，可靠性设计仍需引用传统的强度计算中考虑的有关因素，需要大量的传统强度计算所累积的资料。第二十九页，共一百零四页。7-3呈分布状态的疲劳曲线

进行可靠性设计时需要知道材料的疲劳分布强度和分布参数及影响因素。零件的疲劳曲线（S-N曲线）受材料性质、热加工工艺、热处理的离散性影响而成分布状态，并非单值.第三十页，共一百零四页。

（a）不同应力水平失效循环数N分布曲线

（b）不同循环数下疲劳极限S的分布曲线第三十一页，共一百零四页。

假设试件的存活率Pa，即可靠度为试件的循环数N大于某一失效循环数N1，是f1（N）曲线的阴影面积不可靠度F（t），即失效概率Pf为第三十二页，共一百零四页。7-3呈分布状态的疲劳曲线

将不同应力水平下具有相同失效概率Pf值得失效循环数各点连接起来，得到呈分布状态的疲劳曲线，即P-S-N曲线。在疲劳强度的可靠性设计中，根据零件的重要性，易更换性，易检查性，分别做出存活率为95%、99%、99.9%的疲劳曲线作为设计依据。第三十三页，共一百零四页。第三十四页，共一百零四页。P-S-N曲线制作步骤1.根据已知强度极限的均值和标准差，用经验公式估计疲劳极限的分布参数。均值：=0.498

标准差：当的分布数据未知时，按下式求得

=3.41HBMPa=0.14HBMPaHB为材料的布氏硬度。如果已知强度分布均值，可按变异系数求强度的标准差。

第三十五页，共一百零四页。2.取对数坐标，连接A点B点，即AB为存活率Ps=50%的S-N曲线。3.设材料的静强度和疲劳强度为正态分布，按“3σ法则”作呈分布状态的疲劳曲线。第三十六页，共一百零四页。7-4呈分布状态的疲劳极限应力图

当零件处于非对称循环交变应力下工作时，最大应力分布和疲劳强度的分布与应力幅、平均应力的离散性以及应力循环特性r有关。脉动循环应力：r=0

对称循环应力：r=-1第三十七页，共一百零四页。第三十八页，共一百零四页。

40CrMoA钢轴N=10^7疲劳极限图在特定寿命下，把不同应力循环特性r下的强度分布曲线相同概率点连接起来得一维分布状态的疲劳极限应力线图第三十九页，共一百零四页。第四十页，共一百零四页。1、Gerber抛物线，其方程为

2、VonMises-Hencky椭圆，其方程为

3、Goodman直线，其方程为第四十一页，共一百零四页。4、简化折线ADGC，直线AD与直线GC方程分别为：式中为均值疲劳极限应力曲线上任一点的最大应力、应力幅、和平均应力。第四十二页，共一百零四页。第四十三页，共一百零四页。

零件的疲劳极限应力受有效应力集中系数，尺寸系数、和表面质量系数的影响。为此，我们提出了疲劳极限综合修正系数式中各强度修正系数均视为服从正态分布。第四十四页，共一百零四页。呈分布状态的简化零件疲劳极限应力线第四十五页，共一百零四页。零件的极限应力图中直线AG与GC方程

和为零件均值疲劳极限应力曲线上任一点的应力幅和平均应力，为试件受循环弯曲应力时的材料特性。第四十六页，共一百零四页。7-5、稳定变应力下的可靠度计算

在每次应力变化中，周期（T）、应力幅（）和平均应力（）如果都相等，则称为稳定应力。当已知零件在循环特性r等于常数下的疲劳强度分布和应力分布以及他们的分布参数，上章介绍的可靠度计算的原理和方法在这都适用。第四十七页，共一百零四页。当零件在某一应力循环特征（）下，同时承受应力幅和平均应力作用时，其应力分布和强度分布如下图所示。第四十八页，共一百零四页。

假设上述量都服从正态分布，根据正态分布函数的矢量运算知识，可得疲劳强度的分布参数为：为零件疲劳极限应力幅的均值。为零件疲劳极限应力幅的均值。为的标准差为的标准差第四十九页，共一百零四页。同理，可得工作应力的分布参数为：为零件疲劳极限应力幅的均值。为零件疲劳极限应力幅的均值。为的标准差为的标准差第五十页，共一百零四页。

