抽样调查多阶段抽样培训课件

§8.1引言

前面提到的整群抽样虽然有很多优点，但是由于群内单元通常具有相似性（表现为群内相关系数大于零）。尤其是当群比较大时，人们自然会想到没有必要对群内所有单元都进行调查，而只要对群内单元进行再抽样，对被抽中的单元进行调查，这就是常用的多阶段抽样。第一页，共四十七页。一、多阶段抽样的定义

先在总体单元（初级单元）中抽出样本单元，并不对这个样本单元中的所有下一级单元（二级单元）都进行调查，而是在其中再抽出若干个二级单元并进行调查。这种抽样方法称为二阶段抽样。同样的道理，还可以有三阶段抽样、四阶段抽样等。对于二阶段以上的抽样，统称为多阶段抽样。第二页，共四十七页。二、多阶段抽样的优点(1)多阶段抽样保持了整群抽样的样本比较集中、便于调查、节约费用等优点。(2)多阶段抽样不需要编制所有小单元的样本框。三、抽选方法与推断原理

多阶段抽样时，每一个阶段的抽样可以相同，也可以不同。它通常与分层抽样、整群抽样、系统抽样结合使用。多阶段抽样时，抽样是分步进行的，因此，讨论估计量的均值及其方差时，需要分阶段进行这要用到下面的性质。第三页，共四十七页。性质1

对于两阶段抽样，有式中，为在固定初级单元时对第二阶抽样求均值和方差；为对第一阶抽样求均值和方差。

性质1可以推广到多阶段抽样的情形，例如对于三阶段抽样，有第四页，共四十七页。§8.2初级单元大小相等的二阶抽样第一阶段在总体N个初级单元中，以简单随机抽样抽取n个初级单元，第二阶段在被抽中的初级单元包含的M个二级单元中，以简单随机抽样抽取m个二级单元，即最终接受调查的单元。例如：某个新开发的小区拥有相同户型的15个单元的楼盘，居民已经陆续搬入新居，每个单元住有12户居民，为调查居民家庭装修情况，准备从180户居民户中抽取20户进行调查。如下表：第五页，共四十七页。编号单元房号123456789101112131415一栋A座一栋B座一栋C座二栋A座二栋B座二栋C座三栋A座三栋B座三栋C座四栋A座四栋B座四栋C座五栋A座五栋B座五栋C座12

3456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112

123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112第六页，共四十七页。表中红字为抽中的房号。这时，初级单元有15个，每个初级单元拥有二级单元12个。首先将单元从1到15编号，在15单元中随机抽取5个单元，分别是1，6，9，12，13号；然后在被抽中的单元中，进行第二次抽样，即分别在12户居民户中随机抽取4户。一、符号说明初级单元和初级单元拥有的二级单元个数：N，M第一阶段和第二阶段抽样的样本量：n,m第i个初级单元中的第j个二级单元的观测值：样本中第i个初级单元中的第j个二级单元的观测值：第七页，共四十七页。第一阶段和第二阶段的抽样比：第i个初级单元按二级单元的平均值：按二级单元的平均值：初级单元间的方差：第八页，共四十七页。初级单元内的方差：由的表达式可知，若记则有即是的平均值。同理有第九页，共四十七页。二、估计量及其性质（一）总体均值的估计性质2对于初级单元大小相等的二阶抽样，如果两个阶段都是简单随机抽样，且对每个初级单元，第二阶抽样是相互独立进行的，则对总体均值的无偏估计为：其方差为：的无偏估计为：第十页，共四十七页。【例8.1】欲调查4月份100家企业的某项指标，首先从100家企业中抽取了一个有板有5家样本企业的简单随机样本，调查人员对5家企业分别在调查月内随机抽取3天作为调查日，要求样本企业只填写这3天的流水帐。调查的结果如下。样本企业第一日第二日第三日12345573851486259416053556450634954要求根据这些数据推算不100家企业该指标的总量，并给出估计的95%置信区间。第十一页，共四十七页。解将企业作为初级单元，将每一天看着二级单元。调查月内拥有30天（即拥有30个二级单元）。首先在初级单元中抽取一个n=5的简单随机样本再对每个样本的二级单元分别独立抽取一个m=3的简单随机样本由题意，N=100，M=30，n=5,m=3首先计算样本初级单元的均值、方差：第十二页，共四十七页。样本企业123456043585057133939719于是得到：第十三页，共四十七页。置信度为95%的置信区间为：160800±1.96×9216在上面的方差估计式中，第一项是主要的，第二项要小得多!第十四页，共四十七页。（二）对总体比例的估计如果要估计总体中具有所研究特征的二级单元数占全体全体二级单元数的比例，则式中，为第i个初级单元中具有所研究特征的二级单元数,则对P的估计为：式中，为第i个初级单元中具有所研究特征的二级单元数。第十五页，共四十七页。性质3

