量纲分析与相似理论

量纲分析与相似理论第1页，共75页，2023年，2月20日，星期四量纲、量纲和谐性原理MF2Hf0611000第2页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？

答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。第3页，共75页，2023年，2月20日，星期四量纲、量纲和谐性原理MF2Hf0611001第4页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？

答：1.提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。

2.作用可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

第5页，共75页，2023年，2月20日，星期四量纲、量纲和谐性原理MF2Hf0611002第6页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式中，谢齐系数C的量纲为，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。

第7页，共75页，2023年，2月20日，星期四解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。解题步骤第8页，共75页，2023年，2月20日，星期四瑞利法MF2Hf0612000第9页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。第10页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关，用函数关系式表示为解题步骤2.将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即第11页，共75页，2023年，2月20日，星期四3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=ba=3/2b=0c=1/2

第12页，共75页，2023年，2月20日，星期四6.代入指数乘积式，得

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。解题步骤即第13页，共75页，2023年，2月20日，星期四瑞利法MF2Hf0612001第14页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H有关。第15页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H

有关,用函数关系式表示为解题步骤2.将N写成γ，Q，H的指数乘积形式，即第16页，共75页，2023年，2月20日，星期四3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

第17页，共75页，2023年，2月20日，星期四6.代入指数乘积式，得

其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。解题步骤第18页，共75页，2023年，2月20日，星期四π定理MF2Hf0613000第19页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目简述布金汉π定理的运用步骤？答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。第20页，共75页，2023年，2月20日，星期四3.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。

解题步骤4.满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π项基本物理量的指数a、b、c。

5.写出描述现象的关系式。

第21页，共75页，2023年，2月20日，星期四π定理MF2Hf0613001第22页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。第23页，共75页，2023年，2月20日，星期四π定理MF2Hf0613002第24页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目

文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度η以及大小直径D1，D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。文丘里流量计第25页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的密度ρ，液体的粘度η以及大小直径D1,D2有关，用函数关系式表示为：可以看出函数中的变量个数n＝6解题步骤第26页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1，运动学量Q以及动力学量ρ

。2.选取基本物理量量纲指数行列式由量纲公式：故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。第27页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤3.列出无量纲π值列出个无量纲的π值。其中为待定指数。第28页，共75页，2023年，2月20日，星期四4.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲式为：所以：解题步骤第29页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3

，其量纲式为：第30页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤5.写出无量纲量方程

上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：第31页，共75页，2023年，2月20日，星期四π定理MF2Hf0613003第32页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l的断面间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉π定理求Δp的一般表达式。

第33页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.列出上述影响因素的函数关系式

解：解题步骤2.在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是第34页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。

第35页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。第36页，共75页，2023年，2月20日，星期四4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）

所以：解题步骤第37页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤同理可得5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以第38页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤求压差Δp时，以，代入，可得

令，最后可得沿程水头损失公式为

上式就是沿程损失的一般表达式。第39页，共75页，2023年，2月20日，星期四π定理MF2Hf0613004第40页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为D、流体的流速为V、流体的密度为和流体的动力粘滞系数为有关。第41页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即解：一、瑞利法求解

解题步骤2.将阻力写成d，V，ρ，μ的指数乘积形式，即

3.写出量纲表达式

第42页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤

因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数4.选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲5.由量纲和谐性原理，求各量纲的指数L：1=a+b-3c-eM：1=c+eT：-2=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e第43页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤6.带入指数乘积式，得

即

如果令绕流阻力系数，l为圆柱长，则得阻力公式

其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。第44页，共75页，2023年，2月20日，星期四1.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量之间存在下述关系式解题步骤2.选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是二、π定理求解第45页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝5－3＝2个无量纲π项。

第46页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下对于π1，其量纲式为第47页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤对于π1，其量纲式为第48页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以式中：，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。

由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n≤4~5个，而布金汉π定理是具有普遍性的方法。

第49页，共75页，2023年，2月20日，星期四流体相似概念MF2Hf0624000第50页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？

答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。流体力学相似包括以下四个方面：1.几何相似2.运动相似3.动力相似4.初始条件和边界条件相似。

第51页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似准则MF2Hf0625000第52页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目为什么每个相似准则都要表征惯性力？

答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。第53页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似准则MF2Hf0625001第54页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，其各自的物理意义是什么？

欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。答：第55页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似准则MF2Hf0625002第56页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目列表各相似准则及其比尺牛顿数佛汝德数雷诺数欧拉数柯西数韦伯数斯特劳哈尔数7.谐时准则6.表明张力相似准则5.弹性力相似准则4.压力相似准则3.粘滞力相似准则2.重力相似准则1.牛顿相似准则相似准数力的比例尺相似准则第57页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似准则MF2Hf0625003第58页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。因为：当重力相似时而粘滞力相似时可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。第59页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤

若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时而粘滞力相似时联立以上两式，可得当时，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。

第60页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似理论的应用MF2Hf0626000第61页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数

，管中通过油的流量

。现用10℃的水和管径dm=5cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。第62页，共75页，2023年，2月20日，星期四解：该管道模型的几何比尺为解题步骤所以模型管道的长度判别原型管道中的流态：第63页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm。10℃水的运动粘滞系数为，模型运动粘滞系数比尺为流量比尺

故模型管道中的流量Qm应为第64页，共75页，2023年，2月20日，星期四相似理论的应用MF2Hf0626002第65页，共75页，2023年，2月20日，星期四题目渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速V0=0.6m/s，闸孔宽度b=6m，下游为自由出流，闸门开度e=1.0m。今欲按长度比尺λl=10设计模型，来研究平板闸门的流量系数μ，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流速V0m；（2）如果在模型上测得某点的流量为Qm=81.5l/s，则原型上对应点的流量Q为多少？（3）闸门出流的流量系数μ为多少？

第66页，共75页，2023年，2月20日，星期四解：（1）模型尺寸设计和闸前行近流速

解题步骤因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。模型的长度比尺为λl=10，则模型中的尺寸为上游水深

闸孔宽度

闸门开度

第67页，共75页，2023年，2月20日，星期四重力相似准则条件下的流速比尺

解题步骤所以

（2）原型流量Q的计算

重力相似准则条件下的流量比尺

即原型上的流量为第68页，共75页，2023年，2月20日，星期四解题步骤（3）计算流量系数μ

流量系数μ是常数，在原型和模型上都相同。根据平板闸门自由出流计算公式：

由于行近流速很小，可以忽略不计H0