将上述分布参数和代入连接方程（6-15）便可求出可靠定指数ZR(或β)，然后按ZR

值由标准正态分布表查出可靠度R(t)。6-15第五十一页，共一百零四页。若已知规定寿命下的强度分布和零件中的最大应力S1，如下图所，则零件的可靠度为图中阴影面积可靠度：假设疲劳强度服从正态分布，则由上式及标准正态分布表，可确定可靠度R（t）。第五十二页，共一百零四页。若已知在某一应力下的寿命分布f(N)和零件的工作循环数n的分布，则应力——强度干涉模型的概念可以延伸，零件的失效循环式N(寿命)可看作“强度”，零件的工作循环数可看作“应力”，因此，有第五十三页，共一百零四页。在规定的寿命n1之下，若已知应力幅水平s1和s2时失效循环数的分布f(N1')和f(N2')，如下图所示。则可靠度为图中阴影面积第五十四页，共一百零四页。式中式中比较图中阴影面积的大小可见，当应力水平降低时，可靠度增大；若在某一应力水平下，降低工作循环数，可靠度也增大。(7-26)(7-27)第五十五页，共一百零四页。例7-1已知钢轴试件失效循环数为对数正态分布，分布数据如下表所示。求钢轴在下列运转情况下的可靠度；1）在工作应力s1=455MPa，工作循环次数n1=2×105时；2）在相同工作应力下，工作循环次数n1=2×105时；3）当应力水平升高为s2=524MPa，n1=2×105时。第五十六页，共一百零四页。第五十七页，共一百零四页。当s1=455MPa时，由表得当n1=2×105，根据（3-26），可得标准正态变量为由式（7-26）及标准正态表，可求得可靠度解1）第五十八页，共一百零四页。2）当n1=3×105，这时标准正态变量为由式（7-26）及标准正态表，可求得可靠度第五十九页，共一百零四页。当应力水平s2=455MPa时，由表得当n1=2×105，故标准正态变量为由式（7-26）及标准正态表，可求得可靠度3）第六十页，共一百零四页。7-6、不稳定变应力下的可靠度计算不稳定变应力可分为规律性与非规律性的两大类。不稳定变应力的产生通常是由于载荷和转速的变化。规律性的不稳定变应力，其变应力参数的变化有一个简单的规律，在变化一定次序后完成一个循环，周而复始。非规律性不稳定变应力，其应力参数的变化受到很多偶然因素的影响。

从统计的观点看，不稳定的变应力均服从一定的分布规律，对于非稳定变应力，应力随时间的变换虽然是随机的，然而在整个工作寿命中，不同大小应力工作时间占总时间的比值是非常稳定的，因而通过应力谱的调整，可绘的应力的变化图。第六十一页，共一百零四页。第六十二页，共一百零四页。第六十三页，共一百零四页。为了进行不稳定变应力下疲劳强度可靠性设计，必须经过大量载荷的计数与统计处理，以获得应力变化图和应力的分布规律及统计参数；同时，这些应力队零件造成疲劳损伤累积，因此，还需引用迈因纳法则（Miner'srule）和等效应力、等效循环数等概念。疲劳损伤积累假说，即迈因纳法则为式中ni为任一级应力作用的循环次数；Ni为任一级应力下发生疲劳失效的循环数。第六十四页，共一百零四页。将上述两式相结合，经整理得到强度条件为式中Nv为等效循环数，为等效应力应力情况系数：可把上式改写成：疲劳曲线方程为式中为对称循环疲劳极限；N0为循环基数；m为材料常数。

第六十五页，共一百零四页。极限状态方程因此，可靠度为令，称为与疲劳极限相对应的等效应力，则不稳定变应力下的应力——强度干涉模型如下图所示，可写成第六十六页，共一百零四页。第六十七页，共一百零四页。若令则应力——干涉模型也可写成式中为与等效应力相对应的强度。设、、Ks都服从正态分布，的均值和标准差为和为和的均值；和为和的标准差；第六十八页，共一百零四页。