对于二阶抽样，如果两个阶段都是简单随机抽样，则有估计量的方差为：的无偏估计为：式中，第十六页，共四十七页。【例8.2】欲调查某个新小区居民家庭装潢聘请装潢公司的比例。我们在15个单元中随机抽取了5个单元，在这5个单元分别随机抽取了4户居民进行调查，对这20户的调查结果如下表：样本单元第一户第二户第三户第四户一栋A座二栋C座三栋C座四栋C座五栋B座是否否否是是是否否否否否否否否否否是否否要求根据这些数据推算居民家庭装潢聘请装潢公司的比例。第十七页，共四十七页。解：记聘请装潢公司的居民户为“1”，否则记为“0”。这里，N=15，M=12，n=5,m=4,因此，其方差的估计为：P的置信区间为：第十八页，共四十七页。§8.3初级单元大小不等的二阶抽样一般而言，初级单元的大小是不相等的，如果按初级单元的大小分层后，层内初级单元的大小差别仍很大，则需用本节介绍的方法来处理二阶抽样的问题。当初级单元大小不等时，一般采用不等概抽样。一、符号说明总体中初级单元个数及第一阶抽取的样本量：N，n第i个初级单元中二级单元数：第i个初级单元中第二阶抽样的样本量：第i个初级单元中第j个二级单元的观测值：样本中第i个初级单元中第j个二级单元的观测值：第十九页，共四十七页。第一阶和第二阶的抽样比：二级单元个数：指标总和：第i个初级单元指标总和：第i个初级单元按二级单元的平均值：第二十页，共四十七页。按二级单元的平均值：初级单元间的方差：第i个初级单元二级单元间的方差：第二十一页，共四十七页。二、估计量及其性质（一）对初级单元进行简单随机抽样如果二阶抽样中每个阶段都采用简单随机抽样，并且每个初级单元中二级单元的抽样是相互独立的，则对总体总和的估计可以采用简单估计，也可以考虑采用比率估计。1.简单估计量