将以上等效应力的分布参数和强度分布参数代入联接方程得：由标准正态分布可求得可靠度第六十九页，共一百零四页。解：1）确定疲劳强度分布参数由题知，根据表7-1选强度变异系数Cr=0.08，因此强度的标准差为

例7-2一转轴受规律性非对称循环变应力：作用循环次数，作用循环次数材料为45号钢调质材料常数m=9，循环基数N0=5×106

试求其可靠度。第七十页，共一百零四页。2）确定等效应力的分布参数由题知，设应力的变异系数Cs=0.05，则的标准差为应力情况系数即第七十一页，共一百零四页。假设由应力谱及应力统计分布资料提供的应力情况系数的偏差为∆Ks=0.01，则Ks的标准差可取可求得等效应力的分布参数为第七十二页，共一百零四页。3）求可靠度将以上应力分布参数和强度分布参数代入联接方程由标准正态分布表可得上面所阐述的可靠性设计理论和方法，不仅可以求得零件在运行中的可靠度，预测和校核零件的安全性、可靠性与寿命；同时可以再规定的可靠度下，设计零件的尺寸和选择合适的材料。可靠性设计师传统设计的发展和延伸，也是一种先进的、合理的设计。第七十三页，共一百零四页。7-7

轴的可靠性设计例7—3某减速器主动轴，传递功率P=13KW，转速n=200r/min，经传统设计结构尺寸已定(如图)，危险断面N—N的弯曲应力均值σ=28.4N／mm2，剪切应力均值τ＝7．6N／mm2：。轴的材料为45号钢，强度极限均值σΒ=637N／mm2，疲劳极限均值σ-1=268N／mm2。如果设计要求的可靠度[E]=0.999，试校核该轴的可靠度。第七十四页，共一百零四页。解题思路可靠度联接方程均值、方差强度、应力模型第七十五页，共一百零四页。解1)求工作应力的分布参数：假设强度与应力均值为正态分布。根据表7—1统计资料，取材料疲劳极限的变异系数Cσ-1＝0.08，强度极限变异系数CσΒ

＝0.05，假定弯曲应力的变异系数C

σ

＝0.15，剪应力的变异系数C

τ

＝0.10。因为标准差等于均值乘变异系数，故应力分布参数如下：弯曲应力(σ，s

σ)＝(28.4，4.26)N／mm2扭剪应力(τ，sr)＝(7.6，0.76)N／mm2比较以上两式，可知应力幅σa＝σ,平均应力σm=1.734τ，即应力幅σa

(σa，sa)＝σ(σ，sσ)＝(28.4，4.26)N／mm2：平均应力σm=(σm，sm)=1.734τ(τ，s

τ)=(13.16，1.32)

N／mm2

第七十六页，共一百零四页。由式(7—23)得工作应力的均值和标准差为第七十七页，共一百零四页。根据该轴的结构、尺寸和加工状况，由文献提供的图表，查得有效应力集中系数kσ=2.62，表面质量系数目β＝0.92，尺寸系数εσ

＝0.93，则2)绘呈分布状的疲劳极限应力线图这里绘简化的Goodman线图，作为设计之依据。第七十八页，共一百零四页。运用以上数据，取适当的比例，按“3σ法则”作呈分布状的Goodman线图，如下图第七十九页，共一百零四页。3)确定工作应力的循环特性γ最大应力σmax=σm+σa=13.16+28.4=41.56N/mm2最小应力σmin=σm

-σa=13.16-28.4=-15.24N/mm2第八十页，共一百零四页。4)确定γ=-0.367的强度分布参数按θ＝65o14’在图7—17上作γ＝-0.367的直线与疲劳极限应力线AB和A1B1分别相交于C和C1两点，C点的坐标为(45.2，80.5)N／mm2，C1点的坐标为(35.2，60.2)N／mm2。由“3σ法则”可知，疲劳极服的应力幅和平均应力的标准差为第八十一页，共一百零四页。由式(7—22)可求得γ=-0.367的疲劳强度的均值和标准差为第八十二页，共一百零四页。5)校核可靠度将以上求得的应力循环特性γ=-0.367时的强度与应力的分布参数，代入联接方程式(6—15)求得可靠性指数为由标淮正态分布表可知，当z=8.414，轴的可靠度R＞0.999999，这意味着原传统设计的轴非常可靠。也就是说，原传统设计的轴尺寸是较保守的。根据疲劳强度可靠度计算的方法，可将原设计尺寸适当减小后，按照上述步骤再进行计算直到轴的可靠度符合设计要求的可靠度[R]＝0.999。第八十三页，共一百零四页。7-8

齿轮传动的可靠性设计例7—4某球磨机用单级斜齿圆柱齿轮传动减速器。传递的额定功率P1=95KW，小齿轮转速n1＝730r／min，传动比i＝3.11，单向运转，满载工作时间35000h。小齿轮的材料为38SiMnMo,调质HB1＝250，大齿轮为ZG35SiMn，调质HB2=220。取齿轮材料极限应力区域图纵坐标中间值为材料的极限应力值，分别查得小齿轮和大齿轮材料的接触疲劳极限应力为σHlim1＝700MPa，σHlim2＝560MPa，弯曲疲劳极限应力为σFlim1=270MPa，σFlim2=210MPa。由传统设计得到的齿轮传动主要几何参数为：齿轮的法面模数Mn=4mm，齿数Z1＝36，Z2=112，螺旋角β=9o22’,齿宽系数øα=0.4,中心距a＝300mm，齿宽b=120mm。求该齿轮传动的可靠度。第八十四页，共一百零四页。解假设本例中所涉及的随机变量相互独立，且服从正态分布．考虑到轮齿的弯曲强度较富裕，因此该齿轮的可靠度主要取决于轮齿接触强度。1）确定轮齿接触强度的分布参数由式(7—7)知，齿面的许用接触应力为取齿面接触强度的变异系数C＝0.06，小齿轮和大齿轮接触强度的标准差为：S

σHlim1=0.06×700＝42MPa，S

σHlim2=0.06×560＝33.6MPa。对于一般可靠性齿轮传动，接触强度最小安全系数；SHmin=1,则标准差SHmin＝0.第八十五页，共一百零四页。为确定接触强度的寿命系数Zn的分布参数，先计算应力循环次数