对总体总和的简单估计为：根据性质1，不仅可以证明这个估计量是无偏的，并且它的方差为：第二十二页，共四十七页。的一个无偏估计为：式中，第二十三页，共四十七页。2.比率估计量由于初级单元的大小不同，往往造成初级单元的观测值差异很大，使得估计量方差的第一项很大，从而估计量的方差也就变得很大。这时，可以考虑将初级单元的大小作为辅助变量，采用比率估计量对总体总和进行估计。对总体总和的估计量为：第二十四页，共四十七页。这是一个有偏估计量，但随着样本量的增加，其偏倚将趋于零。其近似均方误差为：第二十五页，共四十七页。的样本估计为：式中，第二十六页，共四十七页。（二）对初级单元进行放回不等概抽样利用第五章的方法，事先规定每个初级单元被抽中的概率对被抽中的初级单元，再抽取个二级单元。对总体总和的估计通常是构造初级单元指标总量的无偏估计，然后利用第五章介绍的Hansen-HuRwitz估计量对总体总量Y进行估计。由于是的无偏估计，由性质1，可以证明是Y的无偏估计。且的方差为：第二十七页，共四十七页。的一个无偏估计为：注意上述对第二阶抽样并没有做出特别的规定，而且估计量的方差估计式与第二阶抽样的方式无关。在实际工作中，如果初级单元大小不相等，通常人们喜欢在第一阶抽样时按放回的与二级单元数成比例的不等概抽样；第二阶抽样则采用简单随机抽样，且每个样本初级单元的样本量都相等，此时，估计量的形式非常简单。第二十八页，共四十七页。【例8.3】某小区拥有10座高层建筑，每座高层建筑拥有的楼层数如下表：高层建筑ABCDEFGHIJ楼层12121615101610181620用二阶抽样方法抽出10个楼层进行调查，第一阶抽样为放回的、按与每座建筑拥有的楼层数成比例的不等概抽样抽取5座建筑，第二阶按简单随机抽样对每座建筑抽取两层。对10个楼层居民人数的调查结果如下表：一阶样本序号12345居民数18,1215,1819,1316,1016,11第二十九页，共四十七页。解：已知n=5,m=2,注意到这个样本是自加权的，根据P181公式（8.29）,得估计量的方差为：=9776.625估计量的标准差为：第三十页，共四十七页。（三）对初级单元进行不放回不等概抽样不放回不等概抽样的效率比放回的效率高，因此，有时人们也会倾向于用不放回不等概抽样来抽取初级单元。这时可利用第五章介绍的不放回不等概抽样的结果对总体总量进行推算。当然估计量的推算比较复杂。对总体总量Y的估计可以采用Horvitz-Thompson(赫魏兹-汤普森）估计。第三十一页，共四十七页。§8.4其他问题一、总样本量及最优样本量的配置对于二阶抽样，应该抽多少二级单元，即确定nm为多少，一般可采用两种方法：1.根据调查费用，确定可以调查的样本量。2.根据简单随机抽样时应抽样本量，再乘以设计效应deff获得。由于影响精度的主要原因是初级单元之间的差异，所以多抽一些初级单元，少抽一些二级单元较好。但往往初级单元的调查费用比二级单元要高。第三十二页，共四十七页。考虑费用函数为最简单的一种形式：式中，为与样本量无关的固定费用，如公司的办公费、场租费等；为每调查一个初级单元的费用；为每调查一个二级单元的费用。则m的最优值为：式中，实际使用时，m应为整数，但计算出的往往不是整数，令为的整数部分，则m的取值规则为：第三十三页，共四十七页。求出m之后，根据总费用函数，就可以确定n,从而确定最优抽样比和第三十四页，共四十七页。二、三阶及多阶抽样（一）各级单元大小相等的多阶段抽样如果总体拥有N个初级单元，每个初级单元拥有M个二级单元，每个二级单元又拥有K个三级单元，各阶的样本量分别为n,m,k,每个阶段都按简单随机抽样，则三级单元总体均值的估计为：其方差为：方差的无偏估计为：第三十五页，共四十七页。由于方差的主要项为第一项，其次为第二项，第三项几乎可以忽略。所以对于更高阶的抽样，估计量的方差计算一般只计算到第二阶至第三阶就可以了。（二）各级单元大小不相等时的多阶段抽样（略）第三十六页，共四十七页。（三）多阶抽样的实例某调查公司接受了一项关于全国城市成年居民人均奶制品消费支出及每天至少喝一杯鲜奶人数的比例情况的调查。确定抽样范围为全国地级及以上城市中的成年居民。成年居民指年满18周岁以上的居民。第一步：确定抽样方式。调查公司决定采用多阶段抽样方法进行方案设计，调查的最小单元为成年居民。确定调查的各个阶段为城市、街道、居委会、居民户，在居民中利用而维随机表抽取成年居民。第二步：确定样本量及各阶段样本量的分配。按简单随机抽样，在95%置信度下，绝对误差为5%取使方差达到最大的比例P=0.5，则全国样本量为：第三十七页，共四十七页。根据以往调查经验，估计回答率为b=80%，因此调整样本量为：多阶段抽样的效率比简单随机抽样的效率低，这里取设计效率为deff=3.2，则在全国范围内应调查的样本量为：各阶段的样本量配置为：初级单元：20个城市；二级单元：80个街道，每个样本市内抽4个街道；第三十八页，共四十七页。三级单元：160个居委会，每个样本街道内抽2个居委会；四级单元：1600个居民户，每个样本居委会内抽10个居民户。在样本居民户内，随机抽取一名成年居民。第三步：确定抽样的操作方法。第一阶段

在全国城市中按与人口数成比例的放回的不等概抽样，即PPS抽样。第二、三阶段分别按人口数成比例的不等概等距抽样。以第二阶段为例，在某个被抽中的城市中，将其所属的街道编号，搜集各街道的人口数，赋予每个街道与人口相同的代码数；根据该市总人口数除以样本量4，然后对代码进行随机起点的第距抽样，则被抽中代码所在的街道为样本街道。第三十九页，共四十七页。第四阶段分别在每个居委会中，按等距抽样抽出10个居民户。即根据居委会拥有的居民户数除以样本量10得到抽样间距，然后随机起点等距抽样。在每个样本居民户，调查员按二维随机表抽取一名成年居民。二维随机表的使用如下：1.随机号的确定。2.选出被访者。第四十页，共四十七页。序号姓名性别年龄1234567891011121肖明男531111111111112汪红女522112121212213肖晓波男233211322131234肖晓玲女2141322314324155412341235426631524351462771436252574388457126375319951438276528101035941728694111161510498327612127294116183105第四十一页，共四十七页。第四步：总体估计记各样本城市的80位样本居民中，奶制品消费总支出为，则各样本城市人均奶制品消