N1=60αn1t=60×1×730×35000=1.533×109N2=N1/i=1.533×109/3.11=4.93×108对调质钢(允许有一定点蚀)，由手册中的线图查得N0＝109。因为N1＞N0，所以取ZN1=1，SZN1=0，又查得ZN2=1.04，取寿命系数的变异系数C＝0.07，则标准差SZN2=1.04×0.07＝0.073。因为小齿轮为软齿面，未经磨齿，故ZW=1，则标准差SZW=0。将以上各多数分别代入齿面许用接触应力的关系式中得：小齿轮的许用接触应力σHp1的均值σHp1和标准差SσHp1为第八十六页，共一百零四页。大齿轮的许用接触应力σHp2的均值σHp2，和标准差SσHp2，由表4—1提供的独立随机变量的代数运算公式得第八十七页，共一百零四页。斜齿轮传动的许用接触应力一般为因此，许用接触应力的均值为许用接触应力的标准差为第八十八页，共一百零四页。2)确定轮齿接触应力的分布参数由文献提供的轮齿接触应力公式为上式中有些参量，如分度圆直径d1、齿宽b、齿数比u、节点区域系数ZH等，均属于和齿轮几何尺寸有关的参数，它们只能在精度等级允许的公差范围内变化，取值区间较小，而且工艺上可以保，为简化起见，这里把它们作为定值变量处理。除了上述这些参数外，其他参数按随机变量处理。a、令Ftc＝FtKAKVKβKa求Ftc的均值和标准差Ft=2000T1/d1T1=9550P1/n1=(9550×95)/730=1243N.m第八十九页，共一百零四页。这里T1是小齿轮传递的名义扭矩，是指工作机械在最繁重的、连续正常的工作条件下使用的工作扭矩。例如轧钢执连续轧制力矩、起重视最大起重量引起的扭矩等；当工作机械在长期不满载下工作时，则名义扭矩应为最大的长期工作扭矩，这时名义扭矩可作为定值变量处理。若有工作机械的实测裁荷谱，则应以当量载荷换算为小齿轮的名义扭矩，考虑到载荷测测定过程中偏于安全的某些简化，可取扭矩T1的标准差为0。名义圆周力Ft的均值为其标准差为SFt=0由手册查得工作情况系数KA的均值KA＝1.25，取偏差ΔKA=±0.10,则标准差SKA=0.10/3=0.0333。故(KA,SKA)=(1.25，0.033)第九十页，共一百零四页。由手册查得动载系数KV的均值KV＝1.13，取偏差ΔKV=土0.11，则标准差SKV＝0.11/3=0.0367故(KV,SKV)＝(1.13，0.0367)由手册查得齿轮精度为8级是，载荷分配系数的均值Ka=1.49，取偏差Δka=0.045，则标准差Ska＝0.045/3=0.015。故(Ka,SKa)＝(1.49，0.015)由手册查得载荷分布系数的均值Kβ＝1.03，取偏差ΔKβ=±0.12,则标准差SKβ=0.12/3＝0.04。故(Kβ,SKβ)＝(1.03，0.04)应用n次两个独立随机变量的乘法公式(表4-1)可得Ftc的均值Ftc和标准差SFtc为第九十一页，共一百零四页。应用表4-1中常数乘随机变量的代致运算公式可得z的均值和标准差分别为应用表4—1中独立随机变量的开方公式可得第九十二页，共一百零四页。d、求σHca=ZEZHZεZM的均值σHca和标准差SσHca。从手册中查得材料弹性系数ZE的均值ZE＝189.8，假定偏差ΔZE=±10，则标准差SZE＝10/3=3.33。从手册中查得节点区域系数ZH的均值ZH=2.47，按定值变量处理，则标准差SZH＝0.从手册中查得接触强度重合度系数Zε的均值Zε＝0.748，取偏差ΔZε=0.015，则标准差SZε=0.015/3=0.005。应用n次两个独立随机变量的乘法公式(表4—1)可得第九十三页，共一百零四页。3)求可靠度将以上斜齿圆柱齿轮传动的接触强度和接触应力的分布参数代入联接方程由标准正态分布表可查得可靠度为R=Φ(ZR)=0.9468≈95％因此，该齿轮传动的可靠度为95%。第九十四页，共一百零四页。7-9

滚动轴承的可靠性设计滚动轴承绝大多效已标准化，由专门工厂大量制造，工艺成熟、用材优良，积累了许多疲劳试验的数据，是最早具有可靠性指标的机械零件．其可靠性设计理论比较成熟。一、滚动轴承寿命的基本公式对于正确设计、安装、润滑、密封、维护良好的条件下，滚动轴承的主要失效形式是疲劳点蚀。根据轴承标准，可靠度R(t)=0.90时滚功轴承的寿命,由疲劳寿命曲线导出，按下式计算式中c为额定动载荷;

P为当量载荷

ε为寿命指数，对球轴承ε

=3，对滚子轴承ε=10/3

(7—43)第九十五页，共一百零四页。滚动轴承寿命L10称为额定寿命，表示一组轴承中10％的轴承发生点烛破坏，而90％的轴承不发生点蚀破坏前的转数（以106为单位)。为了使用方便，轴承寿命一般用给定转速n下的小时数表示，则上式可写成如果载荷P和转速已知，轴承预期计算寿命已取定，则可由上式确定额定动z载荷c值，然后，据此选择轴承。

(7—44)式(7—43)在实际中应用多年，是国际公认的评定滚动轴承寿命的主要方法。随着科学技术的迅速发展，对滚动轴承的可靠性要求愈来愈高。因此需要考虑不同可靠度时的寿命计算。第九十六页，共一百零四页。二、滚动轴承寿命与可靠度之间的关系大量试验证明，滚动轴承的疲劳寿命服从威布尔分布。一般可以用以下三参数来描述威布尔分布。（7-45）（7-46）式中

LＦ为不同可靠度时的轴承寿命

L０为最小寿命

Lθ为特征寿命

β为形状参数，即威布尔分布斜率。也称离散指数